第四章 三角函数与解三角形（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形知识网络，以基础概念辨析、性质综合应用、实际情境建模为梯度，系统覆盖定义、变换、图像及应用，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数定义与性质|填空1-6、选择13|终边坐标、函数值域、奇偶性判断|从定义（终边、坐标）到性质（周期、单调、值域）的生成链| |三角恒等变换|填空7、解答17|角的转化、向量数量积化简|通过和差公式实现角的转化，构建“角-函数-值”推理逻辑| |解三角形|填空4、8、解答18-19|正弦定理应用、投影向量、面积最值|以正余弦定理为核心，连接边与角，渗透几何直观与运算能力| |图像与综合应用|填空9、11、选择15-16、解答20|零点极值点分析、图像平移|结合图像深化性质理解，形成“图像-性质-方程根”关联逻辑| |创新应用|填空10、12、解答21|探照灯照明、伴随向量定义|实际情境建模与新定义问题，体现模型观念与应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角函数与解三角形（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第712题每题5分，共54分.） 1.32.-3 3.[-1, 】4否5.专6名（答案不唯，符合表达式经+ k杯+(（keZ)即 可) 39√5 1 59π21π 7.98 8.2 9.2 10.240W5 11. (12’4 12.5 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分每题有且仅有一个正 确选项。) 13 14 15 16 A D C A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分） 17.(14分) f(x)=(2cosx)(sinx+3cosx)+3(-1)+2 【详解】(1)由题意得 =2sinxcosx+2v3cos2x-3+2 =sin 2x+3cos 2x+2 =2sin(2x+5)+2 3 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足一2 +2km≤2x+T≤T+2km,keZ, 3 +km≤x≤+km,keZ, 化简得12 12 即f()的单调递增区间为12 k∈Z.…(8分) 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在该区间内，、 故/=2si 2x+}+2e0-5,利 …(14分） 18.(14分) 【详解】(1)o=1时，函数f(x)=2sinx, f4+}-24+引-2as4=小.s4=-号 ac中.4ad.商4=.4 2 a=v6,由正弦定理可得inA=V5nB,snB 2, (2)函数)=2sin(常数0>0)，J=f的最小正周期为元， 所以T-告=，符02，即f)=2sn2x, 所2-2m2引-22a+引4 xe0,2x+[m] L2」时， 的2am2x+君}L2,定时8(e)e1+hi2+司. +666,则有 当心时恒有>0，则有+h>0,解得公 所以的取值范围为 1,+∞) …(14分) 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19 新情境 (14分) 【详解】(1)由P0O4,故∠PQ0=元-2=” 33 0P2=OQ+PQ2-2×OQ×P9xcos∠PQ0 由余弦定理可得 9=25+P0-5P0,即有P0-5P0-24=0 即 即P2+3(P0-8)=0 0,故P=-3(舍去)或P=8, 即Pe=8(m) …(6分) (2)设∠AOP=0,由POI/OA, 故∠OPQ=∠AOP=0 0<6<2） 2P00-号. 3, OP 00 由正弦定理可得sin sin0,即o0-14W5、 -sin 0 3 3 o0=m0m(-0.(o<0:到 则f(o)=sin0sin3 sin23sinecose=v3 1 f0有说大他分子此时20名子，即0-写时取得. 1,13 此时5m-95x349w5 3×44平方米…(14分) 3/7 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(18分) 【f解1(4山因为的放小正周期7=，白了--得02，所以)=如2x-看. 令2r-石-2+5eZ),解得x=6a+ke2, 故极大值点为=+写keZ),…(4分) 2s=f+到-2r+引 则2r+引m4+8.}m2x+引 内为2+}-到在a小皮 所以m4+gm2x+君引.m22r8n[2x+引 nm2r引1-2mf2引mr-引 2m2+8m2r+}1s0 2+}对aa小 -1≤sim2x+s;-7元+2ka≤2x+s+2 kz.kcZ ≤ 6厂2得6 66 2n+km≤x≤k,k∈Z, 得- 2π 故n-m的最大值为3；…(12分) 4/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x-05 (3)当122时， 6L6 0, 「π5π 5元1 因为正弦函数在L 单调递增，在26上单调递减，且血。2， 3 3 2-9mt+ 则关于x的方程 er-9咖+0在引 0在2'2上有四个不相等的实数根等价于方程 =0 4 在 合上有离个不等实限： 19m+3≥0,1-9m+ 19m<1,42*4 0 3 则A=81m2-3>0,2<2 1 37 得9 <m< <36,故m的取值范围是9’36…(18分) 21 (18分) +cosxsin 4cosx 【详解】(1)由题意得 6 6 22cocox-3cos* :OM=5,-3）0M=3+9=25…（4分) (2)“函数为向量OM=(5-的件随函数， .f(x)=3sinx-cosx=2 即4-骨政A=x《合)， 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b b =4 sin B= 又BC=2V3,由正弦定理得，sin sin B sinC sin60°4，即 4, sinC=c 4 .sin BsinC=Ibe=3 16 =8,即bc=6 b+c2-2bccos600=12=(b+c)-2bc-be=12b+c=30 由余弦定理，得 ,即 即B+AC=VB0 …(10分) (3)“函数/（为向量ON=(2,1)的件随函数f)=2sinx+cosr 又关于x的方程为f)=m+2os2号-25os, 2 .2sim +cosmcoco12sinx+2cos 2 2sinx+3cosx M(x)=2sinx+2/3|cosxl= 记 2sinx-23cosx M(x)= π3π x∈22) 作出函数的图像，如图所述， y 23 π 方程 在 上有且仅有四个不相等的实 01 ππ5π 2πx 626 f()=m+2os2号-23lcos [0,2m 数根， :M()图象与直线'=m+有四个交点， 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴m+1e(2,25u25,4).即mel,25-(25-l3…(18分) 7/7 第四章 三角函数与解三角形（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则________． 2．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则_______. 3．函数，的值域为________. 4．在中，角所对的边分别为，若，则______． 5．若角的终边经过，则__________. 6．将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 7．已知，均为锐角，，，的值为_______． 8．在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 9．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 10．康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 11．已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 12．