四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期数学周考3

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学核心知识，通过直线与圆、空间向量等基础题型巩固概念，以折叠问题、太极图情境设计提升直观想象与逻辑推理能力，适配周测对知识掌握与素养发展的双重考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线斜率范围、空间基底判定、概率事件关系|第2题结合线段交点考查斜率范围，体现数形结合| |多选题|3|概率互斥独立、太极图几何性质、立体几何折叠|第10题以太极图为情境，融合对称性与线性规划，渗透文化传承| |填空题|3|圆的方程、折叠对称、空间曼哈顿距离|第14题定义空间曼哈顿距离，创新考查空间向量应用| |解答题|2|立体几何面面角与距离、圆的公共弦及定点问题|第16题设计圆的综合应用，通过公共弦、定点证明培养数学建模与逻辑推理|

2024级高二高中数学周考试题（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线与直线，若，则（    ） A． B． C．2或 D．5 2．直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4．已知一组样本数据，其中为正实数．满足．下列说法不正确的是（    ） A．样本数据的第50百分位数为 B．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 C．已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 5．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 6．把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的值不可以为（　　） A． B． C．0 D．3 二、多选题 9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（   ） A． B． C．A与C互斥 D． 10．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题，其中正确命题是（    ） A．在太极图中黑色阴影部分的面积是整体的； B．当时，直线与白色部分有公共点； C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为2； D．设点，点在此太极图上，使得，的取值范围是. 11．如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（    ） A． B．和所成角为 C．点到直线的距离为 D．若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 三、填空题 12．圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ． 13．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则 . 14．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 .    四、解答题 15．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点B到平面的距离． 16．已知圆，点是直线上的动点.    (1)圆与圆交于，两点，求直线的方程； (2)过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； (3)易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 参考答案 1.【答案】A 【详解】若，则， 解得或． 当时，，，所以与重合； 当时，，，所以，符合题意； 综上所述：． 故选：A. 2.【答案】D 【详解】当直线l过点时，， 当直线l过点时，， 要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围. 故选：D 3.【答案】B 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 4.【答案】C 【详解】因为，样本数据的第50百分位数为，故A正确； 对于B， 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”， 则样本数据的平均数小于中位数，故B正确； 对于C，由题知，这组数据的极差为， 则数据的极差为，故C错误； 对于D，，则， 所以，故D正确. 故选：C. 5.【答案】D 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D 6.【答案】A 【详解】 取为的中点，则. 设球的半径为，则，得，则. 因为，， 所以二面角的平面角为. 由，得. 故选：A. 7.【答案】B 【详解】直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，    当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 8.【答案】D 【详解】设，则， 所以，整理得， 由题意圆与圆有公共点， 所以，平方化简得，解得， 结合选项可知实数a的值可以为、0、，不可以为3. 故选：D． 9.【答案】AC 【详解】样本空间为，事件，事件，事件. ，A选项正确； ，B选项错误； ∵，∴与互斥，C选项正确； ∵，∴， 而，则D选项错误； 故选：AC. 10.【答案】AD 【详解】对于A，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，A正确； 对于B，当时，直线, 过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点. 圆的圆心为，半径为，圆心到直线， 即直线的距离为， 所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述， 直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，B错误； 对于C，设，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大， 由解得（舍去），C错误； 对于D，要使得，即需要过点P的两条切线所成角大于等于， 所以，即，于是，解得，故D正确． 故选：AD. 11.【答案】ACD 【详解】取中点，连接，因为，为中点， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面. 以为原点，分别以过与垂直、平行的直线为轴、轴，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A：，，所以，A正确； 对于B：，设和所成角为，则， 又，所以，B错误； 对于C：，则点到直线的距离 ，C正确； 对于D：设，则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， 解得，即，D正确. 故选：ACD. 12.【答案】或 【详解】设圆心坐标为，半径为，则，解得或. 所以圆的标准方程为或. 故答案为：或. 13.【答案】 【详解】依题意，直线的斜率，点的中点， 则图纸的折痕所在直线方程为，即，令，得，即， 由轴与直线正好重合，得点在直线上，即， 又直线与轴的交点在直线上，则，从而， 所以. 故答案为： 14.【答案】 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系，    则，设，则， 所以，即，令， 所以 ，而， 所以，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 15. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，. 由题意、、、、、， 则有，，. 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面与平面所成角的大小为，则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 故点B到平面的距离为. 16.【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)定点，证明见解析 【详解】（1）因为两圆的圆心距为，且， 所以圆与圆相交. 所以两圆的公共弦所在的直线方程为：， 化简得：，即为直线的方程. （2）设过点的直线与：的交点为，与直线：的交点为. 因为为线段的中点， 所以. 所以直线的斜率为：. 所以直线的斜率为定值，且. （3）设，因为，所以直线的方程为. 由. 因为是方程的一个根，所以另一根，也就是的横坐标为： ， 所以，即. 同理，直线的方程为，由可得. 所以， 设直线方程为，则. 所以直线的方程为. 所以直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $