周周练03 1.5～2.2.1特殊的平行四边形综合测验、认识一元二次方程、配方法求解二次项系数为1的一元二次方程（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 本试卷为九年级数学周测，融合特殊平行四边形性质判定与一元二次方程核心内容，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，培养抽象能力、几何直观与推理运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|一元二次方程定义、配方法及菱形矩形性质|如第7题结合坐标求菱形周长，夯实基础| |填空题|4/16|配方法转化、折叠面积计算|如15题矩形折叠求重叠面积，强化技能| |解答题|9/98|作图、综合证明、阅读理解|含22题作图与四边形判定、24题折叠与菱形证明、25题配方法拓展，突出推理与创新应用|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 1.5～2.2.1特殊的平行四边形综合测验、认识一元二次方程、配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 3．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 4．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 5．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：、两点的坐标分别是，， ，， 四边形为菱形， ，， ， 菱形的周长为． 6．如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，则下列结论正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：已知四边形是平行四边形，结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析： 选项A：平行四边形中，若对角线，则四边形是矩形，不是菱形，A错误； 选项B：平行四边形中，若，则四边形是矩形，不一定是正方形，B错误； 选项C：平行四边形中，若，则四边形是菱形，不是矩形，C错误； 选项D：即，平行四边形中存在一个内角为直角，则四边形是矩形，D正确． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【详解】解：四边形为矩形， ，，． 由折叠可知，，， ，． 又， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴． 8．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 9．如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， 由图2可知，当时，，此时点运动到点， ∴， ∴，解得； 当点运动到点时，的面积最大，为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为正方形 ∴，， ∴， 与关于直线DE对称， ，，， ∴的周长 ． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， 即． 12．若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 13．如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 【答案】 / 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理，得，即，解得， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ． 14．如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    【答案】/度 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题：本题共3小题,共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 16（8分）．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵四边形是矩形， 在 与 中， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴是的垂直平分线， ∴四边形为菱形 （2）解：由(1)知， 即 解得 17（10分）．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 1.5～2.2.1特殊的平行四边形综合测验、认识一元二次方程、配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 3．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 4．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 5．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 6．如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，则下列结论正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 8．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 12．若是关于的方程的解，则_____． 13．如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 14．如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    三、解答题：本题共3小题,共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．用配方法解方程： (1)． (2)． 16（8分）．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 17（10分）．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 1.5～2.2.1特殊的平行四边形综合测验、认识一元二次方程、配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 3．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 4．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 5．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 7．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 8．如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，则下列结论正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 9．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 14．若是关于的方程的解，则_____． 15．如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 16．如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    三、解答题：本题共9小题,共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（12分）．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)． 18（10分）．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 19（10分）．用配方法解方程： (1)． (2)． 20（12分）．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 21（10分）．如果方程中只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：， 解：①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数2，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 这种解法叫做配方法，它是将一元二次方程先转化为二次项系数为1的方程，通过配方，将方程左边配成完全平方形式，右边为非负数的形式． 请用上述方法解下列方程： (1)． (2)． 22（10分）．如图，在中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交 于点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并证明． 23（10分）．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 24（12分）．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点A与点E重合，过点E作交线段于点F，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点M，若，，求线段的长． 25（12分）．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 1.5～2.2.1特殊的平行四边形综合测验、认识一元二次方程、配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 3．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 5．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 7．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：、两点的坐标分别是，， ，， 四边形为菱形， ，， ， 菱形的周长为． 8．如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，则下列结论正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：已知四边形是平行四边形，结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析： 选项A：平行四边形中，若对角线，则四边形是矩形，不是菱形，A错误； 选项B：平行四边形中，若，则四边形是矩形，不一定是正方形，B错误； 选项C：平行四边形中，若，则四边形是菱形，不是矩形，C错误； 选项D：即，平行四边形中存在一个内角为直角，则四边形是矩形，D正确． 9．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【详解】解：四边形为矩形， ，，． 由折叠可知，，， ，． 又， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴． 10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 11．如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， 由图2可知，当时，，此时点运动到点， ∴， ∴，解得； 当点运动到点时，的面积最大，为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为正方形 ∴，， ∴， 与关于直线DE对称， ，，， ∴的周长 ． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， 即． 14．若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 15．如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 【答案】 / 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理，得，即，解得， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ． 16．如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    【答案】/度 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题,共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（12分）．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (3)二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【详解】（1）解：原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （3）原方程变形为， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 18（10分）．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】 ；；；；；；；；； 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 19（10分）．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 20（12分）．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】(1)①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立 (2)， 【详解】（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）解：二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 21（10分）．如果方程中只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：， 解：①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数2，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 这种解法叫做配方法，它是将一元二次方程先转化为二次项系数为1的方程，通过配方，将方程左边配成完全平方形式，右边为非负数的形式． 请用上述方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ①将常数项移到方程右边： ②方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ③方程左边配成完全平方形式，得： ④方程左右两边同时开平方，得： ⑤写出方程的解，得：， （2）解： ①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数3，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 22（10分）．如图，在中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交 于点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)解：如图， ； (2)证明：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ∴． ． 平分， ． ． 同理，可证， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 23（10分）．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵四边形是矩形， 在 与 中， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴是的垂直平分线， ∴四边形为菱形 （2）解：由(1)知， 即 解得 24（12分）．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点A与点E重合，过点E作交线段于点F，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点M，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可得， ∴， ∴， ∴． (2)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． （3）解：如图，连接交于M， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ， ， ， ∴根据勾股定理得． 25（12分）．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $