3.2.4 黄金分割-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

福南针·课堂优化·九年纸上册·数学(BS) 第4课时 黄金分割 基础导学 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC 和BC(AC>BC),如果能-瓷，那么称线段 AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金 分制点，AC与AB的比叫作黄金比，其中铝 5-1≈0.618. 2 课 后 演练 【基础过关】 知识点①黄金分割的概念 1.如图，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC,如果铝-器，那么称线段AD被点C黄 金分割，AC与AB的比叫作黄金比，其比值 是 B A.5-1 2 B.3-5 2 C.5+1 2 D.3+5 2 2.已知线段AB=1,点C,D是线段AB上的两 个黄金分割点，则CD的长是 A.5-1 B.25 2 2 C.5-2 D.√5-2 2 3.已知黄金矩形的宽为(5-1)cm,则这个黄金 矩形的面积是 cm2. 知识点2黄金分割的应用 4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己 的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本 书的长为20cm,则它的宽约为 ) A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 5.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为 y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的 扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为 A.108 B.120 C.135 D.216 6.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温 (36℃)的黄金比值（即黄金分割值）时，身体 感到特别舒适，这个温度大致是 ℃（用 整数填写)： 7.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点 A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点 B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄 金分割点，则AC= DC 知识点3)黄金分割点的确定 8.如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC,BE 相交于点F,求证：点F是线段AC的黄金分 割点. 9.定义：如图①，点C在线段AB上，若满足 AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金 分割点.如图②，在△ABC中，AB=AC=1, ∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)4CB (2)B 图① 图② 第三章图形的相似 (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点. (2)求出线段AD的长. 【能力提升】 10.如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形（底 与腰的比为52的三角形是黄金三角形)， 若△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角 形，已知AB=4,则DE= 第10题图 第11题图 11.如图，E为平行四边形ABCD的边AD延长 线上一点，且D为AE的黄金分割点，即AD -5AE,BE交DC于点F,已知CF 2,则AB= 73 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS)》 12.已知线段AB=6,点C为线段AB的黄金分 【创新拓展】 割点，求下列各式的值： (1)AC-BC; 1B.宽与长的比是5的矩形叫黄金矩形，心 (2)AC·BC. 理测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给 我们以协调、匀称的美感，现将小波同学在 数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如 下（如图所示）： 第一步：作一个正方形ABCD; 第二步：分别取AD,BC的中点M,N,连 接MN; 第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧， 交BC的延长线于点E; 第四步：过点E作EF⊥AD,交AD的延长 线于点F. 请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金 矩形 (在正方形ABCD中，取AB=2a.) ·74·指南针·课堂优化· 14.(1)△BMN是等腰直角三角形，证明略 5.DM=7.5,EK=6,FK=10 (2)△MFN∽△BDC.理由略 6.A7.C8.B9.440cm 第3课时相似三角形的判定(3) 10.(1)0G=6(2)EF=24 基础导学 1.成比例 1.1:329 13.BC=6,BF=2.5 2.(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 14.(1)AM:AB=1:3(2)证明略(3)证明略 (3)三边成比例的两个三角形相似 第2课时相似三角形判定定理的证阴 课后演练 课后演练 1.B2.B3.34.105.6或126.证明略 1A2.B3.A425.B6.4 7.B8.5:3 7.(1,0)或（一4,0）或（一1,0） 9略10.多11.4号 7 8.(1)证明略(2)△ABC和△DEF相似，理由略 12.(1)证明略 (3)解：如图：△P2P4P (2)解：由(1)得：△ABCp△ADE, 8器 ,AD=4,AB=5,BC=8, 号-品∴DE-器 9.△CDB10.135°1.10或号 13.(I)CF与BD的位置关系是垂直；证明略 (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成立.理由略 12.AB=10,BC=813.(1)证明略(2)证明略 14.(D当x=号时，PQ/BC,(2)存在AP-9 (3③)①点D在线段BC上运动时，CP=号+女 9 第4课时黄金分割 ②点D在线段BC延长线上运动时，CP= 4十x 课后演练 4相似三角形的性质 1.A2.D3.2(W5-1)4.A5.C6.22 7.(40w5-40)cm(80√5-160)cm 第1课时相似三角形的性质(1) 基础导学 8.证明略9.(1)证明略(2)AD=5-1 2 1.对应角 对应边2.对应高 课后演练 10.6-2w511.√5+1 1.A2.A3.A4.C 12.若AC>BC, 5.(1)3:13:1(2)4:14:14:1 (1)AC-BC=6V5-12; 6.487.4.8 (2)AC·BC=36√5-72. 8.AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm. 若AC<BC, 9.(1)证明略 (1)AC-BC=12-6W5; (2),'△ABC∽△ACD,CE⊥AB于点E, (2)AC·BC=36√5-72. DF⊥AC于点F, 13.证明略 漂怨 3相似三角形判定定理的证明 10.(1)证明略(2)BE=411,3512.3或号 第1课时平行线分线段成比例 课后演练 1B.1证明略（公荒-是 1.B2.B3.74.12 14.(1)Rt△CPQ的面积为S=20t-4t; 39 九年级上册·数学(BS) (2)当t=3时，CP=20一4t=8cm, CQ=2t=6 cm, 由勾股定理得PQ=√CP+CQ=√82+6 =10cm; (3=3或4-智时，以点CP,Q为顶点的三角 形与△ABC相似. 第2课时相似三角形的性质(2) 基础导学 1.(1)相似比(2)相似比的平方 2.(1)相似比相似比的平方 课后演练 1.B2.B3.55cm4.证明略 5.c6号 7.2 8.(1)证明略 (2)S四边形ABCD=24 =片 4 10.4:911.4 12.(1)证明略 (2DE=号 13,()自变量x的取值范围是：1<x<: (2)AD的长为号或号 5 图形的位似 第1课时位似图形的概念与作图 基础导学 4.(1)位似中心(2)对应点(3)各对应点 课后演练 1.B2.D3.C4.B5.B6.A7.①②③⑤ 8.2：3 9.(1)如图1，△A'B'C'即为所求， (2)如图2，四边形A'BCD'即为所求， 图1 图2 10.1)略(2)号 (3)略 11.34o5212.①③④13.证明略 14.(1)略(2)正方形EF'P'N'的边长为35一3 第2课时位似图形的坐标变换 基础导学 坐标原点 课后演练 1.B2.A3.B4.D5.2:1(2,0),(1,2) 6.(9,0)7.（-8,一3)或(4,3) 8.(1)略(2)图略，A2坐标（一2，一2） 9.(1)略(2)函数关系式为y=2x一8 10.(3,2)11.（-1,0)或(5，-2) 12.(1)正△A,B,Co和正△AB,C,的相似比=名 它们的位似中心为点O; (2)第n个三角形△A.B.Cm(n≥2)的周长 为23 13.(1)①260°②2(2)O1O3=AO2,O1O3⊥AO2 回顾与思考 1Dc3)号252 2 3.(2)两角(3)两边夹角(4)三边 4.(1)对应线段 5.(1)相等比例(2)相似比 (3)相似比相似比的平方 6.同一点相似比 课后演练 1.D2.B3.C4.D5.B6.9:47.12 8.1cm 3-5 2 9.(1)略(2)略(3)点P的坐标为(2a+2,2b). 10.(1)证明略(2)△ABC的面积是45. 11.24cm12.①②③ 13.(1)证明略(2)AB=号 14.(1)两个等式都成立理由略（②-号 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 课后演练 1.B2.D3.34.略5.A6.D7.C 40