专题03 一次函数解析式多解与图像位置分类讨论 （压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以四步解题通法（定类型-找依据-分情况-验结果）为核心，系统整合一次函数分类讨论的三大依据（增减性、图像位置、条件多解），构建从概念到压轴的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套通法|四步解题流程+三大分类依据（增减性/图像位置/条件多解）|以k,b为核心，从函数定义（k≠0）到图像性质（象限/交点）再到多解应用，形成逻辑闭环| |题型归纳|4题型（每题型1典例+3变式）|过象限参数范围：k,b符号判定；距离/面积多解：绝对值分类；区间最值：k符号讨论；坐标轴交点：坐标正负分析|按“基础应用-高频压轴-难点突破-综合交汇”递进，覆盖中考核心考法| |压轴挑战|8题（填空+解答）|多解问题整合训练，含新定义（关联点）、动态几何等创新题型|融合数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），对接中考压轴命题趋势|

专题03 一次函数解析式多解与图像位置分类讨论 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、图像过象限分类求参数范围 题型二、距离/面积条件下解析式多解问题（压轴高频） 题型三、自变量区间最值分类讨论（难点） 题型四、一次函数图象与坐标轴的交点问题分类讨论 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步：定类型，锁前提 优先圈画题干关键词，确定函数类型：是一次函数、正比例函数还是普通函数，提前锁定 k≠0 等硬性限制条件，排除无效解。 第二步：找依据，定分类 所有分类讨论仅有三大核心依据，考题全部围绕此展开： 1.增减性分类：k＞0，y随x增大而增大；k＜0，y随x增大而减小 2.图像位置分类：直线过象限、与坐标轴交点正负、截距位置 3.条件多解分类：距离、面积、动点坐标、区间最值条件，自带正负双解 第三步：分情况，列式求解 针对每一种分类情况，单独列方程、不等式或函数解析式，独立计算参数、函数表达式，不混解、不漏解。 第四步：验结果，取舍答案 重点检验三点：①是否满足一次函数k≠0；②解出的参数是否符合当前分类前提；③距离、面积衍生的多解是否贴合图像实际情况，舍去增根。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、图像过象限分类求参数范围 【典例1】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数． (1)当在何范围内取值时，随的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数，使函数的图象不经过第一象限？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式1-1】．（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 【变式1-2】．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 【变式1-3】．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 题型二、距离/面积条件下解析式多解问题（压轴高频） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长的值恰好等于其面积的值的2倍，则这个点叫做“趣点”．例如：图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长的值等于其面积的值的2倍，则点P是“趣点”． (1)若“趣点”M的横坐标为2，则点M的纵坐标为______； (2)若“趣点”在直线上，则b的值为_____． 【典例3】．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)已知为直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点．当时，求点的坐标 ． 【变式2-1】．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系． (1)对应的函数表达式为_____，对应的函数表达式为_____； (2)求甲到达B地所用的时间； (3)求经过多少小时后两人相距． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图1，已知动点从点出发沿边框按的路径匀速移动至点时停止，相应的的面积与移动时间之间的函数图象如图2所示，若，请根据图象解答下列问题： (1)点运动的速度为______；图1中的长度是______cm； (2)当在上运动时，则与之间的函数表达式为______，其自变量的取值范围为______； (3)在运动过程中，当的面积为时，求点的运动时间是多少？ 题型三、自变量区间最值分类讨论（难点） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 题型模版 1.题型特征：给定自变量取值范围m≤x≤n，未告知函数增减性，求函数最值或参数。 【变式3-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值． 【变式3-2】．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【变式3-3】．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值，求的值． 题型四、一次函数图象与坐标轴的交点问题分类讨论 【典例5】．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段检测）已知一次函数． (1)当m　 　时，y的值随着x值的增大而减小； (2)当n　 　时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)若函数的图象经过原点，则m　 　；n　 　； (4)当，时，求这个函数的图象与两个坐标轴的交点的坐标． 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C． (1) ___________， ___________； (2)若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，的面积为6． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，到达点停止，设点的运动时间为t秒，连接，的面积为，用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、填空题 1．已知一次函数． (1)若该函数的图像经过点（），则m的值为___________． (2)当时，函数y有最小值，则m的值为___________． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 二、解答题 3．已知一次函数，当时，，求这个一次函数表达式． 4．一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值的取值范围是，求这个函数的解析式． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 7．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)若，当时，函数有最大值7，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数解析式多解与图像位置分类讨论 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、图像过象限分类求参数范围 题型二、距离/面积条件下解析式多解问题（压轴高频） 题型三、自变量区间最值分类讨论（难点） 题型四、一次函数图象与坐标轴的交点问题分类讨论 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步：定类型，锁前提 优先圈画题干关键词，确定函数类型：是一次函数、正比例函数还是普通函数，提前锁定 k≠0 等硬性限制条件，排除无效解。 第二步：找依据，定分类 所有分类讨论仅有三大核心依据，考题全部围绕此展开： 1.增减性分类：k＞0，y随x增大而增大；k＜0，y随x增大而减小 2.图像位置分类：直线过象限、与坐标轴交点正负、截距位置 3.条件多解分类：距离、面积、动点坐标、区间最值条件，自带正负双解 第三步：分情况，列式求解 针对每一种分类情况，单独列方程、不等式或函数解析式，独立计算参数、函数表达式，不混解、不漏解。 第四步：验结果，取舍答案 重点检验三点：①是否满足一次函数k≠0；②解出的参数是否符合当前分类前提；③距离、面积衍生的多解是否贴合图像实际情况，舍去增根。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、图像过象限分类求参数范围 【典例1】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数． (1)当在何范围内取值时，随的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数，使函数的图象不经过第一象限？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的图象性质： （1）根据一次函数的k与增减性的关系即可求解； （2）根据一次函数的k与b与图象关系即可求解． 【详解】（1）解：随的增大而减小， ， ； （2）解：存在，或，理由如下： 若一次函数不经过第一象限，则，解得， 为整数， 或． 【变式1-1】．（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质． （1）根据y随x的增大而减小，即，建立不等式求解即可； （2）根据一次函数不经过第四象限，即，建立不等式求解，再结合m为整数判断即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下： ∵一次函数不经过第四象限， ∴且， ∴解得． ∵m为整数， ∴或． 【变式1-2】．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． (1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______； (2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值． 【答案】(1)；4 (2)2或 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型： （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可； 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：； ∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”， ∴点到两坐标轴的距离之和等于， ∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”， 即． 故答案为：；4； （2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，， ∵一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为； 把代入得： ，解得：； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴； ∴一次函数图象的“7阶和点”为， 把代入得： ，解得：； 综上，k的值为2或． 【变式1-3】．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与性质． （1）由一次函数随增大而减小，可知，解不等式即可得出结论； （2）先求出直线与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当函数图象经过第一、三、四象限时可得出，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】（1）解：∵随增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵时，， ∴直线与x轴的交点， 又∵一次函数与直线的交点在轴上， ∴一次函数过点， ∴， 解得：； （3）解：分两种情况考虑： 当函数图象经过第一、三、四象限时，， 解得：； 当函数图象经过第一、三象限时，， 解得：． 综上所述：的取值范围为， ∵为整数， ∴或． 题型二、距离/面积条件下解析式多解问题（压轴高频） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长的值恰好等于其面积的值的2倍，则这个点叫做“趣点”．例如：图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长的值等于其面积的值的2倍，则点P是“趣点”． (1)若“趣点”M的横坐标为2，则点M的纵坐标为______； (2)若“趣点”在直线上，则b的值为_____． 【答案】(1)2或 (2)或 【知识点】绝对值方程、求点到坐标轴的距离、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，绝对值方程，点到坐标轴的距离，理解“趣点”的定义是解题的关键． （1）过点分别作轴和轴的垂线，分别计算出垂线与坐标轴围成矩形的周长的数值，与坐标轴围成矩形的面积的数值，然后根据新定义列方程求解； （2）先根据“趣点”的定义求出的值，再把点的坐标代入中，即可求出b的值． 【详解】（1）解：设点， 则点与轴和轴的垂线与坐标轴围成的长方形的周长为，面积为， 由题意得，， ， ， 或， 即点M的纵坐标为2或． 故答案为：2或． （2）解：同理可得，， ， ， ， 或， “趣点”N的坐标为或． 当“趣点”N为时， 代入直线，得，解得； 当“趣点”N为时， 代入直线，得，解得． 故答案为：或． 【典例3】．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)已知为直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点．当时，求点的坐标 ． 【答案】(1)直线表达式为，直线表达式为 (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，一次函数和几何图形结合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点的横坐标为，则，，分两种情况进行讨论，根据线段的长度列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， ∵当时，， 点坐标为， 把点代入得， 即， ∴直线表达式为； （2）解：设点的横坐标为，则， ①当点在点右侧时，， 解得， 坐标为； ②当点在点左侧时，， 解得， ， 坐标为， 综合以上，点的坐标为或. 【变式2-1】．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系． (1)对应的函数表达式为_____，对应的函数表达式为_____； (2)求甲到达B地所用的时间； (3)求经过多少小时后两人相距． 【答案】(1)， (2)甲到达B地用了小时 (3)或小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解及一次函数的实际应用． （1）设的函数表达式为，的函数表达式为，结合图象利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）甲到达B地时，离B地的距离，将代入的函数表达式即可求得x的值； （3）分两种情况讨论：两人相遇前相距，两人相遇后相距，根据不同的情况列方程求解x的值即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式为， 由图可知，过点和，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为， 设的函数表达式为， 由图可知，过点和，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为， 故答案为：，． （2）解：甲到达B地时，离B地的距离， 对于的函数表达式，令，则：， 解得， ∴甲到达B地用了小时． （3）解：分两种情况讨论： 情形一：两人相遇前相距10千米，则有， 解得； 情形二：两人相遇后相距10千米，则有， 解得． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图1，已知动点从点出发沿边框按的路径匀速移动至点时停止，相应的的面积与移动时间之间的函数图象如图2所示，若，请根据图象解答下列问题： (1)点运动的速度为______；图1中的长度是______cm； (2)当在上运动时，则与之间的函数表达式为______，其自变量的取值范围为______； (3)在运动过程中，当的面积为时，求点的运动时间是多少？ 【答案】(1)2，2 (2)， (3)2s或7s 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据点运动轨迹，结合右边的函数图象分析即可； （2）图象的信息可知，点，，代入一次函数即可求解； （3）当点在上移动时，当点在上移动时，当点运动到点的位置时，分别讨论即可求解. 【详解】（1）解：当运动面积为； ∴；则点运动的速度为： ∵点在运动时，的面积不变，则点在运动时间为：， ∴ 故答案为：2，2； （2）∵图象的信息可知，当点运动到点的位置时，图2中对应的坐标为， 当点运动到点的位置时， ∵ ∴ ∴点在上的运动时间为： ∴点在点的时间为， ∴ 图2中对应的坐标为， 设当在上运动时，与之间的函数表达式为， 把点代入， 得，解得， ； （3）当点在上移动时，，由，解得； 当点在上移动时，，由，解得； 当点运动到点的位置时，， ∴在运动过程中，当的面积为时，点的运动时间是2s或7s． 【点睛】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点的运动，得出当点在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键． 题型三、自变量区间最值分类讨论（难点） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 题型模版 1.题型特征：给定自变量取值范围m≤x≤n，未告知函数增减性，求函数最值或参数。 【变式3-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，得一次函数为，故该函数y随x的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上进行判断即可； （2）依据题意，当时，y有最小值，分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴一次函数为，且， ∴该函数y随x的增大而增大， 又∵，两点均在该函数的图象上，且， ∴； （2）解：∵当时，有最小值， ∴①当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； ②当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，或． 【变式3-2】．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【答案】(1) (2) 解：①证明：把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②1或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得：，     ∴的表达式为； （2）①略； ②根据题意得：， ∵当时，函数有最大值6， 若，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 若，y随x的增大而减小， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 综上所述，a的值为1或． 【变式3-3】．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1) (2) ①证明：把代入，得： ， 即：， ；； 把代入，得：， 把代入，得：， ， ， ， 即：； ②的值为或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了求解一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解； ②先求出，然后分两种情况讨论，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：分别把，代入，得： ，， 联立解得：，， ； （2）解：①略 ②， 当时，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值， 即，解得； 当时，随的增大而减小， 此时当时，函数有最大值， 即，解得； 综上所述，的值为或． 题型四、一次函数图象与坐标轴的交点问题分类讨论 【典例5】．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段检测）已知一次函数． (1)当m　 　时，y的值随着x值的增大而减小； (2)当n　 　时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)若函数的图象经过原点，则m　 　；n　 　； (4)当，时，求这个函数的图象与两个坐标轴的交点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， (4)和 【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题、正比例函数的性质 【分析】（1）根据一次函数解析式中一次项系数，y的值随着x值的增大而减小解答即可； （2）根据一次函数解析式中常数项等于函数图象与y轴的交点的纵坐标解答即可； （3）根据一次函数的图象经过原点，则一次项系数不为0，常数项为0解答即可； （4）根据，，得一次函数解析式，代入求函数的图象与两个坐标轴的交点的坐标即可． 【详解】（1）当，即时，y的值随着x值的增大而减小． 故答案为：； （2）当，即时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方． 故答案为：； （3）一次函数的图象过原点， ， ，， 故答案为：， （4）当，时，代入一次函数的解析式为， 当时，代入得：； 当时，代入得：， 解得：， 这个函数的图象与两个坐标轴的交点的坐标为和． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练运用一次函数的图象和性质知识点是解题的关键． 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C． (1) ___________， ___________； (2)若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象的应用，两直线的交点坐标，用一次函数求三角形的面积，分类讨论是解题的关键． （1）根据两个一次函数图象交于点，可求出，再把点坐标代入即可求； （2）设点的坐标为，根点在点B下方和点在点B上方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与一次函数相交于点 点既在上也在上， 由可得：， ； 点的坐标为， 把点B代入可得，即； 故答案为：；； （2）解：， 设点的坐标为， 当点在点B下方时，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 当点在点B上方时，， ， 解得：， 此时点的坐标为， 综上分析可知：点的坐标为或． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【答案】 或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式； （1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 【详解】解：（1）令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，的面积为6． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，到达点停止，设点的运动时间为t秒，连接，的面积为，用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的几何应用． （1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求解即可； （2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，利用三角形的面积求解关系式即可． 【详解】（1）解：如图， 设点A坐标为， 由题意可知：，，， ∴， 解得， ， 点A坐标为； （2）解：当点P在上运动时， ，即， 由题意可知，，， ∴， 当点P在射线上运动时， 即， 由题意可知，，， ∴， 综上所述，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、填空题 1．已知一次函数． (1)若该函数的图像经过点（），则m的值为___________． (2)当时，函数y有最小值，则m的值为___________． 【答案】(1)3 (2)2.5或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）将（）代入函数关系式求解即可； （2）当m>0时，在上，时，函数y有最小值，当m<0时，在上，x=3时，函数y有最小值，分别求解即可． 【详解】（1）解：将（）代入中， 得：， 解得：， 故答案为：3； （2）解：当m>0时，y随x的增大而增大， 在上，时，函数y有最小值， ∴， 解得：； 当m<0时，y随x的增大而减小， 在上，x=3时，函数y有最小值， ∴， 解得：， 综上，m的值为2.5或， 故答案为：2.5或． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，解题的关键是掌握当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 【答案】 或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质． (1)利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，设，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值，即可得到点的坐标； (2)当是以为直角边的等腰直角三角形时，分和两种情况求点的坐标． 【详解】(1)解：直线交轴于点， ， ， ， 又令，则， ， ， ， 点是直线上一动点，点在上， 令，则， ， 设， ， 的面积与的面积相等， ， 或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； (2)解：如下图所示，当，时，过点作轴， 是以为直角边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作轴， 同理可证：， ，， ，， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或． 二、解答题 3．已知一次函数，当时，，求这个一次函数表达式． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了待定系数法求直线解析式，因为函数的增减性不明确，所以分①随的增大而增大时，②随的增大而减小两种情况列式求解即可，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，随的增大而增大时， 时， 解得： 该一次函数的表达式为； ②，随的增大而减小， 解得： 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式为或． 4．一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值的取值范围是，求这个函数的解析式． 【答案】或． 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】分，两种情况，根据一次函数的性质，利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：①当时，y随x的增大而增大，则有： 当；当时，， 把它们代入中可得： ， ∴， ∴函数解析式为． ②当时则随x的增大而减小，则有： 当时，；当时，， 把它们代入中可得 ， ∴， ∴函数解析式为． 综上：函数解析式为，或． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，；当时， 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据截距可得b的值，再代入A点坐标，可得a； （2）①先表示出，再根据，建立方程，求解即可；②表示出，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题可知，则直线， 直线过， 则直线． （2）解：直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点， ． ①， ， ． 点的坐标为． ②由题意得：， 当点在直线下方或在直线上时，由图可知； 当点在直线上方时，； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 综上，当时，；当时，；当时，． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 【答案】(1)； (2) ①证明：∵点在的图象上， ∴； ∵点在的图象上， ∴； ∴， 又∵恒过， ∴，即， ∴，移项化简得， ∵， ∴； ②或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的最值问题，关键是利用恒过定点得到这一核心关系式． （1）利用待定系数法，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到函数表达式； （2）①根据点在函数图象上的性质，将两点坐标分别代入对应函数解析式，得到关于的两个等式，结合的关系对等式变形，从而证明； ②先化简的表达式，再代入得到只含参数的一次函数，根据一次函数的单调性，分和两种情况讨论函数在给定区间内的最大值，进而求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数恒过定点，且经过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①略 ②∵，， ∴， 分两种情况讨论： 当时，， ∴在上随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 当时，， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 综上，的值为或． 7．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点或 (3) 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了新定义“关联点”的理解与应用，熟练掌握一次函数的性质和分类讨论是解答本题的关键． （1）根据“关联点”的定义可求出给定两点的“关联点”； （2）分别代入和求出与之对应的x值，结合“关联点”的定义可得出点M的坐标； （3）先根据“关联点”的定义分情况讨论的表达式，再结合的取值范围确定a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得，点的“关联点”是，点的“关联点”是， 故答案为：； （2）解：当时，点， 则，解得：； 当时，点， ，解得：， ∴点或； （3）解： ∵点P在函数的图像上， ∴设点P的坐标为， 当时，其关联点的纵坐标， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴， 当时，其关联点的纵坐标， 此时， 综上，要使“关联点”的纵坐标的取值范围是， a须满足且， 解得． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)若，当时，函数有最大值7，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) 证明：时，和， ， 点一定不在直线上； (2)的值为1或 (3) 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、根据一次函数增减性求参数、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的性质与一次不等式的综合应用，熟练掌握一次函数的增减性、函数交点与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入函数验证结论即可； （2）先表示出的表达式，根据一次函数的增减性，分和两种情况，结合自变量范围求的值； （3）结合时，分析求解的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：（）， ① 若，即， ∵ 随增大而增大，且， ∴ 当时，取最大值， ∴， 解得； ② 若，即， ∵ 随增大而减小，且， ∴ 当时，取最大值， ∴， 解得， 综上，的值为或． （3）解：∵当时，恒成立，即， ∴， 当时，恒成立，故满足题意． 当时，随的增大而减小，需满足时值大于，即，解得， 当时，解得，这与当时，恒成立矛盾，应舍去， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $