11.4一次函数与实际问题（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

11.4一次函数与实际问题 题型一  根据实际问题中的图像或表格获得有用信息 1．【答案】C 2．【答案】D 3． 【详解】（1）解：由图象可得，是关于x的一次函数， ∴设解析式为 当， ∴ 解得 ∴， ∴当时，； （2）解：如图，曲线即为所求； （3）解：①前4天方案一的投资总回报：（元）； 前4天方案二的投资总回报：（元）； 前4天方案三的投资总回报：（元）， 因为， 故选方案一； ②第八天，方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则方案一、方案二的投资总回报为（元）； 方案三的投资总回报为（元）， 此时； 第九天方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元）； 对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为元， 那么第九天方案三的投资总回报约为（元）， 因为 故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 4. 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 5. 【详解】（1）解：设段所对应的函数解析式为， 将代入中，得． 解得， ∴段所对应的函数解析式为， 设段所对应的函数解析式为． ∵直线段经过点，， ∴， 解得 ∴段所对应的函数解析式为． （2）解：， ∴当日销售利润为1280元时，销售量为320件， ∵日销售利润（售价进价）销售量，且售价进价， ∴销售量越大，日销售利润越大 在段，当时，，解得． 在段，当时，， 解得， ∴当时，日销售利润不低于1280元 （天）． ∴试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有11天． 题型二 求自变量或函数值问题 1. 【详解】（1）解：每增加一节链条长度增加：， ， ， 填表如下： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … （2）解：上表的两个变量中，自变量是链条节数x； （3）解：根据题意得：y与x之间的函数解析式为： ． （4）解：由（2）得， 依题意，把代入， 得， ∵自行车链条是首尾闭合的环形，50节链条比同节数环形链条多1个重叠 ∴得， 这根链条总长度是． 2. 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为， 将，代入，得∶ ， 解得， ∴蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得． ∴当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 3. 【详解】（1）解：设小球在斜面上滚动时的速度函数为， 已知当时，，代入得： ，解得， 因此，斜面上的速度函数为， 小球到达斜面底端时，对应时间为，代入得： ， 即小球到达斜面底端时的速度为； （2）设小球在水平面上滚动时的速度函数为， 已知两点：点，以及时，代入得方程组： ，解得，， 因此，水平面上的速度函数为：， 小球停止时速度，代入得： ，解得， 小球从斜面底端到停止的时长为：． 题型一   跨学科问题  1．【答案】B 2．【答案】C 3. 【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； （2）解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； （3）解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 4. 【详解】（1）解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） 如图所示； ②根据题意得：每伸长，弹力增加， ∴； （2）解：不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为21时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． （3）解：∵弹簧的劲度系数， ∵物块的质量大于物块的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大 ∴， 根据图形可得， ∴ 题型二 方案选择问题 1. 【详解】（1）解：设选择甲种购票方式时，关于的函数表达式为， 将代入得： ， 解得， ； 设选择乙种购票方式时，关于的函数表达式为， 将，分别代入，得： ， 解得， ； （2）解：联立得， 解得， 直线与直线的交点为． 当时，直线在直线的图象下方，即， 此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即， 此时选择乙种购票方式更划算． 2. 【详解】（1）解：依题意，； 当，； 当，； ∴； （2）当，时，； 解得：， 由图象可知：购买文创礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买文创礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买文创礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 3. 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 4. 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 题型三 一次函数最值问题 1. 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 2. 【详解】（1）解：小华所列方程中的表示草莓的单价，小丽所列方程中的表示甲用元购买草莓的质量， 故答案为：①，②； （2）解： ， 经检验，是原方程的解， 这种草莓的单价为元； （3）解：设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为， 由题意得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当，时，最少，最少费用为（元）， 答：奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时总花费最少，最少 3. 【详解】（1）解：设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， 根据题意得：， 解得：， 答：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （2）解：设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套， 由题意得：， ∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍， ∴，解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小， 此时“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （3）解：由（）得：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， ∴此次盈利 （元）， 答：此次盈利元． 题型一  方程、不等式、一次函数综合应用题 1. 【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得， 解得：． 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元． （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 则：，即：； ②由题意可得， 解得：． 又∵，且a为整数， ∴，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当a取最大值9时，W最小． （万元）， 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元． 2. 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 3. 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4一次函数与实际问题 题型一   根据实际问题中的图像或表格获得有用信息 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 【答案】C 【分析】A．根据正比例函数图象的特征判断即可；B．当时，的值即为没有悬挂物体时，弹簧的长度；C．根据“悬挂物体的质量为时弹簧的伸长量此时弹簧的总长度没有悬挂物体时弹簧的长度”计算即可；D．根据图象计算悬挂的物体弹簧的伸长量，再根据“弹簧的长度没有悬挂物体时弹簧的长度悬挂的物体弹簧的伸长量悬挂的物体质量”计算即可． 【详解】解：∵图象是一条直线，但不过原点， ∴弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，但不成正比例函数关系， ∴A不正确，不符合题意； 当时，，即没有悬挂物体时，弹簧的长度为， ∴B不正确，不符合题意； 当时，，， ∴悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了， ∴C正确，符合题意； 悬挂的物体弹簧的伸长量为， 当时，， ∴当悬挂的物体质量为时，弹簧的长度为， ∴D不正确，不符合题意． 2．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 3．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)①一；②9 【分析】（1）由图象可得，是关于x的一次函数，然后由待定系数法求解函数解析式，即可求解； （2）描点、连线即可作图； （3）①分别计算三个方案前4天的投资总回报，再比较即可； ②先求出第八天的三个方案的投资总回报，再求出第九天的三个方案的投资总回报，进行比较即可． 【详解】（1）解：由图象可得，是关于x的一次函数， ∴设解析式为 当， ∴ 解得 ∴， ∴当时，； （2）解：如图，曲线即为所求； （3）解：①前4天方案一的投资总回报：（元）； 前4天方案二的投资总回报：（元）； 前4天方案三的投资总回报：（元）， 因为， 故选方案一； ②第八天，方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则方案一、方案二的投资总回报为（元）； 方案三的投资总回报为（元）， 此时； 第九天方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元）； 对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为元， 那么第九天方案三的投资总回报约为（元）， 因为 故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）某景点计划推出一款文创雪糕，该产品的成本价为8元/件．在正式投放市场前，通过一个月（30天）的试营销，售价定为12元/件．工作人员对销售情况进行跟踪记录，并将结果绘制成图象如下，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系． (1)分别求段和段所对应的函数解析式； (2)试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？ 【答案】(1)段所对应的函数解析式为；段所对应的函数解析式为 (2)11天 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出日销售利润为1280元时，销售量为320；根据题意可得销售量越大，日销售利润越大，据此把代入到段和段所对应的函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设段所对应的函数解析式为， 将代入中，得． 解得， ∴段所对应的函数解析式为， 设段所对应的函数解析式为． ∵直线段经过点，， ∴， 解得 ∴段所对应的函数解析式为． （2）解：， ∴当日销售利润为1280元时，销售量为320件， ∵日销售利润（售价进价）销售量，且售价进价， ∴销售量越大，日销售利润越大 在段，当时，，解得． 在段，当时，， 解得， ∴当时，日销售利润不低于1280元 （天）． ∴试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有11天． 题型二求自变量或函数值问题  1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，设链条长度为，链条节数为． (1)观察图形，填写如表： 链条节数/节 2 3 4 … 链条长度 4.2 _____ _____ … (2)上表的两个变量中，自变量是________． (3)请直接写出与之间的函数关系式． (4)若一辆自行车的链条共由50节链条组成，则这根链条总长度是多少？ 【答案】(1)， (2)链条节数x (3) (4)总长度是 【分析】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出y与x之间的函数解析式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【详解】（1）解：每增加一节链条长度增加：， ， ， 填表如下： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … （2）解：上表的两个变量中，自变量是链条节数x； （3）解：根据题意得：y与x之间的函数解析式为： ． （4）解：由（2）得， 依题意，把代入， 得， ∵自行车链条是首尾闭合的环形，50节链条比同节数环形链条多1个重叠 ∴得， 这根链条总长度是． 2．（2026·陕西汉中·二模）蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量y（单位：）与蜡烛的燃烧时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】(1) (2)当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）把代入（1）中解析式，即可． 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为， 将，代入，得∶ ， 解得， ∴蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得． ∴当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 3．（2026·山东临沂·一模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出速度随时间变化的正比例函数解析式，再代入到达斜面底端的时间，即可求出此时的速度； （2）先根据小球在水平面上的匀减速运动，求出速度随时间变化的一次函数解析式，再令速度为0，求出小球停止的总时间，减去斜面运动时间，即可得到水平面上的运动时长． 【详解】（1）解：设小球在斜面上滚动时的速度函数为， 已知当时，，代入得： ，解得， 因此，斜面上的速度函数为， 小球到达斜面底端时，对应时间为，代入得： ， 即小球到达斜面底端时的速度为； （2）设小球在水平面上滚动时的速度函数为， 已知两点：点，以及时，代入得方程组： ，解得，， 因此，水平面上的速度函数为：， 小球停止时速度，代入得： ，解得， 小球从斜面底端到停止的时长为：． 题型一  跨学科问题  1．（25-26九年级下·浙江金华·月考）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力F与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 C．当时，拉力F与之间的函数表达式为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】B 【分析】观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设段的函数解析式为：，代入，得： ， 解得：， ，故C不符合题意； C、将，代入， 此时石块所受浮力是：，故B符合题意； D、将代入，得， 此时石块距离水底，故D不符合题意． 2．（2026·安徽淮北·二模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出与踏板上人的体重之间的函数关系式为，再结合题意求出的电阻，在中，当时，，求解即可． 【详解】解：将，代入可得：， 解得：， ∴与踏板上人的体重之间的函数关系式为， 由题意可得：电流为， 两端的电压为：， 故的电阻为（欧）， 在中，当时，， 解得：， 故此人的体重是． 3．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)4；2.8；2.5 (2)①当时，,当时,；② (3)； 【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案； （2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可； （3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案 【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； （2）解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； （3）解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 4．（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． (3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 【答案】(1)①见解析；②； (2)不会发生永久形变；见解析． (3) 【分析】（1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长，弹力增加，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． （3）根据，依题意，则 【详解】（1）解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） 如图所示； ②根据题意得：每伸长，弹力增加， ∴； （2）解：不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为21时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． （3）解：∵弹簧的劲度系数， ∵物块的质量大于物块的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大 ∴， 根据图形可得， ∴ 题型二 方案选择问题  1．（25-26八年级下·河南周口·期中）春节假期结束后，为了吸引游客，某旅游景点推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费； 乙：购买一张该景点的年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某位游客一年内去该景点的次数为x，所需费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y与x之间的函数关系式； (2)他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，选择甲种购票方式更划算；当时，选择两种购票方式同样划算；当时，选择乙种购票方式更划算． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线交点，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设选择甲种购票方式时，关于的函数表达式为， 将代入得： ， 解得， ； 设选择乙种购票方式时，关于的函数表达式为， 将，分别代入，得： ， 解得， ； （2）解：联立得， 解得， 直线与直线的交点为． 当时，直线在直线的图象下方，即， 此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即， 此时选择乙种购票方式更划算． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）某文创店计划采购一批东盟特色文创礼盒供应市场，现有A、B两家供货厂家可选，两家对单价相同的文创礼盒给出不同优惠方案： A厂家：一律打8折出售． B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，则超过的部分打7折． 已知每盒文创礼盒的进价为40元，若该商家计划购买文创礼盒x盒，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元，其函数图象如图所示： (1)分别求出，关于x的函数解析式； (2)如果该商家只在一个厂家购买文创礼盒，那么怎样购买划算？ 【答案】(1)； (2)购买文创礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买文创礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买文创礼盒多于75盒，去厂家购买划算 【分析】（1）根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数求解． （2）由得，解得，结合图象即可得解． 【详解】（1）解：依题意，； 当，； 当，； ∴； （2）当，时，； 解得：， 由图象可知：购买文创礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买文创礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买文创礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【分析】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 题型三 一次函数最值问题 1．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)①，② (2)这种草莓的单价为元 (3)奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时花费最少，最少费用是元 【分析】（1）根据分式方程并结合题意分析，即可求解； （2）根据分式方程的解法求解即可； （3）设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为，先列出不等式求出的取值范围，再列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：小华所列方程中的表示草莓的单价，小丽所列方程中的表示甲用元购买草莓的质量， 故答案为：①，②； （2）解： ， 经检验，是原方程的解， 这种草莓的单价为元； （3）解：设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为， 由题意得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当，时，最少，最少费用为（元）， 答：奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时总花费最少，最少 3．（2026·河南周口·模拟预测）春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套． (1)若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套； (2)若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？ (3)若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况． 【答案】(1)“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； (2)“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套时购进的总费用最低； (3)此次盈利元． 【分析】（）设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套，由题意得，又由购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，求得，再通过一次函数的性质即可求解； （）根据题意得此次盈利为，然后通过有理数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， 根据题意得：， 解得：， 答：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （2）解：设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套， 由题意得：， ∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍， ∴，解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小， 此时“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （3）解：由（）得：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， ∴此次盈利 （元）， 答：此次盈利元． 题型一 方程、不等式、一次函数综合应用题 1．（25-26八年级下·河南·月考）2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 【答案】(1)购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元 (2)①； ②共有4种购买方案，购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元 【分析】（1）设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，根据“已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元”，列出方程组求解即可． （2）①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，根据总费用购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用，解答即可． ②由题意可得，结合，且a为整数，得出，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得， 解得：． 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元． （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 则：，即：； ②由题意可得， 解得：． 又∵，且a为整数， ∴，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当a取最大值9时，W最小． （万元）， 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元． 2．（贵州省2026年初中学业水平适应性考试数学试题卷）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4一次函数与实际问题 题型一   根据实际问题中的图像或表格获得有用信息 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 2．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 3．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）某景点计划推出一款文创雪糕，该产品的成本价为8元/件．在正式投放市场前，通过一个月（30天）的试营销，售价定为12元/件．工作人员对销售情况进行跟踪记录，并将结果绘制成图象如下，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系． (1)分别求段和段所对应的函数解析式； (2)试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？ 题型二求自变量或函数值问题  1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，设链条长度为，链条节数为． (1)观察图形，填写如表： 链条节数/节 2 3 4 … 链条长度 4.2 _____ _____ … (2)上表的两个变量中，自变量是________． (3)请直接写出与之间的函数关系式． (4)若一辆自行车的链条共由50节链条组成，则这根链条总长度是多少？ 2．（2026·陕西汉中·二模）蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量y（单位：）与蜡烛的燃烧时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 3．（2026·山东临沂·一模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 题型一  跨学科问题  1．（25-26九年级下·浙江金华·月考）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力F与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 C．当时，拉力F与之间的函数表达式为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 2．（2026·安徽淮北·二模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 3．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 4．（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． (3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 题型二 方案选择问题  1．（25-26八年级下·河南周口·期中）春节假期结束后，为了吸引游客，某旅游景点推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费； 乙：购买一张该景点的年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某位游客一年内去该景点的次数为x，所需费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y与x之间的函数关系式； (2)他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）某文创店计划采购一批东盟特色文创礼盒供应市场，现有A、B两家供货厂家可选，两家对单价相同的文创礼盒给出不同优惠方案： A厂家：一律打8折出售． B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，则超过的部分打7折． 已知每盒文创礼盒的进价为40元，若该商家计划购买文创礼盒x盒，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元，其函数图象如图所示： (1)分别求出，关于x的函数解析式； (2)如果该商家只在一个厂家购买文创礼盒，那么怎样购买划算？ 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 题型三 一次函数最值问题 1．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 3．（2026·河南周口·模拟预测）春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套． (1)若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套； (2)若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？ (3)若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况． 题型一  1．（25-26八年级下·河南·月考）2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 2．（贵州省2026年初中学业水平适应性考试数学试题卷）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $