专题01 有理数混合运算的专项训练（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“单一运算-综合运算-拓展应用”为逻辑主线，系统提炼有理数运算的分步方法与转化技巧，通过分层题型实现从基础到创新的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数加减运算|3题型/3典例|符号分步确定法、减法转加法、运算律简化|从单一加减到混合运算，构建“符号-绝对值”双维度运算模型| |有理数乘除运算|3题型/3典例|0因数判定、负因数符号规则、除法转乘法|延续加减运算逻辑，强化“先符号后绝对值”运算流程| |混合与拓展运算|4题型/4典例|运算顺序分级、公式法简便运算、新定义转化|整合加减乘除及乘方，通过实际问题与创新题型培养运算能力与应用意识|

专题01 有理数混合运算的专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 有理数的加法运算 题型02 有理数的减法运算 题型03 有理数的加减运算 题型04 有理数的乘法运算 题型05 有理数的除法运算 题型06 有理数的乘除运算 题型07 有理数的加减乘除混合运算 题型08 含乘方的有理数的混合运算 题型09 利用运算律简便运算 题型10 新定义运算问题 ▌题型01 有理数的加法运算 一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值 【典例1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图①，表示算式，则图②所表示的算式是______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）绝对值大于8且小于12的所有整数的和是 _____ ． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； ▌题型02 有理数的减法运算 运用减法法则进行减法运算时，注意到符号的两次改变，一变是变运算符号，把“一”(减号)变为“十”(加号);二变是变减数的性质符号，即减数正变负，负变正. 【典例2】（2026·浙江杭州·一模）小明在某气象网站查询到某地连续四天的天气情况，信息如表所示，则这四天中温差最大的一天是（    ） 周三 周四 周五 周六 − 3 ~ 7 ° C − 2 ~ 13 ° C 0 ~ 8 ° C − 1 ~ 8 ° C A．周三 B．周四 C．周五 D．周六 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【变式3】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）计算：． 【变式4】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． ▌题型03 有理数的加减运算 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 【典例3】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． ▌题型04 有理数的乘法运算 1.观察因数中有没有0.若有0.则积为0. 2.如果因数都不等于0，那么应先确定积的符号. 3.计算积的绝对值时，通常把小数化为分数，带分数化为假分数，便于约分. 【典例4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在数，2，，5，中任取两个数相乘，其中最小的积是，最大的积是，则的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，，且，那么的值是（    ） A．1或 B．或 C．或 D．或 【变式3】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算：__________． 【变式4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型05 有理数的除法运算 有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值 【典例5】（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列算式中可以运用分配律使计算简便的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），括号内应依次填入：______；______；______；______． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高，另一台比进价低．总的来看商店是赚钱还是赔钱？赚（赔）多少元？ ▌题型06 有理数的乘除运算 (1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 【典例6】（21-22七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（20-21七年级上·浙江金华·期中）若“！”是一种数学运算符号，并且，且公式，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）浙教版新教材七上第六章《目标与评定》中有这样的素材：上海东方明珠广播电视塔建成于1994年，塔下端三根斜柱共同支撑的球状建筑的直径是50米，你能根据下图估计出上海东方明珠广播电视塔的大致高度吗？现量得图中该球状建筑的直径是0.5厘米，塔高是4.6厘米，则上海东方明珠广播电视塔的实际高度约为________米． 【变式3】（22-23七年级上·浙江·开学考试）根据，直接写出下面算式的得数． __________   ___________ 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) ▌题型07 有理数的加减乘除混合运算 如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 【典例7】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）图中，能说明“”与“”相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在一种运算方法“矩阵”，，则矩阵的值是___________． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型08 含乘方的有理数的混合运算 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【典例8】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）的计算结果是（    ） A． B．4 C． D．12 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列计算： ①； ②； ③； ④． 其中错误的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．④ 【变式2】（25-26七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）根据乘方的意义，可将转化为底数为的幂，如，从而可得到：．按此规律，计算：______． 【变式4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ▌题型09 利用运算律简便运算 【典例9】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算下面各题，能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简便的用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． ▌题型10 新定义运算问题 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 【典例10】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义新运算“※”对任意有理数a、b，规定，例如：，则计算（　　） A． B． C．0 D．18 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义新运算“”对任意有理数a、b，规定，例如：，则计算（   ） A． B． C． D．18 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数，，，则的结果是________． 【变式4】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 有理数混合运算的专项训练 (题型突破举一反三) 题型01有理数的加法运算 典例精析 【典例1】 【答案】6 三 举一反三 【变式1】 【变式2】 【答案】0 【变式3】 【答案】(10 (2)-20 (3)-42 (4)-1.4 【变式4】 7 【答案】(4 (2)-44 (3)-1 题型02有理数的减法运算 E 典例精析 【典例2】B 举一反三 【变式1】A 【变式2】B 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3】 【答案】6 【变式4】 【答案】(1)-17 2-101 24 题型03有理数的加减运算 典例精析 【典例3】B 举一反目 【变式1】C 【变式2】 【答案】22 【变式3】 【答案】-1 【变式4】 【答案17+3+(8 2)-173 4 题型04有理数的乘法运算 典例精析 【典例4】C 举一反三 【变式1】C 【变式2】D 【变式3】 【答案】0 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】(1)1 (2)1 (3)1 (4)-1 题型05有理数的除法运算 E 典例精析 【典例5】c 举一反三 【变式1】c 【变式2】 【答案】 20 48 62.5 【变式3】 【答案】(1)1 (2)-1 (3)2或-2 【变式4】 【答案】赔钱，赔钱200元 题型06有理数的乘除运算 典例精析 【典例6】C 三举一反目 【变式1】C 【变式2】 【答案】460 【变式3】 1,21 【答案】 2.1/210/0 425 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】(1)-14 1 22 (3)-11 1 412 【变式5】 【答案】(1)2025 (2)0.1 6 (3 (4)10 3 5)2 (6)3 (7)19 (8)30 (9)4047 题型07有理数的加减乘除湿合运算 典例精析 【典例7】C 举一反三 【变式1】c 【变式2】B 【变式3】 【答案】-7 【变式4】 【答案】(1)25 (2)16 (3)14 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)-13 题型08含乘方的有理数的混合运算 典例精析 【典例8】C 举一反三 【变式1】B 【变式2】D 【变式3) 【答案】3 【变式4】 【答案】(1)13 (2)-21 (3)-11 (4)-10 (5)-8 题型09利用运算律简便运算 典例精析 【典例9】 【答案】(1)399 (2)4.5 (3)36 (4)6 (5)110 6房 举一反三 【变式1】 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)580： (2)2000: (3)11.2: 1 (4)7: (5)57: (6)0.3 【变式2】 【路案】哈 1 20 3号 44 (5)19 (6)73 【变式3】 【答案】(1)2018 (2)36 (3)1.25 5 48 【变式4】 【答案】(1) 原武（》（号号 （号 =-7； (2) 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 有错误，园园错误地将带分数100拆分为10×10, 正确拆分应为10+ 10 再利用乘法分配律计算。 改正：原式 10+ 10x(←0j+7(-10) =-100-7 =-107 题型10新定义运算问题 三典例精析 【典例10】C 举一反三 【变式1】A 【变式2】B 【变式3】 【答案】-5 【变式4】 【答案】(1)1 (2)①4-20-7：②-5050 7/7 专题01 有理数混合运算的专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 有理数的加法运算 题型02 有理数的减法运算 题型03 有理数的加减运算 题型04 有理数的乘法运算 题型05 有理数的除法运算 题型06 有理数的乘除运算 题型07 有理数的加减乘除混合运算 题型08 含乘方的有理数的混合运算 题型09 利用运算律简便运算 题型10 新定义运算问题 ▌题型01 有理数的加法运算 一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值 【典例1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据气温变化，使用有理数加法法则计算中午气温． 【详解】解：∵早晨的气温为，中午气温上升了， ∴中午气温为． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图①，表示算式，则图②所表示的算式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据题意可得有3根白色小棍，代表，有4根黑色小棍代表，计算出二者相加的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得图②所表示的算式是， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）绝对值大于8且小于12的所有整数的和是 _____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法运算．根据互为相反数的绝对值相等，互为相反数的两个数的和为计算即可 【详解】解：绝对值大于8且小于12的所有整数的绝对值有，，，   绝对值大于8且小于12的所有整数有： ，， 根据相反数的性质，得它们的和是．   故答案为：． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌题型02 有理数的减法运算 运用减法法则进行减法运算时，注意到符号的两次改变，一变是变运算符号，把“一”(减号)变为“十”(加号);二变是变减数的性质符号，即减数正变负，负变正. 【典例2】（2026·浙江杭州·一模）小明在某气象网站查询到某地连续四天的天气情况，信息如表所示，则这四天中温差最大的一天是（    ） 周三 周四 周五 周六 − 3 ~ 7 ° C − 2 ~ 13 ° C 0 ~ 8 ° C − 1 ~ 8 ° C A．周三 B．周四 C．周五 D．周六 【答案】B 【分析】分别计算每天的最大温差，比较大小即可． 【详解】解：周三的温差为， 周四的温差为， 周五的温差为， 周六的温差为， ， ∴这四天中温差最大的一天是周四． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可知，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大值是2026． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算： （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）先去括号，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ▌题型03 有理数的加减运算 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 【典例3】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及正数与负数，根据a，b，c    的符号得出关系式是解题关键． 根据逐项求解判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴符号无法确定，故此选项错误； B、∵， ∴不可能是负数，故此选项错误； C、∵， ∴一定是正数，故此选项正确； D、∵， ∴一定是负数，故此选项错误； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】22 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，根据计算得出是奇数前面的“”错写成了“”是解题的关键． 先求出没有写错时的正确答案，再比较错误答案与正确答案相差多少，从而即可推出是哪一个数字前面的符号错了． 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是23前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第22个运算符号写错了， 故答案为：22． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 【答案】 【分析】先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值．本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的运算及找到数的和的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 所有数的和为，横、竖及内外两个圆的和相等，且横、竖的和包含了所有数（内外圆的和也包含所有数），设内外两个圆的和为，则， ∴ ． ∵ 横线上的数为、、、，其和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． ▌题型04 有理数的乘法运算 1.观察因数中有没有0.若有0.则积为0. 2.如果因数都不等于0，那么应先确定积的符号. 3.计算积的绝对值时，通常把小数化为分数，带分数化为假分数，便于约分. 【典例4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法及加法运算，熟练掌握有理数的乘法及加法运算是解题的关键；由可知a、b异号，由可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b异号； ∵，∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值， 选项A：，，，不符合； 选项B：，，，不符合； 选项C：，，符合条件； 选项D：，，，不符合； 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在数，2，，5，中任取两个数相乘，其中最小的积是，最大的积是，则的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的大小比较，求代数式的值等，正确求出最小的积和最大的积是解题的关键； 两个有理数相乘，同号得正，异号得负．在本题中，求最小的积，一定是负数，且绝对值越大反而越小，据此可求得a的值； 求最大的积，则积一定是正数，可以是两正数相乘，也可以是两负数相乘，据此可求得b的值，再求的值即可． 【详解】解：求最小的积，一定是负数，且绝对值越大反而越小，所以最小的是； 求最大的积，则积一定是正数，可以是两正数相乘，也可以是两负数相乘，所以最大的是． ，， ． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，，且，那么的值是（    ） A．1或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据绝对值的性质可得，，再根据有理数的乘法法则可得或，代入计算有理数的加法即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算：__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据0乘以任何数都等于0即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ▌题型05 有理数的除法运算 有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值 【典例5】（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】C 【分析】此题考查绝对值的化简求值，由 可知 和 同号，分两种情况讨论：都正或都负，代入计算表达式的值． 【详解】∵ ，∴ 和 同号， 当 时，，，，∴ 原式 ； 当 时，，，，∴ 原式 ， ∴ 原式的值为 或 ， 故选：C 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列算式中可以运用分配律使计算简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、，该算式不适合使用分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），括号内应依次填入：______；______；______；______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数、小数、百分数、比和除法之间的互化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可得解，熟练掌握其转化方法并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算及绝对值的意义是解题的关键； （1）把直接代入进行求解即可； （2）根据绝对值的意义及有理数的除法运算可进行求解； （3）由题意可分当和进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高，另一台比进价低．总的来看商店是赚钱还是赔钱？赚（赔）多少元？ 【答案】赔钱，赔钱200元 【分析】本题考查了百分数的应用，解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，并找出单位“1”的百分之几对应的数量，用除法就可以求出单位“1”的量，再进一步求解．根据题意“其中一台比进价高，另一台比进价低”，都是把进价看作单位“1”，这样就可以分别求出两台进价各是多少元，用其与两台的现价进行比较即可得出答案． 【详解】解：（元）， （元） （元）， ∴总的来说还是赔钱了，赔钱200元． ▌题型06 有理数的乘除运算 (1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 【典例6】（21-22七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】（20-21七年级上·浙江金华·期中）若“！”是一种数学运算符号，并且，且公式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目信息，表示出C512与C612，然后通分整理计算即可． 【详解】解：根据题意，有C512=， C612=， ∴ = = =， 故选C． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）浙教版新教材七上第六章《目标与评定》中有这样的素材：上海东方明珠广播电视塔建成于1994年，塔下端三根斜柱共同支撑的球状建筑的直径是50米，你能根据下图估计出上海东方明珠广播电视塔的大致高度吗？现量得图中该球状建筑的直径是0.5厘米，塔高是4.6厘米，则上海东方明珠广播电视塔的实际高度约为________米． 【答案】460 【分析】本题考查比例尺，根据实际距离与图上距离对应成比例，列式计算即可． 【详解】解：（厘米）； 厘米米； 故答案为：460． 【变式3】（22-23七年级上·浙江·开学考试）根据，直接写出下面算式的得数． __________   ___________ 【答案】 // // 【分析】根据有理数的乘除混合计算法则先去括号，然后把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算、运算律（加法交换律与结合律、乘法分配律）的应用，熟练掌握有理数的运算规则和运算律的使用方法是解题的关键． （1）按照有理数加减运算的顺序，从左到右依次计算． （2）利用加法交换律和结合律，将同分母分数、小数分别结合后再计算． （3）运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再进行加减运算． （4）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后按照有理数乘法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式5】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【答案】(1)2025 (2) (3) (4)10 (5) (6)3 (7) (8)30 (9) 【分析】该题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先计算乘除法，在计算加法． （2）先计算括号内除法和减法，再计算除法． （3）先计算小括号内减法，再计算乘除法． （4）先计算小括号内乘除法，再计算加法，最后计算乘法． （5）先计算小括号内乘法，再计算减法，最后计算除法． （6）根据乘法分配律去括号，再计算两个分数的和，最后计算减法． （7）先计算除法，再计算减法，最后计算除法． （8）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律逆运用解答即可． （9）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． ▌题型07 有理数的加减乘除混合运算 如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 【典例7】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数四则混合运算顺序，根据“先乘除、后加减，有括号先算括号里面的”逐项判断即可． 【详解】解：A，，先算乘法，再乘加法，最后算除法，不合题意； B，，先算加法，再算乘法，最后算除法，不合题意； C，，先算除法，再算加法，最后算乘法，符合题意； D，，先算加法，再算除法，最后算乘法，不合题意； 故选C． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）图中，能说明“”与“”相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据图形，可以分别写出四幅图所列的算式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图可知， 图①求得是线段的长； 图②求得是大长方形的面积：； 图③求得是总的球的个数：； 图④求得是总的钱数：（元）； 由上可得，能说明“”与“”相等的是②③， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在一种运算方法“矩阵”，，则矩阵的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义直接计算即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)25 (2)16 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则和乘法运算律． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘除法法则进行计算即可； （3）利用有理数的除法法则和乘法分配律进行计算即可； （4）利用有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌题型08 含乘方的有理数的混合运算 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【典例8】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）的计算结果是（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘方运算直接计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴； 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列计算： ①； ②； ③； ④． 其中错误的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③错误； ④，故④正确． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁， 故选：D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）根据乘方的意义，可将转化为底数为的幂，如，从而可得到：．按此规律，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握计算法则是解题的关键； 将 转化为底数为 的幂，利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ， ∴ ， 故答案为：． 【变式4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． ▌题型09 利用运算律简便运算 【典例9】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算下面各题，能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律和乘法运算律，熟练计算是解题的关键． （1）先算除法，再算减法即可； （2）按照从左往右的顺序计算即可； （3）利用乘法分配律即可解答； （4）利用加法交换律和结合律即可解答； （5）利用乘法分配律即可解答； （6）先算小括号，再算中括号，最后算除法即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)580； (2)2000； (3)； (4)； (5)57； (6)． 【分析】本题考查有理数四则混合运算，关键是运用运算定律（乘法交换律、结合律、分配律，减法性质等）和运算顺序简算． （1）按有理数的四则混合运算顺序，先除法后加减运算即可求解； （2）用乘法交换律、结合律，拆分后计算； （3）用减法性质，利用加法结合律进行计算； （4）除法转化为乘法，用乘法分配律逆运算计算； （5）用乘法分配律计算； （6）百分数化小数，按有括号的运算顺序，小括号内用乘法交换律计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简便的用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，乘法运算律，加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，然后整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【答案】(1) 原式 ； (2) 有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键． （1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算． （2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型10 新定义运算问题 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 【典例10】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义新运算“※”对任意有理数a、b，规定，例如：，则计算（　　） A． B． C．0 D．18 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： ， 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义新运算“”对任意有理数a、b，规定，例如：，则计算（   ） A． B． C． D．18 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： ； 故选A． 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数，，，则的结果是________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ，， 则 ． 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【答案】(1)1 (2)①4    0  ；② 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ②， ， ， 同理：，，； ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $