1.2 集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“集合间的基本关系”核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等、空集的定义及性质，构建概念支架，衔接判断集合关系、求子集与真子集、根据关系求参数三个题型，形成完整学习脉络。 资料以“方法提炼+题型训练”为特色，通过列举观察法、元素特征法等培养数学思维，结合求参数时分类讨论空集与非空情况强化推理能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过题型练习巩固概念，查漏补缺。

§1.2 集合间的基本关系 目录 题型1：判断两集合间的关系 2 题型2：求集合的子集与真子集 5 题型3：根据集合间的关系求参数 7 1. 子集 (1) 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”（或“B包含A”）． (2) 性质：①任何集合都有；②若，则. 2. 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）． 3. 集合相等 对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4. 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 题型1：判断两集合间的关系 方法提炼 判断集合关系的方法： (1) 列举观察法：可列举出集合中的全部元素，通过定义进行判断； (2) 元素特征法：设， ，若可推出，则； (3) 数形结合法：借助数轴或Venn图判断. 注意区分（元素与集合的关系）和（集合与集合的关系）. 【例1.1.】 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 【例1.2.】 （多选）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.75 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 【例1.3.】 集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】判断两个集合的包含关系 【详解】由题知， 所以与的关系为 【例1.4.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 【例1.5.】 集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 题型2：求集合的子集与真子集 方法提炼 (1) 列举法：若集合元素有限且较少，直接列举所有子集。 (2) 公式法：若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2(n≥1)个非空真子集． 注意：空集是任意集合的子集，非空集合的真子集. 【例2.1.】 集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 【例2.2.】 全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 【例2.3.】 满足的集合A共有______个. 【答案】64 【难度】0.86 【知识点】并集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 【例2.4.】 满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 【例2.5.】 下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 题型3：根据集合间的关系求参数 方法提炼 已知集合间的关系求参数问题的解题策略： (1) A⊆B在未指明集合非空时，应分和两种情况来讨论. (2) 若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程. (3) 若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【例3.1.】 已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 【例3.2.】 已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.89 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 【例3.3.】 已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 【例3.4.】 已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 【例3.5.】 设全集为R，集合，集合．若，求实数a的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式 【分析】分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【详解】当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 【例3.6.】 关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据两个集合相等求参数 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.2 集合间的基本关系 目录 题型1：判断两集合间的关系 2 题型2：求集合的子集与真子集 3 题型3：根据集合间的关系求参数 4 1. 子集 (1) 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”（或“B包含A”）． (2) 性质：①任何集合都有；②若，则. 2. 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）． 3. 集合相等 对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4. 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 题型1：判断两集合间的关系 方法提炼 判断集合关系的方法： (1) 列举观察法：可列举出集合中的全部元素，通过定义进行判断； (2) 元素特征法：设， ，若可推出，则； (3) 数形结合法：借助数轴或Venn图判断. 注意区分（元素与集合的关系）和（集合与集合的关系）. 【例1.1.】 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 （多选）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【例1.5.】 集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 题型2：求集合的子集与真子集 方法提炼 (1) 列举法：若集合元素有限且较少，直接列举所有子集。 (2) 公式法：若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2(n≥1)个非空真子集． 注意：空集是任意集合的子集，非空集合的真子集. 【例2.1.】 集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【例2.2.】 全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【例2.3.】 满足的集合A共有______个. 【例2.4.】 满足条件的集合的个数是____ 【例2.5.】 下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 题型3：根据集合间的关系求参数 方法提炼 已知集合间的关系求参数问题的解题策略： (1) A⊆B在未指明集合非空时，应分和两种情况来讨论. (2) 若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程. (3) 若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【例3.1.】 已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【例3.2.】 已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知非空集合，且⫋，则___________ 【例3.4.】 已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 设全集为R，集合，集合．若，求实数a的取值范围． 【例3.6.】 关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $