1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集的概念与符号表示。课堂导入通过班干部与同学、正方形与矩形等生活实例，引导学生观察集合间元素归属关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以数学抽象为核心，从实例抽象概念并结合Venn图直观呈现，师生互动辨析空集与{∅}等易混点，例1分类列举子集培养严谨性。通过逻辑推理引导学生理解传递性等性质，提升学生数学抽象与逻辑推理素养，为教师提供清晰教学流程与实例，助力高效教学。

1.2 集合间的基本关系 一、教学目标 1. 理解子集、真子集和集合相等的概念，能准确用符号表示集合间的包含关系，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 掌握空集的含义及其性质，能判断空集与任意集合的子集关系，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 3. 运用包含关系进行简单推理，如通过 和 推出 ，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。 二、重点难点 教学重点：子集、真子集、集合相等与空集的定义及符号表示， 、 、 、 的判定与应用。 教学难点：子集与真子集的区别，空集是任何集合子集的理解，集合相等的双向包含逻辑。 三、课堂导入 同学们，我们先来看几组生活中的例子： 第一组，咱们班的全体班干部和咱们班的全体同学；第二组，所有的正方形和所有的矩形；第三组，方程 的解和方程 的解。 大家思考一下，每组中两个群体之间存在怎样的关系？其实这些对应着数学里集合间的不同关系，今天我们就来深入探究集合间的基本关系，一起认识子集、集合相等、真子集这些概念，并用它们来精准描述集合间的关联。 四、探究新知 （一）知识精讲 我们从具体实例出发，观察集合之间的元素归属关系，进而抽象出集合间的基本关系。 在实例（1）中， ， ，可以发现：集合 中的每一个元素（即 1、2、3）都属于集合 。这种“一个集合的所有元素都在另一个集合中”的关系，就是子集关系。 一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，那么称集合 是集合 的子集，记作读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）。 为了直观表示这种关系，数学中常用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这类图形称为Venn图。上述集合 与 的包含关系，可用如下Venn图表示： 在实例3中， ， 。根据几何定义，“有两条边相等的三角形”与“等腰三角形”是同一概念的两种表述，因此 与 所含元素完全相同。 一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素也都是集合 的元素，那么称集合 与集合 相等，记作 也就是说，集合相等就是： 进一步地，若 ，但存在某个元素 ，使得 ，则称集合 是集合 的真子集，记作读作“ 真包含于 ”。例如，在（1）中， 但 ，故 。 此外，我们引入一个特殊集合——空集。我们知道，方程 在实数范围内无解，因此其解集不含有任何元素。一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为 。并规定：空集是任何集合的子集，即对任意集合 ，都有 由子集的定义可推出两条基本性质： （1）自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即 （2）传递性：对于集合 、 、 ，如果 且 ，那么 （二）师生互动 教师：我们刚才看到， 是 的子集，也是真子集；而 和 因为元素完全相同，所以相等。那么，请大家思考：如果已知 且 ，我们能直接得出什么结论？这个结论的依据是什么？ 学生：可以得出 ，因为子集相等的定义就是两个方向都包含。 教师：很好。再想一想：空集 与集合 是同一个集合吗？为什么？ 学生：不是。 不含任何元素；而 是以空集为唯一元素的集合，它有一个元素，所以 。 教师：非常准确！那请问： 和 之间是否存在子集关系？如果有，是哪种关系？ 学生：因为空集是任何集合的子集，所以 ；又因为 中有一个元素 ，而 中没有元素，所以 ，因此 。 教师：完全正确。最后一个问题：若 且 ，是否一定有 ？请结合子集的传递性和真子集的定义说明理由。 （三）设计意图 本部分内容紧扣学生已有的集合语言经验与生活实例，通过三个典型观察案例自然引出子集、集合相等、真子集和空集等核心概念，强调定义中的逻辑关键词——“任意一个元素”“都是”“同时”“存在”，着力培养学生的数学语言理解力与逻辑表达严谨性；在知识建构中渗透Venn图这一重要数学表征工具，提升学生数形结合的直观想象能力；师生互动问题层层递进，从定义复述到辨析易混概念（如 与 ），再到性质推理（真子集的传递性），既巩固了子集关系的判定标准，又发展了基于定义进行简单演绎的能力；整个过程坚持从具体到抽象、从实例到一般，体现数学概念生成的合理性与必要性，引导学生体会数学定义的精确性与简洁性所承载的理性精神，落实逻辑推理、数学抽象等核心素养的阶段性发展目标。 五、新知应用 例1题目： 写出集合 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解答：我们从子集的定义出发：如果集合 中的任意一个元素都属于集合 ，则称 是 的子集，记作 。 而真子集要求： ，且 存在至少一个元素 ，但 ，即 ，记作 。现在考虑集合 ，它含有 2 个元素。 根据集合子集的计数原理：含 个元素的集合，其子集个数为 个，真子集个数为 个（去掉它自身）。 这里 ，所以子集总数应为 个，真子集为 个。 我们逐个列举（按元素个数分类）：0 个元素的子集（即空集）： ✅ 空集是任何集合的子集（教材已规定），且因 ，故 ，是真子集。 1 个元素的子集： ： ，且无其他元素，满足子集定义；又 但 ，故 ，是真子集。 ：同理， ，且 但 ，故 ，是真子集。 2 个元素的子集： 显然， （任何集合都是它自身的子集），但不满足“存在元素属于 却不属于 ”的条件（因为二者完全相同），因此 不是真子集，仅是子集。 综上： 所有子集为： ， ， ， ； 真子集为： ， ， 。 例2题目： 判断下列各题中集合 是否为集合 的子集，并说明理由： (1) ， ； (2) ， 。 解答： 我们紧扣子集定义：若 ，则对任意 ，必有 。只需检验 中每一个元素是否都属于 ；若发现至少一个反例（即某元素在 中但不在 中），即可判定 。 (1)先明确集合 ：8 的正约数有 ；若未限定正约数，整数约数还包括 。但中学阶段默认讨论正整数范围内的约数（教材语境及集合 全为正整数，可合理推断 为正约数集合）。 故 。 检查 的每个元素： · （✓）； · （✓）； · ？但 不能整除 （ ），故 （✗）。 存在 但 ，因此 。 (2)这是几何概念的集合关系判断，需调用平面几何性质： 长方形定义：有一个角是直角的平行四边形（或：四个角都是直角的平行四边形）； 平行四边形对角线相等的充要条件是：它是矩形（即长方形）——这是重要定理（人教A版必修二已证）。 因此： 若 是长方形 → 是平行四边形，且其两条对角线相等 → ； · 即对任意 ，都有 。 故 成立。 例3题目： 对于集合 ， ，定义差集 ，对称差集 。下列四个选项中，错误的是（  ） A．若 ，则 B．若 ，则 C． D． 解答：选项A：若 ，则 由差集定义： 。 若 ，说明 中每一个元素都不属于 ，即对任意 ，都有 。 因此，不存在同时属于 和 的元素，故 。 ✅ 正确。 选项B：若 ，则 表示：不存在 满足 且 。 即：对任意 ，必有 。这说明 。 但该条件不能推出 ，即无法保证 中没有 之外的元素。 反例：设 ， ，则 ，但 。 ❌ 错误。此即本题答案。 选项C： 由题干定义： ， 而 ，二者完全一致。 ✅ 正确。 选项D： 是 中不属于 的部分； 是 中不属于 的部分； 它们的并集恰好是 与 中仅属于其中一个集合的所有元素，即“异或”部分， 而 正是这一部分（ 中去掉公共部分 ）， 故 。 ✅ 正确。 综上，唯一错误的是选项B。 六、板书设计 集合间的基本关系 ├─ 子集定义：若 中任意元素都属于 ，则 ├─ 集合相等： 且 ├─ 真子集： 且存在 但 ├─ 空集性质： 不含任何元素； （对任意集合 ） └─ 基本结论 　　├─ 自反性： 　　└─ 传递性：若 且 ，则 七、教学反思 本节课先通过三个实例引导学生观察集合间的关系，依次讲解子集、集合相等、真子集、空集的概念，结合Venn图辅助理解，最后总结集合关系的传递性等结论，完成了预设教学任务，多数学生能掌握核心概念与关系判定。成功之处在于从实例出发贴合学生认知，Venn图直观降低概念抽象性，符合课标对集合教学具象化的要求；不足之处是对空集与其他集合关系的变式训练不足，部分学生易混淆 与 的判定条件，后续需补充针对性练习强化区分。 学科网（北京）股份有限公司 $