已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 14．、为第一象限的角，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2026个零点，则满足条件的正整数的值的个数共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知为坐标原点，，，若． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 18．（14分）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 19．（14分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 20．（18分）已知（其中），且的最小正周期为． (1)求函数的表达式及其所有的极大值点； (2)若，且对任意恒成立，求的最大值； (3)若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 21．（18分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则________． 【答案】3 【详解】由，则 2．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则_______. 【答案】 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，所以，由三角函数终边上点的定义， 3．函数，的值域为________. 【答案】 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 4．在中，角所对的边分别为，若，则______． 【答案】 【详解】已知，即， 在中，由余弦定理可知，， 由于，所以. 5．若角的终边经过，则__________. 【答案】 【详解】根据三角函数的定义得，又因为，所以. 6．将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 【答案】（答案不唯一，符合表达式即可） 【详解】设的图像向右平移个单位得到的图像， 则， 由于正切函数的周期是，所以， 可得， 取，可得. 故答案为：（答案不唯一，符合表达式即可） 7．已知，均为锐角，，，的值为_______． 【答案】 【详解】因为为锐角，且，则； 又因为，均为锐角，则，则； 因为，则； 故 ； 8．在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 9．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 10．康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 【答案】 【详解】由题意可知四边形需完全在探照灯照明范围内，所以四边形的四个顶点都在以A为顶点、夹角为α的角的内部， 当其中两条跑道恰好落在探照灯的光沿边上时，四边形跑道的周长可取到最大值； 如图：不妨设四边形跑道为,设,则， 由正弦定理可得, 在三角形中，由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 在中， , 由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 故四边形的周长， 所以四边形跑到周长的最大值为米. 11．已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. 12．已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 14．、为第一象限的角，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】验证充分性：取，，则，但，此时， 故不能推出，充分性不成立； 验证必要性：取，则，满足，但； 故不能推出，必要性不成立. 故选：D. 15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由，. 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即. 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 16．若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2026个零点，则满足条件的正整数的值的个数共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【详解】， 令，则函数可转化为，， ， 而，， （1）若，则，，故在仅有一个零点， 因为在中，有且只有两个解，且这个两个解在中， 故若在内恰有2026个零点，需或. （2）若，则，， 故在两个零点，或， 因为在中，只有一个解为， 有且只有两个解，且这个两个解在中， 而，故，但当时， 、在内恰有个零点，不合题意， 此时不存在使得、在内恰有2026个零点. （3）若，则，， 故在两个零点，或， 在上有且只有两个不同的解，且均在中， 有且只有两个不同的解，且均在中， 因、在内恰有2026个零点，故. （4）若，则，， 故在两个零点，或，同（2）分析得. （5）若，则，， 故在上有一个零点， 因在内恰有2026个零点，同（1）分析得或， 所以满足条件的正整数的值为，共5个. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知为坐标原点，，，若． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【详解】（1）由题意得 ， 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足， 化简得， 即的单调递增区间为，.……（8分） （2）因为，所以， 在该区间内，， 故.……（14分） 18．（14分）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【详解】（1）时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以.……（7分） （2）函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为.……（14分） 19．（14分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即；……（6分） （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米.……（14分） 20．（18分）已知（其中），且的最小正周期为． (1)求函数的表达式及其所有的极大值点； (2)若，且对任意恒成立，求的最大值； (3)若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期，由得，所以， 令，解得， 故极大值点为；……（4分） （2）， 则，， 因为对任意恒成立， 所以，即， 即， 即， 即对任意恒成立， 由得， 得， 故的最大值为；……（12分） （3）当时， ， 因为正弦函数在单调递增，在上单调递减，且， 则关于的方程在上有四个不相等的实数根等价于方程在上有两个不等实根， 则，，，， 得，故的取值范围是.……（18分） 21．（18分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得 ， ，……（4分） （2）函数为向量的伴随函数， ， ，或 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， ∴，即 由余弦定理，得，即， 即……（10分） （3）函数为向量的伴随函数 又关于的方程为， ，即 记 ∴ 作出函数的图像，如图所述，   方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 图象与直线有四个交点， ，即.……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $