§2.1 等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先系统梳理等式的对称性、传递性等基本性质，再延伸至不等式的对称性、传递性、可加性等性质，通过数（式）大小比较、性质应用、求范围及实际应用四个题型构建学习支架，帮助学生逐步深化理解。 资料特色在于题型前设“方法提炼”，如作差比较法、整体代换法，培养数学思维中的推理与运算能力。实际应用题如窗户面积计算、加油策略比较，引导学生用数学眼光观察现实，用数学语言解决问题。课中助力教师系统教学，课后学生可通过分层练习巩固知识，查漏补缺。

§2.1 等式性质与不等式性质 目录 题型1：数（式）的大小比较 2 题型2：不等式性质的应用 3 题型3：利用不等式性质求范围 4 题型4：不等式性质的实际应用 5 1. 等式的基本性质 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么；（对称性） 性质2 如果，那么；（传递性） 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，那么； 由性质3可进一步得到“如果，那么”， 由性质4可进一步得到“如果，那么”. 2. 不等式的基本性质 对称性：； 传递性：； 可加性：； 可乘性：；； 同向可加性：； 同向同正可乘性：； 可乘方性：； 可开方性： ； 取倒数：. 题型1：数（式）的大小比较 方法提炼 (1) 作差比较法： (2) 作商比较法，适用于同号的两数（式）比较大小. ，则； ，则. 【例1.1.】 设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【例1.2.】 （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【例1.3.】 试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【例1.4.】 （1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【例1.5.】 已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 题型2：不等式性质的应用 方法提炼 (1) 运用不等式的性质判断命题真假的方法 ①利用不等式的性质逐个验证． ②利用特殊值法排除错误选项． ③作差法. (2) 证明不等式的一般思路 ①简单不等式的证明，可直接由已知条件利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. ②对于不等式两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 【例2.1.】 （多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2.2.】 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【例2.3.】 （多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2.4.】 （1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【例2.5.】 已知，求证:. 【例2.6.】 已知且求证： (1)，； (2)； (3). 题型3：利用不等式性质求范围 方法提炼 (1) 利用不等式性质求代数式范围时，注意：①同向不等式可相加但不能相减、相除；②避免分式拆分导致范围扩大；③利用整体代换法更准确。 (2) 已知，，求的取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围. 【例3.1.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知，，求的取值范围． 【例3.3.】 若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【例3.5.】 已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 题型4：不等式性质的实际应用 【例4.1.】 某教室的窗户面积必须小于地板面积，且窗户面积与地板面积的比值不小于. (1)若窗户与地板面积之和为，则窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积与地板面积，教室的采光效果是否改善？说明理由. 【例4.2.】 为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【例4.3.】 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【例4.4.】 甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【例4.5.】 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.1 等式性质与不等式性质 目录 题型1：数（式）的大小比较 2 题型2：不等式性质的应用 6 题型3：利用不等式性质求范围 11 题型4：不等式性质的实际应用 14 1. 等式的基本性质 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么；（对称性） 性质2 如果，那么；（传递性） 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，那么； 由性质3可进一步得到“如果，那么”， 由性质4可进一步得到“如果，那么”. 2. 不等式的基本性质 对称性：； 传递性：； 可加性：； 可乘性：；； 同向可加性：； 同向同正可乘性：； 可乘方性：； 可开方性： ； 取倒数：. 题型1：数（式）的大小比较 方法提炼 (1) 作差比较法： (2) 作商比较法，适用于同号的两数（式）比较大小. ，则； ，则. 【例1.1.】 设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【例1.2.】 （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【难度】0.78 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用差比较法判断两者的大小关系. （2）利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2） 略 【例1.3.】 试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【例1.4.】 （1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 【例1.5.】 已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 题型2：不等式性质的应用 方法提炼 (1) 运用不等式的性质判断命题真假的方法 ①利用不等式的性质逐个验证． ②利用特殊值法排除错误选项． ③作差法. (2) 证明不等式的一般思路 ①简单不等式的证明，可直接由已知条件利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. ②对于不等式两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 【例2.1.】 （多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.75 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，所以D选项正确. 【例2.2.】 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 【例2.3.】 （多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.88 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 【例2.4.】 （1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【例2.5.】 已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 【例2.6.】 已知且求证： (1)，； (2)； (3). 【答案】(1)证明: ，， ，， ，， ，； (2)证明: ， ， ， ， ， . 同理，，则有， ， ， ， 综上； (3)证明: ， ， ， ， ， . 【难度】0.4 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）从中解出和，分别代入得解； （2）将都乘以正数，得到，两边同加，得到，代入，得到，同理得到，从而得解； （3）先将两边平方整理后得到，再使用基本不等式得解. 【详解】（1）略； （2）略； （3）略. 题型3：利用不等式性质求范围 方法提炼 (1) 利用不等式性质求代数式范围时，注意：①同向不等式可相加但不能相减、相除；②避免分式拆分导致范围扩大；③利用整体代换法更准确。 (2) 已知，，求的取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围. 【例3.1.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 【例3.2.】 已知，，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 【例3.3.】 若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 【例3.4.】 已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 【例3.5.】 已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 题型4：不等式性质的实际应用 【例4.1.】 某教室的窗户面积必须小于地板面积，且窗户面积与地板面积的比值不小于. (1)若窗户与地板面积之和为，则窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积与地板面积，教室的采光效果是否改善？说明理由. 【答案】(1)20平方米 (2) 设和分别表示教室原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则， 因为，，所以.又因为，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，教室的采光效果变好了． 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）设教室窗户面积与地板面积分别为，，则，化简得即得解； （2）设和分别表示教室原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较他们的大小即得解． 【详解】（1）设教室窗户面积与地板面积分别为，， 则， 所以，所以，所以， 所以这所教室的窗户面积至少为20平方米； （2）略 【例4.2.】 为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 【例4.3.】 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 【例4.4.】 甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 【例4.5.】 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【答案】(1)采用策略①购买的产品总量为，总金额为；策略②购买的产品总量为，总金额为 (2)采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 【难度】0.72 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）代入数值计算，直观对比两种策略采购数据； （2）通用推导平均价格，作差比较大小判断经济性，再分情况讨论得出结论． 【详解】（1）因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． （2）略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $