江西省万安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023-2024学年 高三上学期开学考试数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数的实部与虚部相等，则实数（    ） A．7 B．-7 C．1 D．-1 3．已知为等差数列，为其前项和，，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 4．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）．    A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点（    ）    A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．已知正方体，为对角线上一点（不与点，重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（    ） A．只可能为三角形或六边形 B．直线与直线BD所成的角为 C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大 D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大 10．已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（    ） A． B． C． D． 11．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率 12．已知函数，则以下判断正确的是（    ） A．函数的零点是 B．不等式的解集是． C．设，则在上不是单调函数 D．对任意的，都有． 三、填空题（共20分） 13．若将函数表示为，其中为实数，则= . 14．已知数列的前n项和为，若与均为等差数列，请写出满足题意的一个的通项公式， ． 15．已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是 ． 16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 四、解答题（共70分） 17．的内角的对边长分别为，设 (1)求； (2)若，求． 18．已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式. 19．如图，在直四棱柱中，，，，，且P为的中点. (1)设过B点的平面为，若平面平面，求平面与四边形和四边形交线的长度之和； (2)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值. 20．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化､极端气候的出现､生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难.某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷，并邀请40名同学(男女各占一半)参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后20组同学得分如下表： 组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男同学得分 4 5 5 4 5 5 4 4 5 5 女同学得分 3 4 5 5 5 4 5 5 5 3 组别号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 男同学得分 4 4 4 4 4 4 5 5 4 3 女同学得分 5 5 4 5 4 3 5 3 4 5 （1）完成下列列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关： 男同学 女同学 总计 该次比赛得满分 该次比赛未得满分 总计 （2）随机变量表示每组男生分数与女生分数的差，求的分布列与数学期望. 参考公式和数据：，. 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． (1)求的方程； (2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为