2.1 等式性质与不等式性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次函数方程和不等式的基础，系统梳理不等关系的符号表示、作差法比较大小、重要不等式及不等式性质，形成从实际问题抽象到方法应用的完整学习支架。 以现实情境引入培养数学眼光，通过作差变形和性质推导发展数学思维，用符号语言精准表达提升数学语言能力。实例丰富如网店包邮问题，课中助教师高效授课，课后助学生查漏补缺巩固重点。

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 [学习要点] 1.能结合实际问题，用不等式（组）准确表示不等关系，掌握常见文字描述与不等符号的对应转换 2.掌握作差法比较两数（式）大小的通用步骤，能通过配方、因式分解等变形判断差的符号（重点） 3.理解重要不等式的推导与等号成立条件，能进行简单应用 4.熟记等式与不等式的基本性质，能利用性质快速判断不等式的正误（重点） 5.能运用不等式性质完成简单不等式的证明，掌握同向、同正等前提条件（难点） 6.能利用不等式性质结合整体代换思想，求解代数式的取值范围（难点） [导语] 现实世界中，相等是相对的，不等是普遍的。路程的远近、重量的大小、速度的快慢、利润的高低，都对应着数量上的不等关系。不等式就是刻画不等关系的数学工具，本节课我们将从实际不等关系的表示出发，学习比较大小的基本方法、不等式的核心性质，并运用性质完成判断、证明与范围求解，为后续解不等式、研究函数奠定基础。 一、用不等式表示不等关系 核心知识点 1. 常见文字语言与符号语言的对应 文字描述 大于、超过、高于 小于、低于、少于 大于等于、不低于、至少 小于等于、不超过、至多 符号 2. 表示不等关系的注意事项 · 先审清题意，明确不等关系的关键词，区分“不超过”“至少”等易混表述； · 存在多个约束条件的问题，要用不等式组表示全部限制； · 实际问题中的变量要符合现实意义，如长度、人数均为正数，人数需为正整数等。 例1.用不等式（组）表示下列问题中的不等关系： (1) 某网店规定：订单商品总金额元不低于99元可享受包邮，且单个商品重量千克不超过20千克可正常发货； (2) 现有浓度为20%的盐水克，加入5克盐后，盐水的浓度不低于25%； (3) 某矩形仓库的长为米，宽为米，要求长大于宽的2倍，且仓库的占地面积不超过200平方米。 例2.(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)实数a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 二、作差法比较大小 核心知识点 1. 理论依据（实数大小比较的基本事实） 两个实数的大小关系与它们差的符号一一对应： · · · 2. 作差法的基本步骤 ① 作差：写出两个代数式的差； ② 变形：通过因式分解、配方、通分、有理化等方式，将差转化为易于判断符号的形式； ③ 定号：根据已知条件，判断差的正负； ④ 结论：依据基本事实得出大小关系。 3. 补充说明 对于两个正数，也可使用作商法（比较商与1的大小），但作差法适用范围更广，是比较大小的通用方法。 例3.比较下列各组中两个代数式的大小： (1) 比较与的大小； (2) 已知，比较与的大小。 例4.已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 三、重要不等式 核心知识点 1. 核心重要不等式 对任意实数，都有 当且仅当时，等号成立。 2. 推导与理解 · 证明：由完全平方的非负性，展开得，移项即得； · 本质：作差法证明不等式的典型应用，是后续均值不等式的基础。 3. 常用推论（时） ，当且仅当时等号成立。 例5. (1) 求证：对任意实数，都有； (2) 已知，求证：，并指出等号成立的条件。 四、利用不等式性质判断大小 核心知识点 1. 等式的基本性质（回顾） · 对称性：若，则； · 传递性：若，则； · 可加性：若，则； · 可乘性：若，则；若，则。 2. 不等式的基本性质 性质名称 性质内容 注意要点 对称性 双向等价 传递性 单向，不可逆 可加性 双向等价，是移项的依据 可乘性 乘正数不变号，乘负数变号 同向可加性 同向才能相加 同向同正可乘性 同向且均为正数才能相乘 可乘方性 正数条件不可省略 3. 常用补充性质 · 倒数性质：若，则；若，则； · 判断技巧：判断命题真假时，可通过特殊值法快速排除错误选项。 例6. 对于实数，下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 五、利用不等式性质证明不等式 核心知识点 1. 证明思路 利用不等式的基本性质，从已知条件出发，逐步推导出待证的不等式；也可结合作差法，通过判断差的符号完成证明。 2. 注意事项 每一步变形都必须有对应的性质作为依据，不能随意推广； 运用可乘性、可乘方性时，必须关注正负条件； 同向不等式只能相加，不能直接相减；同向正数不等式才能相乘。 例7. 已知，，，求证：。 例8. 已知a>b>0，c<0，求证. 六、利用不等式性质求取值范围 核心知识点 1. 基础方法：利用同向可加性、同向同正可乘性，对已知范围的代数式进行变形，得到目标式的范围。 2. 整体代换法 当已知两个代数式的范围，求它们线性组合的范围时，用待定系数法将目标式表示为已知式的线性组合，再利用不等式性质运算，避免多次变形扩大范围。 3. 注意事项 多个不等式不能直接相减、相除，需转化为加相反数、乘倒数； 变量有正负之分时，求乘积、商的范围要分类讨论。 例9 (1) 已知，，分别求、、的取值范围； (2) 已知，，求的取值范围。 课堂小结 1. 知识框架 · 不等关系的符号表示：关键词与不等号的对应，不等式组的应用 · 作差法比较大小：基本事实、四步流程、变形技巧 · 重要不等式：及简单推论 · 不等式的7条基本性质与补充性质 · 不等式的三类应用：判断正误、证明、求取值范围 2. 方法归纳 · 大小比较：作差法（通用）、作商法（正数）、特值排除法 · 不等式证明：性质推导法、作差比较法 · 范围求解：同向运算、整体代换（待定系数法） 3. 常见误区 · 忽略实际问题中变量的现实意义，漏写定义域； · 作差变形不彻底，无法准确判断差的符号； · 运用可乘性时忽略乘数的正负，错误保留不等号方向； · 求范围时多次独立变形，导致取值范围被扩大； · 误认为同向不等式可以直接相减、相除。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 [学习要点] 1.能结合实际问题，用不等式（组）准确表示不等关系，掌握常见文字描述与不等符号的对应转换 2.掌握作差法比较两数（式）大小的通用步骤，能通过配方、因式分解等变形判断差的符号（重点） 3.理解重要不等式的推导与等号成立条件，能进行简单应用 4.熟记等式与不等式的基本性质，能利用性质快速判断不等式的正误（重点） 5.能运用不等式性质完成简单不等式的证明，掌握同向、同正等前提条件（难点） 6.能利用不等式性质结合整体代换思想，求解代数式的取值范围（难点） [导语] 现实世界中，相等是相对的，不等是普遍的。路程的远近、重量的大小、速度的快慢、利润的高低，都对应着数量上的不等关系。不等式就是刻画不等关系的数学工具，本节课我们将从实际不等关系的表示出发，学习比较大小的基本方法、不等式的核心性质，并运用性质完成判断、证明与范围求解，为后续解不等式、研究函数奠定基础。 一、用不等式表示不等关系 核心知识点 1. 常见文字语言与符号语言的对应 文字描述 大于、超过、高于 小于、低于、少于 大于等于、不低于、至少 小于等于、不超过、至多 符号 2. 表示不等关系的注意事项 · 先审清题意，明确不等关系的关键词，区分“不超过”“至少”等易混表述； · 存在多个约束条件的问题，要用不等式组表示全部限制； · 实际问题中的变量要符合现实意义，如长度、人数均为正数，人数需为正整数等。 例1.用不等式（组）表示下列问题中的不等关系： (1) 某网店规定：订单商品总金额元不低于99元可享受包邮，且单个商品重量千克不超过20千克可正常发货； (2) 现有浓度为20%的盐水克，加入5克盐后，盐水的浓度不低于25%； (3) 某矩形仓库的长为米，宽为米，要求长大于宽的2倍，且仓库的占地面积不超过200平方米。 【答案】(1) 由题意得； (2) 加盐后盐的总质量为克，盐水总质量为克，因此； (3) 由题意得。 例2.(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)实数a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 【答案】(1)0<h≤4. (2)a+b≥0. (3)L>0,W>0,L>4W,(L+10)(W+10)<350. 二、作差法比较大小 核心知识点 1. 理论依据（实数大小比较的基本事实） 两个实数的大小关系与它们差的符号一一对应： · · · 2. 作差法的基本步骤 ① 作差：写出两个代数式的差； ② 变形：通过因式分解、配方、通分、有理化等方式，将差转化为易于判断符号的形式； ③ 定号：根据已知条件，判断差的正负； ④ 结论：依据基本事实得出大小关系。 3. 补充说明 对于两个正数，也可使用作商法（比较商与1的大小），但作差法适用范围更广，是比较大小的通用方法。 例3.比较下列各组中两个代数式的大小： (1) 比较与的大小； (2) 已知，比较与的大小。 【答案】(1) 作差展开化简： 因此。 (2) 作差并因式分解： 整理得。 因为恒成立， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故。 例4.已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 【答案】3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1得x-1≤0，而3x2+1>0，所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1. 三、重要不等式 核心知识点 1. 核心重要不等式 对任意实数，都有 当且仅当时，等号成立。 2. 推导与理解 · 证明：由完全平方的非负性，展开得，移项即得； · 本质：作差法证明不等式的典型应用，是后续均值不等式的基础。 3. 常用推论（时） ，当且仅当时等号成立。 例5. (1) 求证：对任意实数，都有； (2) 已知，求证：，并指出等号成立的条件。 证明：(1) 作差并配方： 因为平方数非负，所以， 因此，当且仅当时等号成立。 (2) 因为，由重要不等式： 当且仅当，即时，等号成立。 四、利用不等式性质判断大小 核心知识点 1. 等式的基本性质（回顾） · 对称性：若，则； · 传递性：若，则； · 可加性：若，则； · 可乘性：若，则；若，则。 2. 不等式的基本性质 性质名称 性质内容 注意要点 对称性 双向等价 传递性 单向，不可逆 可加性 双向等价，是移项的依据 可乘性 乘正数不变号，乘负数变号 同向可加性 同向才能相加 同向同正可乘性 同向且均为正数才能相乘 可乘方性 正数条件不可省略 3. 常用补充性质 · 倒数性质：若，则；若，则； · 判断技巧：判断命题真假时，可通过特殊值法快速排除错误选项。 例6. 对于实数，下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】选B。 选项A：当时，，故A错误； 选项B：由，两边乘负数得；两边乘负数得，因此，故B正确； 选项C：由，根据倒数性质，负数越小倒数越大，故，C错误； 选项D：由得，因此，结合，得，D错误。 五、利用不等式性质证明不等式 核心知识点 1. 证明思路 利用不等式的基本性质，从已知条件出发，逐步推导出待证的不等式；也可结合作差法，通过判断差的符号完成证明。 2. 注意事项 每一步变形都必须有对应的性质作为依据，不能随意推广； 运用可乘性、可乘方性时，必须关注正负条件； 同向不等式只能相加，不能直接相减；同向正数不等式才能相乘。 例7. 已知，，，求证：。 证明：因为，所以。 又，根据同向正数可加性，得。 对正数取倒数，由倒数性质得。 已知，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，因此： 原不等式得证。 例8. 已知a>b>0，c<0，求证. 证明：因为a>b>0，所以ab>0，>0. 于是a·， 即， 由c<0，得. 六、利用不等式性质求取值范围 核心知识点 1. 基础方法：利用同向可加性、同向同正可乘性，对已知范围的代数式进行变形，得到目标式的范围。 2. 整体代换法 当已知两个代数式的范围，求它们线性组合的范围时，用待定系数法将目标式表示为已知式的线性组合，再利用不等式性质运算，避免多次变形扩大范围。 3. 注意事项 多个不等式不能直接相减、相除，需转化为加相反数、乘倒数； 变量有正负之分时，求乘积、商的范围要分类讨论。 例9 (1) 已知，，分别求、、的取值范围； (2) 已知，，求的取值范围。 【答案】(1) 由得，结合， 由同向可加性：，即。 由得， 结合，同向相加得，即。 由得，分情况讨论： 当时，； 当时，，故，即。 综上，。 (2) 设， 整理得， 因此，解得。 所以。 由得， 由得， 两式相加得， 即。 课堂小结 1. 知识框架 · 不等关系的符号表示：关键词与不等号的对应，不等式组的应用 · 作差法比较大小：基本事实、四步流程、变形技巧 · 重要不等式：及简单推论 · 不等式的7条基本性质与补充性质 · 不等式的三类应用：判断正误、证明、求取值范围 2. 方法归纳 · 大小比较：作差法（通用）、作商法（正数）、特值排除法 · 不等式证明：性质推导法、作差比较法 · 范围求解：同向运算、整体代换（待定系数法） 3. 常见误区 · 忽略实际问题中变量的现实意义，漏写定义域； · 作差变形不彻底，无法准确判断差的符号； · 运用可乘性时忽略乘数的正负，错误保留不等号方向； · 求范围时多次独立变形，导致取值范围被扩大； · 误认为同向不等式可以直接相减、相除。 学科网（北京）股份有限公司 $