专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦一元二次不等式及三个“二次”的关系核心知识点，系统梳理从不等式概念、解法（含参数与不含参数）到与二次函数、方程的联系，再到恒成立、有解等应用的递进脉络，构建完整学习支架。 资料以10大基础题型+2大提高题型分层设计，通过含参数不等式分类讨论培养数学思维，结合成本控制等实际应用题型发展数学眼光，即时训练与自我检测助力课中教学效率提升，课后学生可针对性强化，弥补知识盲点。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式重难点题型专训 （2个知识点+10大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、解不含参数的一元二次不等式 题型二、解含有参数的一元二次不等式 题型三、由一元二次不等式的解确定参数 题型四、一元二次方程根的分布问题 题型五、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型六、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 题型九、一元二次不等式的实际应用 题型十、二次函数的图象分析与判断 第二部分·练提高题型 题型一、解一元二次不等式 题型二、一元二次不等式有解、恒成立问题 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次不等式 1.一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.一元二次不等式的解法 （1）解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. （2）解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. 3.分式、高次、绝对值不等式的解法 （1）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. （2）解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. （3）解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4.一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件. 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为. 【即时训练】 1．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是_________． 知识点02 三个“二次”的关系 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 【注】：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间. （2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解. 【即时训练】 1．（24-25高二下·广西玉林·期末）函数的图象大致形状是：（    ） A．向上开口的抛物线 B．向下开口的抛物线 C．直线 D．折线 2．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________. 【基础题型一 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·湖南·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济宁·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）使有意义的x的取值范围是________． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【基础题型二 解含有参数的一元二次不等式】 【例2】（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26高一上·吉林松原·期中）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为________________． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【基础题型三 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 1．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 2．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【基础题型四 一元二次方程根的分布问题】 【例4】（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·期中）（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 3．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 4．（25-26高一上·福建福州·自主招生）已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 【基础题型五 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例5】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（24-25高一上·全国·单元测试）（多选）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则______． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为： (1)； (2)． 【基础题型六 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例6】（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西·期中）（多选）若不等式对任意恒成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知函数 (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集． 【基础题型七 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·青海西宁·期中）关于的不等式在时恒成立，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是（） A．2 B．4 C． D．5 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足条件的一组的值为___________．（写出一组即可） 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设函数． (1)若不等式解集为R，求实数a的取值范围； (2)记不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围． 【基础题型八 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例8】（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津·期末）已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，或，求实数的取值范围. 【基础题型九 一元二次不等式的实际应用】 【例9】（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 2．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）（多选）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【基础题型十 二次函数的图象分析与判断】 【例10】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列何者正确？（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）（多选）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 3．（24-25高一上·河南驻马店·阶段检测）一元二次函数的图象的顶点坐标是_______. 4．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示． (1)求出它的顶点坐标； (2)它的图像与轴交于两点（点在点的左侧），顶点为，求的面积． 【提高题型一 解一元二次不等式】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 1．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【提高题型二 一元二次不等式有解、恒成立问题】 【例2】（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东揭阳·期中）（多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·辽宁·期中）已知是实数，且，则的最小值是___________ 4．（2025高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 1．（24-25高一上·广东东莞·阶段检测）设a、b是实数，定义：，则满足不等式的实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 3．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 8．（25-26高一上·四川凉山·期中）（多选）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 9．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 11．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 12．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 14．（25-26高二下·全国·自主招生）已知对所有成立，则的取值范围是___________． 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 16．（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 17．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 19．（25-26高一上·北京东城·期末）已知关于的不等式． (1)当时，求此不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求的值； (3)若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 20．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式重难点题型专训 （2个知识点+10大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、解不含参数的一元二次不等式 题型二、解含有参数的一元二次不等式 题型三、由一元二次不等式的解确定参数 题型四、一元二次方程根的分布问题 题型五、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型六、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 题型九、一元二次不等式的实际应用 题型十、二次函数的图象分析与判断 第二部分·练提高题型 题型一、解一元二次不等式 题型二、一元二次不等式有解、恒成立问题 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次不等式 1.一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.一元二次不等式的解法 （1）解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. （2）解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. 3.分式、高次、绝对值不等式的解法 （1）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. （2）解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. （3）解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4.一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件. 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为. 【即时训练】 1．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立对二次项系数k的取值进行分类讨论，再由判别式可解得k的取值范围. 【详解】当时，不等式可化为，显然恒成立， 当时，若不等式对一切实数x都成立， 需满足，且，即； 综上可得，, 即k的取值范围是. 故答案为： 知识点02 三个“二次”的关系 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 【注】：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间. （2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解. 【即时训练】 1．（24-25高二下·广西玉林·期末）函数的图象大致形状是：（    ） A．向上开口的抛物线 B．向下开口的抛物线 C．直线 D．折线 【答案】A 【分析】由二次函数的二次项系数决定图象即可. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线， 故选：A 2．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意可判断二次函数的单调性，再结合对称性可解得的取值范围. 【详解】由题意得二次函数的对称轴为， 因为，所以函数在上单调递增， 因此函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，即，，，解得或， 故答案为：. 【基础题型一 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 1．（25-26高一下·湖南·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 2．（24-25高一上·山东济宁·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分别解每个不等式即可. 【详解】解，解集为； ，解集为； ，解得或； ，解集为. 故选：ABD 3．（25-26高三·全国·一轮复习）使有意义的x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】要使有意义，须使被开方数大于或等于零，解相应的一元二次不等式即得. 【详解】要使有意义，须使，即. 解得或. 所以使有意义的x的取值范围是或. 故答案为：或. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． 【基础题型二 解含有参数的一元二次不等式】 【例2】（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 1．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题可先将不等式因式分解，再根据与的大小关系讨论不等式的解集，最后结合解集中恰有个整数解确定的取值范围． 【详解】将不等式因式分解，可得， 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 当时，不等式变为，因为任何实数的平方都大于或等于，所以此时不等式无解，不符合题意； 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 综上，实数的取值范围为或． 故选：D． 2．（25-26高一上·吉林松原·期中）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】CD 【分析】分类讨论的范围即可求解. 【详解】当时，关于实数的一元二次不等式的解集为； 当时，关于实数的一元二次不等式的解集为; 当时，关于实数的一元二次不等式的解集为; 故选：CD 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为________________． 【答案】 【分析】根据的范围，判断根的大小关系，结合二次函数开口方向即可得解. 【详解】， 因为，方程的两根为，且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 【基础题型三 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】由不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以. 1．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 2．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意得一元二次方程的两根为－1和2，由韦达定理对选项逐一分析即可. 【详解】依题意，，且一元二次方程的两根为－1和2. 由韦达定理得，则，，. 故选：ABC. 3．（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解； (2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是； （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是． 【基础题型四 一元二次方程根的分布问题】 【例4】（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 1．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高一上·山东菏泽·期中）（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 【答案】AB 【分析】利用根的判别式一一计算可得. 【详解】对于A：因为，当时， 所以方程有两实数根，故A正确； 对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得， 即当时，方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C：当时，方程无实数根，故C错误； 对于D：若方程有两个实数根，，则，即， 当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误. 故选：AB 3．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 4．（25-26高一上·福建福州·自主招生）已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合韦达定理与正根的符号条件，分析判别式、根的和与积的范围，确定的取值区间； (2)先化简目标代数式，代入韦达定理的结果转化为关于的函数，通过配方法求其最大值. 【详解】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. 【基础题型五 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例5】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值. 【详解】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得． 故选：C 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·单元测试）（多选）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】由已知判定方程为二次方程，再结合可求出的取值范围，从而可得答案. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 所以选项A、B不符合题意，C、D符合题意， 故选：CD 3．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则______． 【答案】7 【分析】先将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果. 【详解】由恒成立， 即恒成立， 则，解得， 所以. 故答案为：7. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为： (1)； (2)． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)(答案不唯一) 【分析】根据一元二次不等式的解集的两个端点为对应方程的两个实数根，结合韦达定理可得答案. 【详解】（1）一元二次不等式的解集为，则为对应的方程的两个实数根， 由韦达定理可设不等式为，其中 则满足条件 （2）一元二次不等式的解集为，则为对应的方程的两个实数根， 由韦达定理可设不等式为，其中 则满足条件 【基础题型六 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例6】（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 2．（25-26高一上·江西·期中）（多选）若不等式对任意恒成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合和两种情况讨论不等式恒成立问题，即可列式求解. 【详解】当，即时，不等式为，不恒成立； 当时，由，解得． 综上所述，. 故选：AC 3．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知函数 (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 【分析】（1）函数恒成立问题结合二次函数的性质分类讨论即可得出参数范围； （2）讨论当，，三种情况不等式的解集，即可求得解集. 【详解】（1）当时，成立， 当时，解得 综上所述实数的取值范围为 （2）即 即 当时，，则 当时，，则 当时，，则 综上所述： 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 【基础题型七 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，求得，即可求解. 【详解】由时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立， 当时，可得，所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 1．（25-26高一上·青海西宁·期中）关于的不等式在时恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，要使不等式在时恒成立，则端点对应的函数值均小于零，解不等式求出的范围. 【详解】令， 则不等式在时恒成立，需满足， 即，所以，即实数的范围是. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是（） A．2 B．4 C． D．5 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解． 【详解】由得，解得， 故不等式对于任意恒成立， 则且，进而得 故均符合， 故选：BCD 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足条件的一组的值为___________．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】不妨设，根据一元二次不等式的求解方法，可知必须是的子集，据此写出一例即可． 【详解】因为该一元二次不等式有解，所以，不妨设， 的解集为，又在上恒成立， 则必须是的子集，所以且， 例如，． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设函数． (1)若不等式解集为R，求实数a的取值范围； (2)记不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可得； （2）利用参变分离，结合对勾函数求最值即可. 【详解】（1）由题意可知，对恒成立， 若，则，不满足； 若，则，得， 则实数a的取值范围为； （2）由题意可知，对恒成立， 则对恒成立， 当时，，则； 当时，，等号成立时， 则， 综上，实数a的取值范围为. 【基础题型八 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例8】（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 1．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由参变量分离法可知，存在使得，利用基本不等式求出在时的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】当时，由可得， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故. 故选：AB. 3．（25-26高二下·天津·期末）已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，或，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）由即可求解； （3）通过三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意可得恒成立， 则， 即， 解得. 故实数的取值范围为. （2），成立， 则， 即， 解得或. 故实数的取值范围为或. （3）①当时，由，解得或， 故当时，恒成立， 故只需当时，. 因为，所以，故实数的取值范围为； ②当时，由，解得或， 故当时，恒成立， 故只需当时，，解得. 故实数的取值范围为； ③当时，，，符合题意. 故实数的取值范围为. 由①②③可知，的取值范围是. 【基础题型九 一元二次不等式的实际应用】 【例9】（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 2．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）（多选）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 【答案】ABC 【分析】由实际问题列出不等式，解出不等式的解集，逐项判断即可. 【详解】设这批台灯的售价为x（元）， 则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 所以，化简得：, 解得：. 故选：ABC. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【答案】 【分析】根据“附加税=年销售额×税率”的等量关系建立关于的不等式，结合实际意义求解一元二次不等式即可得到结果。 【详解】由题意： ，且年销售量为正，即，解得， 此时附加税， 由题意，解得：，满足， 即的取值范围是. 【基础题型十 二次函数的图象分析与判断】 【例10】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列何者正确？（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象特征，即可判断. 【详解】由图象可知，开口向上，所以， 且，即. 故选：C 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图象，数形结合即可求解. 【详解】二次函数与轴的交点横坐标为 、 ， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知: . 故选: B. 2．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）（多选）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【分析】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 3．（24-25高一上·河南驻马店·阶段检测）一元二次函数的图象的顶点坐标是_______. 【答案】 【分析】把一元二次函数写成顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【详解】由， 则一元二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为： 4．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示． (1)求出它的顶点坐标； (2)它的图像与轴交于两点（点在点的左侧），顶点为，求的面积． 【答案】(1)； (2)16. 【分析】（1）由二次函数的对称轴得到点横坐标，再代入即可； （2）令得到两点坐标，结合点纵坐标即可得到的面积. 【详解】（1）因为二次函数的对称轴为， 将代入得， 所以点坐标为. （2）二次函数令解得， 所以点坐标为，B点坐标为，故， 由（1）得点纵坐标为8， 所以. 【提高题型一 解一元二次不等式】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：关于的一元二次方程有实根， 则，解得或． 1．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 2．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 4．（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【提高题型二 一元二次不等式有解、恒成立问题】 【例2】（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 1．（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元后结合二次函数的性质分对称轴的位置讨论可得. 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东揭阳·期中）（多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 3．（25-26高一上·辽宁·期中）已知是实数，且，则的最小值是___________ 【答案】. 【分析】设，得到，代入求得，化简得到，设，转化为方程有解，结合，即可得到答案. 【详解】设，则， 代入已知条件，可得，则， 所以， 设，可得， 因为存在实数，即方程有解， 则满足，即， 解得，即； 当时，由，可得，此时， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2025高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 1．（24-25高一上·广东东莞·阶段检测）设a、b是实数，定义：，则满足不等式的实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义分别求出，，然后解不等式可得. 【详解】， 设，， 所以， 所以， 所以，解得. 故选：C. 2．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图象开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 4．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 6．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 8．（25-26高一上·四川凉山·期中）（多选）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】AB 【分析】对A，由已知条件可得，结合二次函数的对称性求得；对BC，由A，，，代入求解一元二次不等式；对D，令，由题意可得，运算得解. 【详解】由不等式的解集为，则，且，即， 对于A，由的对称轴，则是的两根， 所以，得，且，故A正确； 对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误； 对于D，令，由对恒成立， 由于表示开口向上的抛物线， 所以，解得， 又，所以，故D错误. 故选：AB. 9．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 11．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 12．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 14．（25-26高二下·全国·自主招生）已知对所有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先把目标式看作以为自变量的二次函数，根据二次函数恒成立，判别式小于零，再将判别式看作是关于的二次函数，再根据恒成立，得出关于的不等式，求解即可. 【详解】将看作关于的二次函数：， 因为对任意的恒成立，故判别式恒成立， 故． 要使该式对任意恒成立，必须满足： ，解得，则. 故答案为：. 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 16．（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 17．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 19．（25-26高一上·北京东城·期末）已知关于的不等式． (1)当时，求此不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求的值； (3)若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，直接解不等式； （2）根据方程与不等式的关系求解； （3）利用分离参数法求解. 【详解】（1）当时，不等式为，即， 解得或，所以此不等式的解集为； （2）因为该不等式的解集为， 所以a<0,和为方程的解， 将方程化成一般式 所以，所以； （3）因为对恒成立， 所以， 又在上单调递减，所以， 所以的取值范围为. 20．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $