四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期数学周考4

**基本信息** 高2024级高二上学期数学周练（四）聚焦空间几何与统计核心内容，通过正方体动态点、社区讲座统计等情境，分层考查直观想象、数据分析与逻辑推理，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5题|空间直角坐标系、法向量距离、统计图表|社区讲座得分图表分析（题3），考查中位数、方差等数据特征，培养数据观念| |多选题|2题|方向向量与法向量关系、正方体动态点|正方体动态点位置关系（题8），结合空间向量判断线面平行与距离，渗透直观想象| |填空题|4题|独立事件概率、平行六面体夹角、外接球|平行六面体夹角计算（题10），强化空间向量数量积运算，体现数学思维严谨性| |解答题|3题|统计频率分布、立体几何折叠与体积|折叠问题（题14）结合体积存在性探究，考查空间垂直证明与二面角计算，贴合高考综合题型设计|

高2024级高二上学期数学周练（四） 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B．讲座后问卷答题得分的众数为90 C．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差 4. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 6. 已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A B. C. D. 8.在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题 9．甲、乙两人各自独立地解题，已知他俩能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是 ． 10．平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则与所成角的余弦值为=__________ 11．四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，，，，则其外接球的表面积为 ；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为 ． 12. 如图，大小为的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 ． 四、解答题 13．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； (3)已知落在[50，60）的平均成绩是61，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．（注：） 14. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．    (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 参考答案 1.【答案】A 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 2.【答案】B 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 3.【答案】B 【详解】对于A：由图可知，讲座前问卷答题得分的中位数为，故A正确； 对于B：由图可知，讲座后问卷答题得分中，95分出现四次，次数最多，故众数为95，即B不正确； 对于C：由图可知，讲座前问卷答题得分比讲座后的较分散，即讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差，故C正确； 对于D：讲座前问卷答题得分的极差大约为，讲座后问卷答题得分的极差小于，故D正确. 故选：B 4.【答案】C 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则，所以 5.【答案】B 【详解】设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以，所以的取值范围为，故选：B ，所以.故选：C 6.【答案】ABC 【详解】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件， 故A、B正确； 若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件， 故C正确，D错误. 故选：ABC 7答案A,C 8.【答案】ACD 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 9.【答案】0.625 10.， ， 而， ， ， 11.【详解】记四边形的外接圆的圆心为，因为， 所以平面， 记四棱锥的外接球的球心为，则平面， 所以四棱锥的外接球的球心在直线上， 设， 因为四边形的外接圆圆心就是的外接圆，设外接圆的半径为， 因为，， 所以为等边三角形，，故， 因为平面，平面，所以， 所以，， 又，所以， 由已知球心在的垂直平分线上，所以， 所以四棱锥的外接球的半径的半径， 所以四棱锥的外接球的表面积， 设的中点为，则， 所以， 因为，所以， 所以三点共线， 因为，，所以，又， 所以，又， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为， 故答案为：，.    12． 13.【详解】（1）由题意，解得：. （2）由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. （3）因为落在与的频率之比为； 所以， . 14.【详解】（1）在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 15.【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故.    （2）当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为.    （3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.    试卷第10页，共14页 试卷第9页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $