四川省成都市树德中学（外国语校区）2025-2026学年高二上学期数学周考（六）

**基本信息** 树德中学高二上数学周考卷涵盖立体几何、解析几何、数列等模块，解答题注重知识整合（如空间几何线面关系与外接球、椭圆存在性问题），梯度适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量、直线斜率、圆位置关系|基础概念辨析，如等比中项与圆锥曲线离心率多解| |多选|3/18|平行六面体性质、等差数列前n项和|选项分层，如双曲线渐近线与焦点距离综合判断| |填空|3/15|等比数列计算、椭圆离心率|情境简洁，如抛物线与圆相交弦长最值| |解答|5/77|圆与直线、空间几何、椭圆综合|强调推理与模型，如抛物线切线定值证明（数学思维）、四棱锥建系计算（空间观念），贴合高考综合题命题趋势|

树德中学（外国语校区）高2024级高二上数学周考六 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知空间向量，，若，则的值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．直线经过，两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（     ） A． B． C． D． 3．已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，点形成的轨迹内有一点，设某条弦过点且以为中点，那么这条弦所在直线的方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（     ） A． B． C．或 D．或 6．已知，，点满足，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．设为数列的前项积，已知，则（     ） A． B． C． D． 8．经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线．点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交 于点，则 （     ） A． B． C． D．不确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．如图，在平行六面体中，，且 ，则下列说法中正确的有（     ） A． B． C． D．直线平面 10．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 11．如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近 线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点，， .则下列说法正确的是（     ） A． B． C．的内切圆半径是 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在等比数列中，已知，，则            . 13. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为            . 14. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于，，，，则的最小值为                        . 四、解答题：本题共5小题。 15.（13分）已知圆，圆，直线过点. （1）（7分）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程； （2）（6分）若圆是以为直径的圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程。 16.（15分）设数列的前项和，满足，且. （1）（7分）证明：数列为等差数列； （2）（8分）求的通项公式. 17.（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别在棱，上，且，。 （1）（4分）求证：； （2）（6分）求平面与平面夹角的余弦值； （3）（5分）求三棱锥外接球的表面积。 18.（17分）已知椭圆的一个焦点短轴长为。 （1）（4分）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点。 （i）（6分）证明：点在以为直径的圆外； （ii）（7分）在上是否存在点使得是等边三角形。若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。 19. 已知，动点到点的距离比到直线的距离小1。记动点的轨迹为。 （1）（4分）求的方程； （2）设，过点作的切线，与直线交于点，直线与交于点，与抛物线交于另一点。 （i）（6分）证明：点与点的纵坐标的乘积为定值； （ii）（7分）设，，求的最大值。 周考六参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C B B B ACD ABD 题号 11 答案 ABD 12． 13．/ 14． 15．【详解】（1）根据题意，圆，其圆心，半径， 又直线l过点且与圆相交， 则可设直线l的方程为，即， 直线l被圆所截得的弦长为，则圆心到直线的距离， 则有，解可得：或；则直线l的方程为或； （2）根据题意，圆，圆心为， 其一般式方程为， 又由，圆P是以为直径的圆，则圆P的方程为：， 变形可得：， 又由，作差可得：． 所以圆P与圆的公共弦所在直线方程为． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，属于综合题． 16．【详解】（1）由可得， 即， 所以是以1为首项，以2为公差的等差数列， （2）由（1）可得，即， 当时，， 当时，所以不满足， 所以， 17.【详解】（1）底面，平面，平面， ，，在矩形中， 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 得证： （2）（3） 18.【详解】（1）由题意得，，所以， 则椭圆的标准方程为， （2）（i）由题意得，， 当直线斜率为时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立， 设，， 则， 故在以为直径的圆外. （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形， 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，，由（i）得， ，由于在直线上，所以 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则 解得，即， 故直线的方程为或. 19.【详解】（1）设，显然，由题设， 所以，即为动点的轨迹方程； （2）由题意，可设直线，，，则， （i）设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点与点的纵坐标的乘积为定 （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 学科网（北京）股份有限公司 $