专题6.9 数列求和（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和核心考点，涵盖等差等比数列公式法及非特殊数列的分组、错位相减、裂项相消等常用方法，按“基础方法-特殊类型-综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法总结、真题训练等环节帮助学生系统突破求和难点。 讲义采用题型分层教学法，针对错位相减、裂项相消等高频考点设计“例题-变式”训练链，结合近三年高考真题规律分析，培养学生数学思维与运算能力。设置奇偶项讨论、放缩裂项等专题突破，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

专题6.9 数列求和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 (2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 数列求和 新课标Ⅱ卷：第12题，5分 全国甲卷（文数）：第17题（2），7分 全国甲卷（理数）：第18题（2），7分 全国一卷：第16题（2），10分 全国二卷：第7题，5分 全国一卷：第14题，5分 全国二卷：第10题，6分 命题规律分析 1、数列求和 数列求和是高考的重点、热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一。 从近三年的高考情况来看，高考对数列求和考查比较稳定，题型、难度变化较小；在选择、填空题中考查较为简单，主要考查等差、等比数列的前n项和，难度不大；在解答题中多设置在第（2）小问，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，数列求和问题有时会与不等式、函数、导数等知识结合，难度中等，侧重数学运算能力；数列求和方法多种多样，高考复习时要加强对数列求和的几种常见方法的掌握，学会灵活求解。 考点1 数列求和 知识点1 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 知识点2 特殊数列求和 1．奇偶项讨论求和 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：. 角度1：求的前2n项和T2n； 角度2：求的前n项和Tn. 2．通项含有(-1)n的数列求和 通项含有(-1)n的类型；例如：. 【方法技巧与总结】 常用求和公式： (1). (2). (3). (4). 【题型1 公式法求和】 【例1】（2026·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据等比数列通项基本量的运算求得，代入等比数列求和公式求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C. 【变式1-1】（2026·云南·一模）已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质与求和公式计算即可. 【解答过程】因为是等差数列，，所以, 则． 故选：C． 【变式1-2】（2026·湖南张家界·三模）已知等比数列满足. (1)求的公比； (2)求的前项和. 【答案】(1)或. (2)或 【解题思路】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）由（1）知或，分类讨论，分别求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设等比数列的公比为， 因为，可得，即 两式作商，可得，即，解得或. （2）解：记为的前项和， 当时，由，即，可得， 此时. 当时，由，即，可得， 此时. 【变式1-3】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列前项和； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)（）． 【解题思路】（1）根据等差数列的性质，求出公差，进而求出通项公式，再利用等差数列前项和公式求解即可； （2）由已知条件易得，由累加法结合等比数列前项和公式求出通项公式. 【解答过程】（1）解：（1）由为等差数列，，则，解得， 又，所以， 因此，即， 所以，数列的前项和为； （2）由（1）知，又，所以， 则当时， ， 当时，，也符合， 即（）． 【题型2 错位相减法求和】 【例2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则____________． 【答案】 【解题思路】由题意以及等比数列的定义，可得数列的通项，根据等差数列的定义，可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【解答过程】因为，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， ， ， 则 ， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和____________. 【答案】 【解题思路】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和. 【解答过程】已知数列的通项公式为，则， 数列的前项和为，当时，，当时，， 因此数列的通项公式为 当时，； 当时，， 则， 两式相减得， 即. 化简得，时也符合该式， 综上所述，. 故答案为：. 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列通项公式列式，再利用构造法，结合等比数列定义求解. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）依题意，，则等差数列的公差， ，因此，数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以. 【变式2-3】（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 【题型3 裂项相消法求和】 【例3】（2026·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由得，，得到等差数列，求出，则，得到，再裂项求和即可. 【解答过程】由得，，所以， 则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则， 所以， 所以， 故选：C． 【变式3-1】（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据关系求出，再用裂项相消计算即可. 【解答过程】，则，则，， 而时，满足，故对，， 故. 故选：B. 【变式3-2】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【解题思路】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【解答过程】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【变式3-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系可得，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）由（1），根据对数的运算性质和等差数列前项求和公式计算可得，进而 ，结合裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）由，得， 相减可得，故. 当时，， 又，解得，所以， 因此对任意的，都有， 故为等比数列，且公比为3， 故. （2）. 故. ， 所以数列的前项和为. 【题型4 分组（并项）法求和】 【例4】（2026·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，由题意得出，可得出，进而可得出关于的方程，结合可得出的值，进而可求出的值，可得出这两个数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项和. 【解答过程】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中， 由题意，即，即，整理得， 因为，所以，故， 所以，则，故， 又因为, 所以数列的前项和为 . 故选：A. 【变式4-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【答案】D 【解题思路】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10 项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解. 【解答过程】由题意得， ，，， 所以， 当时，， 共10项，这10项的和为, 其余项有项， 当时，， 这些项的和为 ， 所以. 故选：D. 【变式4-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【解答过程】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 【变式4-3】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【解答过程】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 【题型5 倒序相加法求和】 【例5】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【解题思路】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【解答过程】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二·全国·寒假作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【答案】B 【解题思路】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【解答过程】由韦达定理，可得， 由等比数列性质可得． 设， 所以 则， 得 ， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】确定，通过倒序相加即可求解. 【解答过程】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 【题型6 奇偶项问题讨论求和】 【例6】（2026·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【答案】B 【解题思路】根据已知有，由，则，，，依次类推有，再应用分组求和即可得. 【解答过程】当且为奇数，， 当且为偶数，，则， 而，则，，，依次类推有， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 【答案】C 【解题思路】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【解答过程】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和 . 故选：C. 【变式6-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【解答过程】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 【变式6-3】（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【解答过程】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 【题型7 先放缩再裂项求和】 【例7】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和. 【解答过程】（1），① 当时，，② ①-②，得， 两边同时除以，得. 当时，. ， ，解得， 此时，也满足， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）证明：当时，， 当时，， 【变式7-1】（25-26高二上·陕西安康·期末）已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数即可证明； （2）由（1）得到的通项公式，再利用累加法求出的通项公式； （3）先对进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式. 【解答过程】（1）证明：已知，移项可得， 则， 当时，， 因为（常数），且首项， 所以是以4为首项，4为公差的等差数列. （2）由（1）可知是以4为首项，4为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得. 当时，. 将代入上式可得：. ， 当时，，上式也成立. 所以数列 的通项公式为 . （3）证明：因为， 所以. 当时，，不等式成立； 当时，. . 所以. 【变式7-2】（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【解答过程】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）证明：， 故 . （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 【变式7-3】（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【解答过程】（1），， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）证明：因为 ， 所以 ，即命题得证. 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解题思路】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【解答过程】设等差数列的公差为，则， . 故选：B. 2．（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【解答过程】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则. 故选：B. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【解答过程】设正项等比数列的首项为，公比为， 则，， 因为， 得，解得或（舍去），所以， 则． 故选：B. 4．（2026·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以. 故选：B. 5．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【解题思路】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【解答过程】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 故选：D. 6．（2026·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解. 【解答过程】因为，所以，又，所以， 所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以 所以， 所以， 所以，又，， 所以使得成立的最小整数为. 故选：B. 7．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【答案】D 【解题思路】根据给定的递推公式求出数列的通项公式，再利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解. 【解答过程】在数列中，由，得， 因此，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， ，所以 . 故选：D. 8．（2026·江西吉安·一模）已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据已知条件推导出数列的通项公式，进而可知的表达式，然后求出的通项公式，利用裂项相消法求得结果. 【解答过程】将代入得，即，解得， 当时，将代入得， 去分母得，所以， 所以，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（2026·四川成都·三模）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 【答案】ABD 【解题思路】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A，由等差数列求和公式判断B，利用裂项相消法求和判断C，根据通项公式并项求和可判断D. 【解答过程】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确. 故选：ABD. 10．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【解答过程】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 故选：ACD. 11．（2026·河南郑州·模拟预测）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【解答过程】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·湖南邵阳·一模）设等比数列的前项和为，若，，则___________． 【答案】 【解题思路】求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，故， 所以. 故答案为：. 13．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足， ，则数列的前5项的和为___________． 【答案】 【解题思路】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【解答过程】已知数列满足， ， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以， 所以的前5项的和为. 故答案为：. 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则___________． 【答案】（或） 【解题思路】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【解答过程】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：． 四、解答题 15．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2） ， ． 16．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求使成立的最小正整数. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系式进行分析，判断出数列是等差数列，由此求得数列的通项公式. （2）根据等差数列的前项和公式求得，由此解不等式求得正确答案. 【解答过程】（1）当时，， 解得或（舍去）， 所以， 当时，，，所以， 即，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 则； （2）由题意，的前项和，要使成立， 即， 在时单调递增， 时，， 时，， 所以的最小正整数为13. 17．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【解答过程】（1）证明：在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 18．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 19．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)；． (2) (3)最大项为，最小项为． 【解题思路】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和．求出奇数项，利用错位相减法求出，求出偶数项，利用裂项相消法求出，从而得到. （3）求出，由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨．①记偶数项为．计算，得到偶数项子数列是严格递减数列．则在所有偶数项中最大值为；②记奇数项为，判断奇数项子数列单调性，从而得到所有奇数项中的最小值为；进而即得． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意得方程组：， 得：即， 因为，解得，此时． 所以；． （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和． 因为奇数项． ， ， ， ， 所以．            偶数项 ． ， ， ． 所以 . （3）， 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨． ①记偶数项为． ． 因为，所以． 故，即偶数项子数列是严格递减数列． 因此，在所有偶数项中，最大值为．        ②记奇数项为． ． 当时，，所以，即． 当时，，所以， 即从第三项起，奇数项子数列严格递增，有 因此，在所有奇数项中，最小值为．         因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 所以数列最大项为，最小项为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.9 数列求和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 (2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 数列求和 新课标Ⅱ卷：第12题，5分 全国甲卷（文数）：第17题（2），7分 全国甲卷（理数）：第18题（2），7分 全国一卷：第16题（2），10分 全国二卷：第7题，5分 全国一卷：第14题，5分 全国二卷：第10题，6分 命题规律分析 1、数列求和 数列求和是高考的重点、热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一。 从近三年的高考情况来看，高考对数列求和考查比较稳定，题型、难度变化较小；在选择、填空题中考查较为简单，主要考查等差、等比数列的前n项和，难度不大；在解答题中多设置在第（2）小问，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，数列求和问题有时会与不等式、函数、导数等知识结合，难度中等，侧重数学运算能力；数列求和方法多种多样，高考复习时要加强对数列求和的几种常见方法的掌握，学会灵活求解。 考点1 数列求和 知识点1 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 知识点2 特殊数列求和 1．奇偶项讨论求和 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：. 角度1：求的前2n项和T2n； 角度2：求的前n项和Tn. 2．通项含有(-1)n的数列求和 通项含有(-1)n的类型；例如：. 【方法技巧与总结】 常用求和公式： (1). (2). (3). (4). 【题型1 公式法求和】 【例1】（2026·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【变式1-1】（2026·云南·一模）已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 【变式1-2】（2026·湖南张家界·三模）已知等比数列满足. (1)求的公比； (2)求的前项和. 【变式1-3】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列前项和； (2)求数列的通项公式． 【题型2 错位相减法求和】 【例2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则____________． 【变式2-1】（2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和____________. 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. 【变式2-3】（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型3 裂项相消法求和】 【例3】（2026·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【变式3-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型4 分组（并项）法求和】 【例4】（2026·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【变式4-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【变式4-3】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【题型5 倒序相加法求和】 【例5】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【变式5-1】（25-26高二·全国·寒假作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【变式5-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【题型6 奇偶项问题讨论求和】 【例6】（2026·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【变式6-1】（25-26高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 【变式6-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【变式6-3】（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【题型7 先放缩再裂项求和】 【例7】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【变式7-1】（25-26高二上·陕西安康·期末）已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【变式7-2】（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【变式7-3】（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 2．（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 4．（2026·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 5．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 6．（2026·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 8．（2026·江西吉安·一模）已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·四川成都·三模）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 10．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河南郑州·模拟预测）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 三、填空题 12．（2026·湖南邵阳·一模）设等比数列的前项和为，若，，则___________． 13．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足， ，则数列的前5项的和为___________． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则___________． 四、解答题 15．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 16．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求使成立的最小正整数. 17．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 18．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 19．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $