1.2 集合间的基本关系 8题型分类（讲+练）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等、空集的概念及性质，结合Venn图工具，通过8题型分类构建从概念辨析到实际应用的学习支架，涵盖关系判断、子集个数计算、参数求解等核心内容。 该资料以题型为载体，融合概念辨析与问题解决，通过“思考”“特别提醒”引导学生用数学眼光区分易混点（如空集与{0}的差异），借助性质推导与分类讨论培养数学思维（如子集个数公式的归纳），利用符号与图示强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固易错点，提升解题能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.2 集合间的基本关系8题型分类 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1．（2026高一·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 2．（2026·天津红桥·模拟预测）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 3．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 5．设集合，，则下列关系中正确的是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】A 【分析】先利用二次函数求值域分别化简集合M,N,再判断包含关系即可 【详解】， ， ， 故选：A. 【点睛】本题考查描述法表示集合及判断集合间的关系，准确化简两集合是关键，是基础题 （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 6．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 7．（2026高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 集合的所有子集为： . 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）略 8．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【详解】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 9．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知集合 (1)若，用列举法写出集合A，并写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、. (2). 【分析】（1）求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，   集合的所有子集有：、、、. （2），，    或或或，                    ①当时，对于方程，，解得， ②当时，对于方程，满足，得， ③当时，对于方程，满足，得，   ④方法1：当时，对于方程，满足，得， 方法2 ：当时，对于方程，满足，得.         综上所述，实数的取值范围是. 10．（1.1.2集合的基本关系课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据子集和真子集的概念进行辨析. （2）根据子集和真子集的概念进行辨析. （3）根据子集和真子集的概念进行辨析. 【详解】（1）子集：，共2个；真子集：共1个. （2）子集：，，，共4个；真子集：，，共3个. （3）子集：，，，，，，，共8个； 真子集：，，，，，，共7个. 元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 题型3：判断集合子集、真子集的个数 11．（2026高一·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 12．（2026高一·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 13．（2026·西藏林芝·模拟预测）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 14．（2026·湖南常德·模拟预测）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 题型4：根据子集、真子集个数求参数 15．（2026高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 16．（2026高三·安徽安庆·阶段检测）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 【答案】D 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时  则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 17．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则___________. 【答案】或/或 【分析】分析可知集合中有且只有一个元素，可得出关于的等式，即可得解. 【详解】因为集合只有个子集，则集合中有且只有一个元素， 所以，，整理可得，其中，解得或. 故答案为：或. 18．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断集合相等 19．【多选】（2026高一·陕西汉中·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 20．（2026高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 21．（2026高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 题型6：利用集合相等求参数 22．（2026高二·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 23．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 24．（2026高一·陕西·阶段检测）若，则______． 【答案】/ 【分析】结合集合元素的互异性，利用集合相等得，然后将和分别代入检验，即可求解. 【详解】由元素的互异性可得，故，故， 故，则或. 当时，； 当时，，，符合题意. 所以． 故答案为： 25．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及相等集合的意义列式求解并验证即可. 【详解】由，得，故， 因为，又， 因此，解得或， 当时，集合与集合不相等，不符合题意； 当时，集合与集合相等，符合题意，所以. 故答案为：8 题型7：空集及其应用 26．（2026高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 27．（2026高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 28．（2026高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 29．（2026高一·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 30．若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据集合为空集列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由已知，得a－1>5－2a，解得a>2，所以实数a的取值范围是． 故答案为： （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型8：利用集合的包含关系求参数问题 31．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 32．（2026高三·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 33．（2026·河南·模拟预测）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 34．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 35．（2026高一·全国·课前预习）已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 36．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分情况讨论：当或，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】当时，有，则； 当时，若，如图， 则解得． 综上，的取值范围为． 故答案为： 1．（2026高一·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 3．（2026高三·江苏无锡·阶段检测）已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 【答案】C 【分析】按照和这两种情况讨论求解，当时，得到符合题意；当时，，求出，由，得到或，计算出的值，从而得到所求. 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 故选：C. 4．（2026高一·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合的元素，再根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 5．（2026高一·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 6．（2026高二·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解绝对值不等式后结合子集公式即可求解. 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 8．【多选】（2026高一·四川眉山·期中）已知集合，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．中有个元素 D．有个真子集 【答案】AB 【分析】解不等式可求得集合，由集合与元素关系、子集和真子集定义依次判断各个选项即可. 【详解】由得：，又，； 对于A，由知：，A正确； 对于B，，，，B正确； 对于C，由知：中有个元素，C错误； 对于D，中有个元素，有个，D错误. 故选：AB. 9．【多选】（2026高一·安徽六安·阶段检测）下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 【答案】BCD 【分析】直接判断选项A，由空集性质判断选项B，解方程根据元素的特征即可判断选项C，方程组的解集为点集判断选项D. 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，故A正确； 对于B，空集只有一个子集，即空集本身，故B错误； 对于C，由得或或1， 因，则或1，则列举法表示为，故C错误； 对于D，由得，， 故点集为，故D错误， 故选：BCD. 10．【多选】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先求解集合再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项. 【详解】由集合的定义可知，，，所以. 故选：AC 11．【多选】（2026高一·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 12．（2026高一·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【分析】使用集合的包含关系的定义求解. 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 13．（2026高二·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，若中只有个元素，且，则______. 【答案】 【分析】集合中只有个元素，故区间端点相等，可解出的值，再利用进行讨论即可求解. 【详解】因为集合中只有个元素，所以， 所以，解得或， 当时，，此时不符合； 当时，，满足， 综上，. 故答案为：. 14．（2026高一·山东青岛·阶段检测）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解. 【详解】解：分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：，所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 15．（2026高一·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 16．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 17．（2026高一·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 18．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.2 集合间的基本关系8题型分类 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1．（2026高一·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津红桥·模拟预测）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 5．设集合，，则下列关系中正确的是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 6．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 7．（2026高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 8．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 9．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知集合 (1)若，用列举法写出集合A，并写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 10．（1.1.2集合的基本关系课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 题型3：判断集合子集、真子集的个数 11．（2026高一·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 12．（2026高一·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·西藏林芝·模拟预测）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 14．（2026·湖南常德·模拟预测）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型4：根据子集、真子集个数求参数 15．（2026高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 16．（2026高三·安徽安庆·阶段检测）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 17．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则___________. 18．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断集合相等 19．【多选】（2026高一·陕西汉中·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 20．（2026高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 21．（2026高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 题型6：利用集合相等求参数 22．（2026高二·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 23．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 24．（2026高一·陕西·阶段检测）若，则______． 25．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 题型7：空集及其应用 26．（2026高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（2026高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 28．（2026高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 29．（2026高一·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 30．若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是________． （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型8：利用集合的包含关系求参数问题 31．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 32．（2026高三·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 33．（2026·河南·模拟预测）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 34．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（2026高一·全国·课前预习）已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 36．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是____________． 1．（2026高一·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 3．（2026高三·江苏无锡·阶段检测）已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 4．（2026高一·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026高二·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高一·四川眉山·期中）已知集合，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．中有个元素 D．有个真子集 9．【多选】（2026高一·安徽六安·阶段检测）下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 10．【多选】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 13．（2026高二·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，若中只有个元素，且，则______. 14．（2026高一·山东青岛·阶段检测）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________. 15．（2026高一·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 16．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（2026高一·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 18．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $