2.1认识一元二次方程～2.2 一元二次方程的解法 综合习题 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统整合一元二次方程核心知识，通过三级达标训练实现方法迁移与思维进阶，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复习梳理|2类核心要点|概念三关键+解法四步骤，强调先特殊后一般的方法选择逻辑|从概念本质（整式、未知数次数）到解法原理（配方基础、公式通法）| |基础应用|9题选择填空+10题解答|直接开平方法化标准式、因式分解法降次等技巧|概念辨析→基础解法→根的意义应用，形成知识闭环| |能力提升|4题综合题|新定义运算转化、根的判别式几何应用|解法迁移至代数推理（如最值问题）与几何关联（三角形形状判断）| |综合拓展|1题阅读材料题|配方法恒等变形，结合三角形三边关系|跨知识整合（代数变形与几何性质），发展创新意识与应用能力|

第二章 一元二次方程 第一至二节 习题课 今日复习 1.一元二次方程概念中的三个关键：①只含有 未知数；②未知数的最高次数是 ；③方程是 方程. 2.一元二次方程解法的关键： (1)用直接开平方法解方程的关键：先把方程化为( 的形式； (2)用配方法解方程的关键：先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数 的平方； (3)用因式分解法解方程的关键：先使方程的右边为 ； (4)用公式法解方程的关键：先把一元二次方程化为 ，正确写出a, b, c的值. 名师点拨 解一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础(公式法是直接利用了配方法的结论).因式分解法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般地，先特殊后一般，即先考虑因式分解法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法. 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·编写)一元二次方程 0的根为 . (2)(2026·编写)解方程 得 . 2.(1)(2026·编写)已知 是关于x的方程 的一个根，则m= (2)(2026·编写)若方程(x-3)(x+2)=0与方程 的解相同，则a+b= 。 3.(1)(2026·编写)已知x=3是方程 bx+6=0的根,则 的值是 (2)(2026·编写)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值是 . 4.(1)(关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m等于 . (2)(2025·温江)已知关于x的一元二次方程 没有实数根，则a的取值范围是 . 5.(2026·编写)下列方程中是一元二次方程的是 ( ) D.3x-4=0 6.(2026·编写)用配方法解一元二次方程 配方正确的是 ( ) 7.(2026·编写)把方程‘ 转化为 的形式，则 ( ) 8.(2026·编写)下列各式的变形中，正确的是 ( ) 配方变为 变为 配方变为( =16 因式分解得(x+5)(x-2)=0 9.(2026·编写)用适当的方法解下列一元二次方程： 10.(1)定义:若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”.已知关于x 的一元二次方程 与 是“友好方程”，求m 的值. (2)(2026·编写)若已知x为实数,且满足 求x的值. B级 能力提升 11.(1)(2026·编写)关于x 的方程(x+ 的根的情况是 . (2)(2026·编写)若m是方程 1=0的一个根，则 的值为 . 12.(1)(2026·编写)对于任意实数a,b,定义一种运算： 若x⊗(x-1)=3,则x的值为 . (2)(2026·编写)代数式 的最大值为 . 13.(1)(2026·编写)已知方程 1=0的根是 则方程 的根为 . (2)(2026·武侯)已知实数x,y满足x+ 则 xy的值为 . 14.(1)(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 其中a,b,c分别为△ABC三边的长. ①如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； ②如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (2)(2026·编写)从-4,-2,-1,0,1,2,4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a.若数 a使关于x 的一元二次方程 有实数解，且关于y的分式方程 有整数解，求符合条件的a的值的和. C级综合拓展 15.(2026·青羊)【阅读材料】 已知 求m和n的值. 解： 因为 所以 所以m+n=0,n-3=0, 所以m=-3,n=3. 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作配方法. 【解决问题】 (1)已知 求x的值； (2)已知 求a,b的值； (3)在(2)的情况下,若a,b,c是△ABC的三边长，且它们都是正整数，请判断△ABC的形状，并说明理由. 【今日复习】 1.一个 2 整式 2.(2)一半(3)0 (4)一般形式 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(1)x₁=2,x₂=-2 2.(1)-1 (2)-7 3.(1) (2)-2 4.(1)2 (2)a>4 5. C 6. A 7. B 8. B 9.(1)【解】开方,得y-2=±6, 解得y₁=8,y₂=-4. (2)【解】a=2,b=-4,c=-5, (3)【解】整理得(a-6)(a+1)=0, a-6=0,a+1=0, 解得 (4)【解】分解因式,得(x-1-2)(x-1-1)=0, x-1-2=0,x-1-1=0, 10.(1)【解】由 解得 将 代入 中,得m=1; 将 代入 中,得m=-2. 所以m的值为1或-2. (2)【解】设 且t≥3, ∴原方程化为 ,即(t+5)(t-3)=0, ∴t=3或t=-5(舍去), ∴x=0. B级(能力提升) 11.(1)有两个不相等的实数根 (2)2025 12.(1)2或-1 (2)41 13.(1)y₁=2,y₂=0 (2)2或3 14.(1)【解】①△ABC为直角三角形.理由如下: ∵方程有两个相等的实数根， ∴△ABC为直角三角形. ②∵△ABC是等边三角形, ∴a=b=c, ∴原方程可化为 ∵a≠0, (2)【解】∵方程 有实数解， 解得a≤2, ∴满足条件的a的值为-4,-2,-1,0,1,2. 方程 解得 ∵y有整数解,且y≠1,∴a=-4,0,2,4,6. 综上所述，满足条件的a的值为-4，0，2， ∴符合条件的a的值的和是-2. C级(综合拓展) 15.【解】(1)∵x²-10x+25=0,∴(x-5)²=0, ∴x-5=0,∴x=5. ∴a-1=0,b-3=0, ∴a=1,b=3. (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： 由三角形的三边关系可知,3-1<c<3+1, 即2<c<4. ∵c是正整数， ∴c=3,∴b=c, ∴△ABC是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $