第二章直线和圆的方程单元检测卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的方程，通过倾斜角、圆的方程等基础概念，对称点最值、阿氏圆等能力题，培养数学抽象、逻辑推理与建模素养，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|倾斜角（1）、两圆距离最值（5）|基础概念与空间形式结合，如第5题用圆心距与半径求最值，体现数学眼光| |多选题|3题|阿氏圆性质（10）|融合数学文化与逻辑推理，如第10题探究轨迹及平分线性质，培养理性精神| |填空题|3题|矩形动态最值（14）|坐标法解决几何问题，如第14题建系设点用不等式求最值，发展数学思维| |解答题|5题|两圆位置关系（16）|综合应用与问题解决，如第16题求圆方程并求公共弦长，提升数学语言表达能力|

人教A版选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元检测 （能力提升卷02） 一、单选题 1．在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 3．直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 8．若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．直线：，：的距离为 B．直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D．直线与互相平行，则的值是或 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在x轴上存在异于的两定点，使得 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在C上存在点M，使得 11．已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 三、填空题 12．直线与直线的夹角的大小为________． 13．若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______． 14．如图，已知矩形ABCD的边，．点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______． 四、解答题 15．求满足下列条件的的值. (1)直线与直线平行； (2)直线与直线垂直； (3)已知两点，直线与线段有交点. 16．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 17．已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 19．已知的圆心在y轴上，且经过点和 (1)求的标准方程； (2)过点的直线l与交于A，B两点.若，求直线l的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册第二章单元检测能力提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C B C C A AC BC 题号 11 答案 CD 1．D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得答案. 【详解】在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 故选：D. 2．C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值. 【详解】由题意，，则. 故选：C 3．D 【详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 4．C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 5．B 【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心， 半径， 在三角形中，， 根据正弦定理可得，，即， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以是锐角， 所以的最大值为. 故选：B. 6．C 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当直线与直线平行时，，且，解得 当时，直线为，直线为，两直线平行. 因此“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 7．C 【分析】根据直线确定定点，求出定点与已知点所成直线的斜率，数形结合得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 8．A 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 9．AC 【分析】对于A利用两平行线的距离公式即可判断A，对于B分直线不过原点和过原点讨论即可判断， 对于C利用两直线垂直求出即可判断，对于D利用两直线平行求出即可判断. 【详解】对于A：直线：，：的距离为，故A正确； 对于B：当直线不过原点时设直线的方程为，又直线过点，所以，解得， 即，当直线过原点时，设方程为，又直线过点，所以， 所以，故B错误； 对于C：直线与垂直时， 所以或， 所以“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：直线与互相平行，所以，故D错误, 故选：AC. 10．BC 【分析】设点，根据求出的轨迹方程可判断A；假设在x轴上存在异于的两定点使得，设，根据、点P的轨迹方程求出可判断B；由利用余弦定理可判断C；设，由、点M在C上解得无实数解可判断D. 【详解】设点，则，化简整理得， 即，故A错误； 假设在x轴上存在异于的两定点， 使得.设，则， 化简整理得， 由点P的轨迹方程为得， 解得或，因为点异于点，所以， 所以假设成立，故B正确； 由于， 只需证明， 即证， 化简整理得，又， 则 ，则，故C正确；    设，由得， 整理得①， 又点M在C上，故满足②，联立①②，解得无实数解，故D错误. 故选：BC. 11．CD 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD 12．/ 【分析】分别求得两直线的倾斜角，进而可求得两直线的夹角. 【详解】直线的斜率不存在，故倾斜角为， 直线的斜率为，故倾斜角为， 所以直线与直线的夹角的大小为. 故答案为：. 13．或 【分析】讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，显然点，到直线l的距离相等，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 根据题意，得，即，可得，解得， ∴直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 故答案为：或． 14． 【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，表示出，用基本不等式求最小值. 【详解】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，． 设，则，，． 因为 ． 当且仅当，即时，“＝”成立，所以的最小值为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：数量积的计算方法：（1）定义法；（2）坐标法；（3）基底法；（4）极化恒等式；（5）数量积的几何意义（投影）. 15．(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由平行性质计算即可得； （2）由垂直性质计算即可得； （3）求出直线所过定点后，分别计算、，结合直线斜率计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 当时，直线，符合； 当时，直线，符合； 故或； （2）由题意可得，解得； （3）直线过定点， 又，， 则或，解得或， 故的范围为或. 16．(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 19．(1)； (2)或 【分析】（1）设：，结合题意建立关于b、r的方程组，解之即可得到本题的答案； （2）根据直线l的斜率是否存在进行讨论，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式加以计算，可得直线l的方程． 【详解】（1）设：， 根据题意，得,解得, 所以的标准方程为； （2）①当过点的直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 此时直线l与相交于、，可得，符合题意； ②当过点的直线l与x轴不垂直时， 设l：，即, 由直线l被截得的弦长， 可知点到直线l的距离d满足，解得， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即, 综上所述，直线l的方程是或 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $