专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，系统梳理不含参数与含参数不等式解法、分式高次绝对值不等式处理，延伸至恒成立有解问题、实际应用及三个“二次”关系、根的分布、单调性等，构建递进式学习支架。 资料以11类题型（如实际应用、根的分布）为框架，例题与变式结合，通过销售、刹车距离等实际情境培养数学眼光，含参数讨论锻炼数学思维，三个“二次”关系强化数学语言表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 2 【题型2 解含参数的一元二次不等式】 3 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 3 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 4 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 5 【题型6 一元二次不等式有解问题】 6 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 6 【题型8 一元二次方程根的分布问题】 8 【题型9 二次函数的图象分析与判断】 9 【题型10 二次函数的单调性问题】 10 【题型11 三个“二次”关系的应用】 11 考点1 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点2 分式、高次、绝对值不等式的解法 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 知识点3 一元二次不等式恒成立、存在性问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-1】（25-26高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】（25-26高一上·福建福州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型2 解含参数的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【变式2-3】（25-26高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【变式3-3】（25-26高一上·安徽六安·期中）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（25-26高一上·河北·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·云南曲靖·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的不等式的解集为．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·海南·阶段检测）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 考点2 三个“二次”的关系 知识点4 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型8 一元二次方程根的分布问题】 【例8】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式8-1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【题型9 二次函数的图象分析与判断】 【例9】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式9-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【题型10 二次函数的单调性问题】 【例10】（25-26高一上·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-3】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11 三个“二次”关系的应用】 【例11】（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·山西·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式11-3】（25-26高一上·北京·期中）函数. (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 2 【题型2 解含参数的一元二次不等式】 3 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 6 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 8 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 10 【题型6 一元二次不等式有解问题】 13 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 16 【题型8 一元二次方程根的分布问题】 19 【题型9 二次函数的图象分析与判断】 21 【题型10 二次函数的单调性问题】 24 【题型11 三个“二次”关系的应用】 25 考点1 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点2 分式、高次、绝对值不等式的解法 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 知识点3 一元二次不等式恒成立、存在性问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 【变式1-1】（25-26高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先对不等式因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的解法解不等式即可． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为． 故选：A． 【变式1-3】（25-26高一上·福建福州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一元二次不等式运算求解即可. 【解答过程】由可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【题型2 解含参数的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对进行分类讨论即可求解 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解，故B可能； 当时，的解集为. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解题思路】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式2-3】（25-26高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【答案】(1)R； (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或. 【解题思路】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【解答过程】（1）时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； （2），即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将分式不等式转化为整式不等式，进而求解即可. 【解答过程】因为，所以， 解得. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可. 【解答过程】由，得，即，也即. 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次方程的解法即得； （2）去绝对值符号，求解不等式即可； （3）将分式不等式化为不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）因为方程的， 所以该方程有两个不相等的实数根，解得，. 不等式的解集为或. （2）原不等式可化为，即，解得. 所以原不等式的解集为. （3）可化为，即， 可等价为①或②，解①得，解②得不等式组无解. 综上，. 所以原不等式的解集为. 【变式3-3】（25-26高一上·安徽六安·期中）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先化简转化为，再解一元二次不等式即可； （2）结合绝对值意义解不等式； （3）先化简得出，再结合一元二次不等式解法计算可求. 【解答过程】（1）由可得，解得， 故原不等式的解集为． （2）由可得，即，解得， 故原不等式的解集为． （3）由可得，等价于， 解得，故原不等式的解集为． 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（25-26高一上·河北·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得关于的方程的根为和，利用韦达定理求出、的值，即可得解. 【解答过程】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为和， 所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·云南曲靖·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【解答过程】． 若，则原不等式的解集为，则，得； 若，则原不等式的解集为空集，不符合题意； 若，则原不等式的解集为，则，得． 综上所述，的取值范围为． 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的不等式的解集为．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由一元二次不等式的解集求出参数值，再解不含参的一元二次不等式求解集即可. 【解答过程】由题设1、2是的两个根，且，所以， 所以，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式4-3】（2026高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【解答过程】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【解答过程】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先因式分解得到，再根据关于的不等式的解集为，由求解. （2）将不等式对任意恒成立，根据，转化为求解. 【解答过程】（1）， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 （2）因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为， 所以 所以，对任意恒成立， 而，当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 【变式5-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【解答过程】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 【变式6-1】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·海南·阶段检测）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）不等式化为，讨论和，从而求出不等式的解集； （2）不等式化为，讨论和，从而求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）不等式即为，可化为， 由，得； 若，则不等式为，解得； 若，则，解不等式得或； 若，则，解不等式得或； 综上，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或. （2）不等式可化为； 时，不等式为，不成立； 时，不等式必有实数解； 时，应满足，解得或，即； 综上，实数的取值范围是． 【变式6-3】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【解答过程】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ， ， ， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立， ， 问题转化为：存在，使得成立， ， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解答过程】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【解题思路】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【解答过程】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B. 考点2 三个“二次”的关系 知识点4 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型8 一元二次方程根的分布问题】 【例8】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【解答过程】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【解答过程】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【解答过程】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B. 【题型9 二次函数的图象分析与判断】 【例9】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的图象和性质直接可得. 【解答过程】由的图象可知，， 得，，，，. 即，，. 所以BCD正确，A错误. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D. 【变式9-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 【题型10 二次函数的单调性问题】 【例10】（25-26高一上·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【解答过程】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 【变式10-1】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出，然后再根据二次函数的性质求出单调增区间. 【解答过程】因为函数经过原点，所以，即， 所以，图象开口向下，对称轴为， 所以函数的单调增区间为. 故选：B. 【变式10-2】（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【解答过程】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式10-3】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【题型11 三个“二次”关系的应用】 【例11】（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 【变式11-1】（25-26高一上·山西·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】因为抛物线的开口向下，所以. 由二次函数的图像可知，函数的图像开口向上，且该函数的图像与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 【变式11-2】（25-26高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 【变式11-3】（25-26高一上·北京·期中）函数. (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； （3）利用韦达定理及限制条件可得答案. 【解答过程】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. （2）当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （3）有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $