1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系

一、教学目标

1. 理解子集、真子集和集合相等的概念，能准确用符号表示集合间的包含关系，达到数学抽象核心素养水平一的要求。
2. 掌握空集的含义及其性质，能判断空集与任意集合的子集关系，达到数学抽象核心素养水平一的要求。
3. 运用包含关系进行简单推理，如通过 和 推出 ，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。

二、重点难点

教学重点：子集、真子集、集合相等与空集的定义及符号表示， 、 、 、 的判定与应用。
教学难点：子集与真子集的区别，空集是任何集合子集的理解，集合相等的双向包含逻辑。

三、课堂导入

同学们，我们先来看几组生活中的例子：
第一组，咱们班的全体班干部和咱们班的全体同学；第二组，所有的正方形和所有的矩形；第三组，方程 的解和方程 的解。

大家思考一下，每组中两个群体之间存在怎样的关系？其实这些对应着数学里集合间的不同关系，今天我们就来深入探究集合间的基本关系，一起认识子集、集合相等、真子集这些概念，并用它们来精准描述集合间的关联。

四、探究新知

（一）知识精讲
我们从具体实例出发，观察集合之间的元素归属关系，进而抽象出集合间的基本关系。

在实例（1）中， ， ，可以发现：集合 中的每一个元素（即 1、2、3）都属于集合 。这种“一个集合的所有元素都在另一个集合中”的关系，就是子集关系。

一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，那么称集合 是集合 的子集，记作读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）。

为了直观表示这种关系，数学中常用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这类图形称为Venn图。上述集合 与 的包含关系，可用如下Venn图表示：
 

 

在实例3中， ， 。根据几何定义，“有两条边相等的三角形”与“等腰三角形”是同一概念的两种表述，因此 与 所含元素完全相同。

一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素也都是集合 的元素，那么称集合 与集合 相等，记作
也就是说，集合相等就是：

进一步地，若 ，但存在某个元素 ，使得 ，则称集合 是集合 的真子集，记作读作“ 真包含于 ”。例如，在（1）中， 但 ，故 。

此外，我们引入一个特殊集合——空集。我们知道，方程 在实数范围内无解，因此其解集不含有任何元素。一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为 。并规定：空集是任何集合的子集，即对任意集合 ，都有
 

由子集的定义可推出两条基本性质：
（1）自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即
（2）传递性：对于集合 、 、 ，如果 且 ，那么

（二）师生互动
教师：我们刚才看到， 是 的子集，也是真子集；而 和 因为元素完全相同，所以相等。那么，请大家思考：如果已知 且 ，我们能直接得出什么结论？这个结论的依据是什么？

学生：可以得出 ，因为子集相等的定义就是两个方向都包含。

教师：很好。再想一想：空集 与集合 是同一个集合吗？为什么？

学生：不是。 不含任何元素；而 是以空集为唯一元素的集合，它有一个元素，所以 。

教师：非常准确！那请问： 和 之间是否存在子集关系？如果有，是哪种关系？

学生：因为空集是任何集合的子集，所以 ；又因为 中有一个元素 ，而 中没有元素，所以 ，因此 。