第05讲 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，衔接上节课作差比较大小的方法，系统梳理基本不等式（a,b>0时，(a+b)/2≥√(ab)，当且仅当a=b取等）的证明、几何意义（半圆中弦长与半径关系）及“一正、二定、三相等”求最值步骤，搭建完整学习支架。 资料以“数学眼光”呈现几何意义，“数学思维”强化推理证明，“数学语言”解决实际问题（如围矩形菜地最值）。题型分类训练含证明、求最值及应用，变式层层递进，巩固检测分基础与能力提升，助力课中教学与课后查漏补缺。

第 05 讲 基本不等式 ▶ 预习目标 ● 1．理解基本不等式 （）及其几何意义。 ● 2．掌握“一正、二定、三相等”的求最值步骤。 ● 3．会用基本不等式证明简单不等式、求代数式最值、解决实际应用问题。 ● 4．体会“和定积最大、积定和最小”的对称思想。 ▶ 知识回顾 上节课我们比较大小靠“作差”。当两数均为正数时，还有一种更便捷的工具——基本不等式： ● 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 取等； ● 若 ，则 ，即 。 ▶ 新知导图 基本不等式 （，当 取等） 几何意义 半圆中垂直于直径的弦长 半径 求最值 一正（正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 基本不等式及其证明 若 ，则 ，当且仅当 时等号成立。证明：由 展开得 ，即 。 ◆ 知识点 02 几何意义 以长为 的线段 为直径作半圆， 为 上一点且 ；过 作垂线交半圆于 ，则 ，而半径 。显然半弦 ，直观说明 。 ◆ 知识点 03 一正二定三相等 用基本不等式求最值必须满足：① 正数（各项 ）；② 定值（和或积为常数）；③ 等号可取得。口诀：“和定积最大，积定和最小”。 ◆ 理解提示 若缺少“正数”条件，可先配出正数；若“和（积）不固定”，常通过配凑、换元、乘常数“造定值”。等号取不到时基本不等式只能给范围，真正最值需用函数或导数。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 已知 ，证明：。 【变式 1-1】 对任意实数 ，下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【变式 1-2】 已知 ，证明：。 【变式 1-3】 已知 ，且 ，证明：。 【例 2】 已知 ，求 的最小值。 【变式 2-1】 已知 ，求 的最小值。 【变式 2-2】 已知 ，求 的最大值。 【变式 2-3】 已知 ，求 的最小值。 【例 3】 用一段长为 的篱笆，借助一面足够长的墙围矩形菜地（墙作一边），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 【变式 3-1】 周长固定的矩形中，面积最大的是（ ） A．任意矩形 B．正方形 C．长条形 D．无法确定 【变式 3-2】 用 篱笆靠墙围矩形，最大面积为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 两个正数之和为 ，它们的积最大为（ ） A． B． C． D． 【例 4】 已知 且 ，求 的最小值。 【变式 4-1】 已知 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 已知 且 ，求 的最小值。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础训练（每小题 6 分，共 60 分） 1． 已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 2． 已知 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 3． 已知 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 4． 下列求最值正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 5． 已知 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 6． 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7． “正数 满足 为定值”是“ 有最大值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 8． 已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 9． 已知 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 10． 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（每小题 8 分，共 40 分） 11． 已知 ，求 的最小值。 12． 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 13． 已知 ，证明：。 14． 用 篱笆围一面靠墙的矩形牧场，最大面积为（ ） A． B． C． D． 15． 已知 且 ，求 的最大值。 ▶ 参考答案（原卷请另见解析版） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 05 讲 基本不等式 ▶ 预习目标 ● 1．理解基本不等式 （）及其几何意义。 ● 2．掌握“一正、二定、三相等”的求最值步骤。 ● 3．会用基本不等式证明简单不等式、求代数式最值、解决实际应用问题。 ● 4．体会“和定积最大、积定和最小”的对称思想。 ▶ 知识回顾 上节课我们比较大小靠“作差”。当两数均为正数时，还有一种更便捷的工具——基本不等式： ● 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 取等； ● 若 ，则 ，即 。 ▶ 新知导图 基本不等式 （，当 取等） 几何意义 半圆中垂直于直径的弦长 半径 求最值 一正（正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 基本不等式及其证明 若 ，则 ，当且仅当 时等号成立。证明：由 展开得 ，即 。 ◆ 知识点 02 几何意义 以长为 的线段 为直径作半圆， 为 上一点且 ；过 作垂线交半圆于 ，则 ，而半径 。显然半弦 ，直观说明 。 ◆ 知识点 03 一正二定三相等 用基本不等式求最值必须满足：① 正数（各项 ）；② 定值（和或积为常数）；③ 等号可取得。口诀：“和定积最大，积定和最小”。 ◆ 理解提示 若缺少“正数”条件，可先配出正数；若“和（积）不固定”，常通过配凑、换元、乘常数“造定值”。等号取不到时基本不等式只能给范围，真正最值需用函数或导数。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 已知 ，证明：。 【答案】 由 展开得 ，两边除以 即得。 【详解】 证明：因 ，故 ，即 。 【变式 1-1】 对任意实数 ，下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】 B 【详解】 重要不等式 对任意实数成立；A 需 ；C 为平方平均不等式亦成立，但题目问“恒成立”最基础的是 B（且 C 虽真，B 更直接无附加条件）。按单选取 B。 【变式 1-2】 已知 ，证明：。 【答案】 由基本不等式 两边平方即得。 【详解】 证明：因 ，有 ，两边平方得 。 【变式 1-3】 已知 ，且 ，证明：。 【答案】 由 得证。 【详解】 证明：由基本不等式推论 ，当且仅当 取等。 【例 2】 已知 ，求 的最小值。 【答案】 由基本不等式 ，当 取等，最小值为 。 【详解】 解：因 ，故 ，当且仅当 时取等号，所以最小值为 。 【变式 2-1】 已知 ，求 的最小值。 【答案】 ，当 即 取等，最小值为 。 【详解】 解：，当且仅当 取等，最小值为 。 【变式 2-2】 已知 ，求 的最大值。 【答案】 ，当 取等，最大值为 。 【详解】 解：由“和定积最大”，因 为定值，故 ，当 取等，最大值为 。 【变式 2-3】 已知 ，求 的最小值。 【答案】 令 ，则原式 ，当 即 取等，最小值为 。 【详解】 解：，因 ，由基本不等式得 ，当 即 取等，最小值为 。 【例 3】 用一段长为 的篱笆，借助一面足够长的墙围矩形菜地（墙作一边），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 设垂直墙的边长为 ，则平行墙边长为 ，面积 ，当 取等，最大面积 。 【详解】 解：设垂直墙边长 ，平行墙边长 ，面积 ，当 时取等，最大面积 。 【变式 3-1】 周长固定的矩形中，面积最大的是（ ） A．任意矩形 B．正方形 C．长条形 D．无法确定 【答案】 B 【详解】 周长一定时，正方形（长宽相等）面积最大，由 取等条件 可知。 【变式 3-2】 用 篱笆靠墙围矩形，最大面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 设垂直墙 ，平行墙 ，，当 取等。 【变式 3-3】 两个正数之和为 ，它们的积最大为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 和定积最大：，当两数均为 取等。 【例 4】 已知 且 ，求 的最小值。 【答案】 ；由 得 ，当 取等，最小值为 。 【详解】 解：；又 ，故 ，当 取等，最小值为 。 【变式 4-1】 已知 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 和定积最大：，当 取等。 【变式 4-2】 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 积定和最小：，当 取等。 【变式 4-3】 已知 且 ，求 的最小值。 【答案】 ，当 取等，最小值为 。 【详解】 解：，当且仅当 取等，最小值为 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础训练（每小题 6 分，共 60 分） 1． 已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 2． 已知 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 基本不等式：。 3． 已知 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 和定积最大：，当 取等。 4． 下列求最值正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】 A 【详解】 正数情形下基本不等式直接得 ；D 在 时无意义。 5． 已知 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 6． 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 7． “正数 满足 为定值”是“ 有最大值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】 A 【详解】 和定 积最大（充分）；但积最大未必要求和固定（如 也可），非必要。 8． 已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 9． 已知 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，当 取等。 10． 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 同例 4，。 ◆ 二、能力提升（每小题 8 分，共 40 分） 11． 已知 ，求 的最小值。 【答案】 原式 ，当 即 取等，最小值为 。 【详解】 解：令 ，原式 ，当 即 取等，最小值为 。 12． 已知 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 由 得 ，令 得 ，故 。 13． 已知 ，证明：。 【答案】 左边 。 【详解】 证明：原式 ，每组由基本不等式 ，故总和 。 14． 用 篱笆围一面靠墙的矩形牧场，最大面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 设垂直墙 ，平行墙 ，，当 取等。 15． 已知 且 ，求 的最大值。 【答案】 ，当 即 取等，最大值为 。 【详解】 解：，当 取等，最大值为 。 ▶ 基础训练 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．A 5．A 6．B 7．A 8．B 9．B 10．C ▶ 能力提升 参考答案 11．原式 ，当 即 取等，最小值为 。 12．C 13．左边 。 14．B 15．，当 即 取等，最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $