第三单元 乘法数量关系（分层作业）数学四年级上册苏教版（新教材）

**基本信息** 本练习以“知识补给站-固本夯基-融会进阶-启智拓新”四层设计，构建“概念回顾→基础应用→综合拓展→创新解决”路径，覆盖乘法数量关系核心知识点，适配新授课巩固与能力提升，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识补给站|有余数除法关系、平均速度、归总问题概念|填空形式直击核心公式，强化符号意识| |固本夯基|除法算式关系、简单行程问题|选择题辨析易混点，提升推理意识| |融会进阶|单价表示、归总应用、行程计算|结合采摘乐园、护眼灯安装等生活情境，渗透模型意识| |启智拓新|归总问题变式、往返平均速度、最优方案|多步骤问题（如团购优惠、相遇问题），发展创新意识与应用能力|

第三单元 乘法数量关系 分层作业 知识补给站 1.有余数除法的关系 在有余数的除法算式中，被除数、除数、商和余数之间的关系是：被除数 = 商 × 除数 + 余数。由此可以推导出：(被除数 - 余数) ÷ 除数 = ______ 。 2.平均速度的计算 计算往返的平均速度时，不能简单地将两个速度相加后除以2，而应该用 ______ 除以 ______ 。 3.归总问题的解法 在解决“总量不变”的问题时（如剪窗花、安装护眼灯），解题的关键是先根据“每份数 × 份数”求出 ______ ，再根据新的每份数求出新的份数。 参考答案 1.  商 2.  往返总路程；往返总时间 3.  总量 固本夯基 1．如果△÷□＝○……☆（△、□、○、☆均不为0），那么下面算式正确的是（    ）。 A．△÷□＝○ B．（△－☆）÷□＝○ C．○÷□＝△……☆ D．△÷☆＝○……□ 【答案】B 【分析】依据有余数除法各部分之间的关系：被除数＝商×除数＋余数，可知△＝○×□＋☆，将四个选项全部变形为被除数＝商×除数， 商＝（被除数－余数）÷除数，被除数＝商×除数＋余数的形式，由此逐个判断正误。 【详解】如果△÷□＝○……☆（△、□、○、☆均不为0），则△＝○×□＋☆。 A．变形后得△＝○×□，和原式不符； B．变形后得△＝○×□＋☆，符合原式； C．变形后得△＝（○－☆）÷□，和原式不符； D．变形后得△＝○×☆＋□，和原式不符。 2．一辆汽车以每小时50千米的速度，从相距乙地80千米的甲地开往乙地。所带的汽油最多可以行2小时，在途中不加油的情况下，为保证返回出发地，最多开出（    ）千米，就应该往回行驶了。 A．20 B．40 C．50 D．48 【答案】C 【分析】根据题意可以知道，汽车的速度是每小时50千米，汽油最多可以行驶2小时，依据速度×时间＝路程求出最多可以行驶的路程；因为要想返回出发地，必须行驶到总路程的一半就返回，所以用总路程除以2即可得到答案，由此计算。 【详解】50×2÷2＝50（千米） 所以，最多开出50千米，就应该往回行驶了。 3．a÷b＝c……d（a、b、c、d都不为0），下面算式正确的是（    ）。 A．b×d＋c＝a B．（a＋d）÷b＝c C．（a－d）÷c＝b D．a÷c＝b……d 【答案】C 【分析】在有余数的除法中，被除数÷除数＝商……余数，（被除数－余数） ÷除数＝商，（被除数－余数）÷商＝除数，商×除数＋余数＝被除数。根据有余数除法各部分之间的关系，即可解答。 【详解】A．b为除数，d为余数，根据有余数除法各部分关系，选项错误； B．a为被除数，d为余数，b为除数，根据有余数除法各部分关系，应该是（a－d）÷b＝c，选项错误； C．a为被除数，d为余数，c为商，根据有余数除法各部分关系，（a－d）÷c＝b，选项正确； D．a为被除数，d为余数，c为商，根据有余数除法各部分关系，应该是（a－d）÷c＝b，选项错误。 4．如果△×□＝○，那么下列算式正确的是（    ）。 A．□÷△＝○ B．△×○＝□ C．△÷○＝□ D．○÷△＝□ 【答案】D 【分析】根据乘法各部分之间的关系，积除以一个因数等于另一个因数，据此判断正确算式。 【详解】在中，和是因数，是积，根据乘法各部分关系：积÷一个因数＝另一个因数，可得，。 算式正确的是○÷△＝□。 5．一辆汽车从甲地往乙地送货，去的路途中花了3小时，去的平均速度是每小时40千米，回来花了2小时，回来的平均速度是每小时60千米，往返的平均速度每小时是（    ）。 A．50千米 B．48千米 C．52千米 D．54千米 【答案】B 【分析】速度×时间＝路程，计算甲地到乙地的路程；往返平均速度＝往返总路程÷往返总时间，代入数据计算即可。 【详解】40×3×2 ＝120×2 ＝240（千米） 240÷（3＋2） ＝240÷5 ＝48（千米） 所以往返的平均速度每小时是48千米。 6．如图，章强的作业纸不小心沾上了墨水。请根据他的算式，推测看不清的这部分信息应是（    ）。 奶奶在菜市场买了 一共花了105元，每盒鸡蛋15元，排骨每千克多少元？ （105－15×3）÷2 A．3盒鸡蛋和2千克排骨 B．2盒鸡蛋和3千克排骨 C．2盒鸡蛋和2千克排骨 D．3盒鸡蛋和3千克排骨 【答案】A 【分析】根据题意可知，算式（105－15×3）÷2求出的是排骨每千克多少元，根据单价＝总价÷数量可知，2表示的是买排骨的数量，（105－15×3）表示买排骨花的钱数，已知105元时一共花的钱数，15元表示的是每盒鸡蛋的价格，所以15×3表示的是购买鸡蛋花的钱数， 3表示购买鸡蛋的盒数。因此看不清的信息就是“3盒鸡蛋和2千克排骨”。 【详解】由分析可得：根据他的算式，推测看不清的这部分信息应是“3盒鸡蛋和2千克排骨”。 融会进阶 7．陵水一家圣女果采摘乐园的入园费单价为每人10元，可写成( )。新新一家三口前去采摘，应付入园费( )元。 【答案】 元/人 【分析】入园费单价为每人10元，可写作10元/人，表示每个人10元。总价＝单价×数量，这里单价10元/人，数量是3个人，用10乘3即可解答。 【详解】10×3＝30（元） 所以，入园费单价为每人10元，可写成10元/人，新新一家三口前去采摘，应付入园费30元。 8．某景区推出甲、乙两种优惠方案。上四年级的笑笑和弟弟、妹妹以及爸爸、妈妈一家5口一起去游玩。买票至少需要( )元。 甲方案 成人：80元/位 儿童：30元/位 乙方案 团体（5人及5人以上）： 55元/位 【答案】250 【分析】分别计算出2名成人和3名儿童在甲方案和乙方案下的总费用，然后进行比较，费用少的方案更省钱。计算甲方案费用时，需分别计算成人总费用和儿童总费用后相加；计算乙方案费用时，需先计算总人数是否达到团体票要求，再按团体单价计算总费用。 【详解】甲方案总费用： 80×2＋30×3 ＝160＋90 ＝250（元） 乙方案总费用：3＋2＝5（人） 5＝5 55×5＝275（元） 250＜275 所以买票至少需要250元。 9．为保护学生视力，学校购进了一批护眼灯。如果每间教室安装8盏，这批护眼灯刚好可供12间教室使用；如果每间教室安装4盏，这批护眼灯可供( )间教室使用。 【答案】24 【分析】每间教室安装护眼灯的盏数乘教室间数，即可算出购进的护眼灯总盏数（8×12），再用购进的护眼灯总盏数除以现在每间教室安装的盏数，即可求出这批护眼灯可供多少间教室使用。 【详解】8×12＝96（盏） 96÷4＝24（间） 所以如果每间教室安装4盏，这批护眼灯可供24间教室使用。 10．山海关有“天下第一关”的美誉，是世界文化遗产——中国万里长城的形象代表之一。周六，王叔叔带着家人自驾前往山海关，一共要行驶230km，王叔叔开车每小时行驶72km，3小时后距离山海关还有( )km。 【答案】 14 【分析】要求剩余路程，需先根据“速度×时间＝路程”求出已行驶的路程，再用总路程减去已行驶的路程。 【详解】 11．已知○÷△＝☆，○＝80，那么△×☆＝( )；已知◎－△＝□，那么◎÷（△＋□）＝( )。（□不等于0） 【答案】 【分析】除法运算中，被除数除数商，可得到：除数商被除数。 减法运算中，被减数减数差，可得到：减数差被减数。 【详解】，是被除数，是除数，是商，因此，已知，所以。 ，是被减数，是减数，是差，因此。 将代入，可得，已知不等于，因此不等于，所以。 12．小天和楠楠同时从学校出发同向而行，小天速度是55米/分，楠楠速度是35米/分，走了10分钟，算式（55－35）×10表示( )。 【答案】10分钟后两人相距多少米 【分析】根据题意：55－35表示小天每分钟比楠楠多走多少米（即速度差）；再乘10：走10分钟，表示一共多走的路程；根据路程差＝速度差×时间，二者相乘表示10分钟后两人相距多少米。 【详解】根据分析可知： （55－35）×10 ＝20×10 ＝200（米） 算式（55－35）×10表示10分钟后两人相距多少米。 启智拓新 13．过年贴窗花寄托了人们辞旧迎新、接福纳祥的美好愿望。春节快到了，社区里要给独居老人的窗户贴窗花增添年味，三（1）班的同学主动承担剪窗花的任务。每人剪4张窗花，需要12名同学一起剪。如果每人剪6张窗花，需要几名同学？ 【答案】8名 【分析】窗花总数量不变，先求出窗花总数量，再用总数量除以每人剪的6张，即可得到需要的同学人数。 【详解】（张） （名） 答：需要8名同学。 14．华华参加某次登山活动，上山时每分钟走40米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走60米，华华往返的平均速度是多少？ 【答案】48米/分 【分析】根据路程＝速度×时间，用上山的速度乘上山的时间，求出单程路程；上山路程等于下山路程，用单程路程除以下山的速度，求出下山用的时间；往返总路程为单程路程乘2，上山时间加上下山时间为总时间，往返路程除以总时间即为往返的平均速度。 【详解】40×18＝720（米） 720÷60＝12（分） 720×2＝1440（米） 18＋12＝30（分） 1440÷30＝48（米/分） 答：华华往返的平均速度是每分钟走48米。 15．莎士比亚说：“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀。”为了迎接“4.23世界读书日”的到来，六年级95名同学准备集体购买《鲁滨逊漂流记》。经过询问，书店的优惠政策如下：请你计算说明，若每位同学买一本《鲁滨逊漂流记》，怎样买花的钱最少？最少需要多少钱？ 单价：30元/本 团购：80本≤购买量，买四赠一。 【答案】买80本参加团购最省钱；2400元 【分析】先明确优惠规则：付款购买的本数不足80本时，按原价30元/本售卖，无赠送；付款购买的本数达到80本及以上时，享受买四赠一优惠，即每买4本送1本。要得到95本书，若直接买95本，根据“单价×数量＝总价”，求出购买95本的花费，虽满足团购条件但花费更高；若按团购最低付款量买80本，用购买的本数除以4，求出赠送的本数，赠送的本数加上80本，可得到100本，足够95人使用，花费更低，算出购买80本的花费，比较购买95本的花费和购买80本的花费，即可得出结论。 【详解】（元） 赠送本数：（本） 总得到本数：（本） ，够95名同学使用 （元） 答：买80本参加团购最省钱，最少需要2400元。 16．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行65千米，摩托车每小时行40千米，当汽车行到两地中点时，与摩托车还相距100千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】 520千米 【分析】汽车行到中点时和摩托车相距100千米，说明相同行驶时间内汽车比摩托车多行驶了100千米，用路程差除以速度差可计算出汽车行驶到中点时所用的时间。然后根据汽车的速度求出到中点的路程，再乘2即可得到甲、乙两地的总距离。 【详解】 （小时） （千米） 答：甲、乙两地相距520千米。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 乘法数量关系 分层作业 知识补给站 1.有余数除法的关系 在有余数的除法算式中，被除数、除数、商和余数之间的关系是：被除数 = 商 × 除数 + 余数。由此可以推导出：(被除数 - 余数) ÷ 除数 = ______ 。 2.平均速度的计算 计算往返的平均速度时，不能简单地将两个速度相加后除以2，而应该用 ______ 除以 ______ 。 3.归总问题的解法 在解决“总量不变”的问题时（如剪窗花、安装护眼灯），解题的关键是先根据“每份数 × 份数”求出 ______ ，再根据新的每份数求出新的份数。 固本夯基 1．如果△÷□＝○……☆（△、□、○、☆均不为0），那么下面算式正确的是（    ）。 A．△÷□＝○ B．（△－☆）÷□＝○ C．○÷□＝△……☆ D．△÷☆＝○……□ 2．一辆汽车以每小时50千米的速度，从相距乙地80千米的甲地开往乙地。所带的汽油最多可以行2小时，在途中不加油的情况下，为保证返回出发地，最多开出（    ）千米，就应该往回行驶了。 A．20 B．40 C．50 D．48 3．a÷b＝c……d（a、b、c、d都不为0），下面算式正确的是（    ）。 A．b×d＋c＝a B．（a＋d）÷b＝c C．（a－d）÷c＝b D．a÷c＝b……d 4．如果△×□＝○，那么下列算式正确的是（    ）。 A．□÷△＝○ B．△×○＝□ C．△÷○＝□ D．○÷△＝□ 5．一辆汽车从甲地往乙地送货，去的路途中花了3小时，去的平均速度是每小时40千米，回来花了2小时，回来的平均速度是每小时60千米，往返的平均速度每小时是（    ）。 A．50千米 B．48千米 C．52千米 D．54千米 6．如图，章强的作业纸不小心沾上了墨水。请根据他的算式，推测看不清的这部分信息应是（    ）。 奶奶在菜市场买了 一共花了105元，每盒鸡蛋15元，排骨每千克多少元？ （105－15×3）÷2 A．3盒鸡蛋和2千克排骨 B．2盒鸡蛋和3千克排骨 C．2盒鸡蛋和2千克排骨 D．3盒鸡蛋和3千克排骨 融会进阶 7．陵水一家圣女果采摘乐园的入园费单价为每人10元，可写成( )。新新一家三口前去采摘，应付入园费( )元。 8．某景区推出甲、乙两种优惠方案。上四年级的笑笑和弟弟、妹妹以及爸爸、妈妈一家5口一起去游玩。买票至少需要( )元。 甲方案 成人：80元/位 儿童：30元/位 乙方案 团体（5人及5人以上）： 55元/位 9．为保护学生视力，学校购进了一批护眼灯。如果每间教室安装8盏，这批护眼灯刚好可供12间教室使用；如果每间教室安装4盏，这批护眼灯可供( )间教室使用。 10．山海关有“天下第一关”的美誉，是世界文化遗产——中国万里长城的形象代表之一。周六，王叔叔带着家人自驾前往山海关，一共要行驶230km，王叔叔开车每小时行驶72km，3小时后距离山海关还有( )km。 11．已知○÷△＝☆，○＝80，那么△×☆＝( )；已知◎－△＝□，那么◎÷（△＋□）＝( )。（□不等于0） 12．小天和楠楠同时从学校出发同向而行，小天速度是55米/分，楠楠速度是35米/分，走了10分钟，算式（55－35）×10表示( )。 启智拓新 13．过年贴窗花寄托了人们辞旧迎新、接福纳祥的美好愿望。春节快到了，社区里要给独居老人的窗户贴窗花增添年味，三（1）班的同学主动承担剪窗花的任务。每人剪4张窗花，需要12名同学一起剪。如果每人剪6张窗花，需要几名同学？ 14．华华参加某次登山活动，上山时每分钟走40米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走60米，华华往返的平均速度是多少？ 15．莎士比亚说：“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀。”为了迎接“4.23世界读书日”的到来，六年级95名同学准备集体购买《鲁滨逊漂流记》。经过询问，书店的优惠政策如下：请你计算说明，若每位同学买一本《鲁滨逊漂流记》，怎样买花的钱最少？最少需要多少钱？ 单价：30元/本 团购：80本≤购买量，买四赠一。 16．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行65千米，摩托车每小时行40千米，当汽车行到两地中点时，与摩托车还相距100千米。甲、乙两地相距多少千米？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $