27.2 二次函数的图象与性质 讲义 2026--2027学年沪教版（五四制 ）九年级数学上册

沪教版五四制2026学年九年级上册 27.2 二次函数的图象与性质讲义 知识详解 学习目标 【知识点01】 二次函数的图像和性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（k0）或向下（k）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，k）; 【知识点02】 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 【知识点03】. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） ； 平移方向：左右是对而言，上加下减是对而言。 【知识点04】. 增减性 从二次函数y=a(x—h)²的图象可以看出： 二次函数顶点式 y=a(x-h)²+k 的增减性与最值 (1)当a>0，抛物线开口向上:对称轴为直线 x=h; 在对称轴左侧(x<h)，y随x的增大而减小 在对称轴右侧(x>h)，y随x的增大而增大; 顶点(h,k)为最低点，当x=h时，y有最小值 k。 (2)当a<0，抛物线开口向下 对称轴为直线 x=h; 在对称轴左侧(x<h)，y随x的增大而增大; 在对称轴右侧(x>h)，y随:的增大而减小; 顶点(h,k)为最高点，当x≡h时，y有最大值k 增减性区间：必须以，开口方向决定增减趋势。 【知识点05】二次函数y = a(x + m)2 +h的图像与性质 一般地，抛物线y = a(x + m)2 +h的对称轴是直线x=-m，顶点是(-m，h).抛物线y = a(x + m)2 +h可由抛物线 y=ax²平移得到，平移的方向由m、h的符号决定，距离由m、h的绝对值决定. 若a>0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h. 若a＜0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h. 题型精讲 【题型01】二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】（如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________． 【例2】已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【变式2-1】已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)观察图像，说出里两个图像之间位置的变化关系。 【变式2-2】．二次函数的顶点坐标为______． 【变式2-3】．已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【题型02】与 间的关系 【例3】对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 【变式3-1】抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【变式3-2】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【题型03】 的图象 【例4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式4-1】．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【变式4-2】．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【题型04】 的性质 【例5】（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【变式5-2】. 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式5-3】已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： __________（填“”“”或“”）． 【变式5-5】（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． [题型5】y = a(x + m)2 +h的图象及性质 【例6】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【变式6-1】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点，在抛物线上，则______（比较大小关系）． 【变式6-3】．在平面直角坐标系中画出函数的图像． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系． (3)根据图像说明，何时随的增大而减小． 【变式6-4】已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式6-5】若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型06】 与 及+k 与 的平移 【例7】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【变式7-1】．对于抛物线，给出下列说法：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的有_____．（填序号） 【变式7-2】．若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-3】．已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 【变式7-5】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； 【变式7-6】试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 【变式7-7】（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【变式7-8】已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【变式7-9】（2025·上海普陀·二模）已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【变式7-10】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【题型07】待定系数法和数形结合法 【例8】已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【变式8-1】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【变式8-2】已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 强化训练 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 4．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 5．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 二、填空题 6．二次函数的顶点坐标是 ． 7．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 8．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 9．已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 10．已知二次函数，当时，的最小值是______． 11．点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是______． 12. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 13．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为______． 三、解答题 14．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 16．在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 17．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 18．在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 19．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五四制2026学年九年级上册 27.2 二次函数的图象与性质讲义 知识详解 学习目标 【知识点01】 二次函数的图像和性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（k0）或向下（k）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，k）; 【知识点02】 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 【知识点03】. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） ； 【易错提醒】 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 【知识点04】. 增减性 从二次函数y=a(x—h)²的图象可以看出： 二次函数顶点式 y=a(x-h)²+k 的增减性与最值 (1)当a>0，抛物线开口向上:对称轴为直线 x=h; 在对称轴左侧(x<h)，y随x的增大而减小 在对称轴右侧(x>h)，y随x的增大而增大; 顶点(h,k)为最低点，当x=h时，y有最小值 k。 (2)当a<0，抛物线开口向下 对称轴为直线 x=h; 在对称轴左侧(x<h)，y随x的增大而增大; 在对称轴右侧(x>h)，y随:的增大而减小; 顶点(h,k)为最高点，当x≡h时，y有最大值k 【易错提醒】 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向决定增减趋势。 【知识点05】二次函数y = a(x + m)2 +h的图像与性质 一般地，抛物线y = a(x + m)2 +h的对称轴是直线x=-m，顶点是(-m，h).抛物线y = a(x + m)2 +h可由抛物线 y=ax²平移得到，平移的方向由m、h的符号决定，距离由m、h的绝对值决定. 若a>0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h. 若a＜0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h. 题型精讲 【题型01】二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】（如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【答案】轴 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 【例2】已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)观察图像，说出里两个图像之间位置的变化关系。 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 ... ... ... ... ... ... 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 (3)的图像是由函数的图像向下平移2个单位得到。 【变式2-2】．二次函数的顶点坐标为______． 【详解】解：由二次函数，得，，， ∴顶点横坐标， 顶点纵坐标， 故顶点坐标为． 故答案为：． 【变式2-3】．已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得：． 所以满足条件的m的值为2或； （2）解：当，即时，抛物线有最低点， 当时，此时抛物线的关系式为， 该抛物线的最低点即顶点坐标为， 当时，函数值y随着x的增大而增大． 【题型02】与 间的关系 【例3】对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 【答案】A 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意； ∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 【变式3-2】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【答案】 下 轴(或) 低 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【题型03】 的图象 【例4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【变式4-1】．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 【变式4-2】．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 【题型04】 的性质 【例5】（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式5-1】．已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-2】. 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 【变式5-3】已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-4】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： __________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 点、都在二次函数的图象上，且， ， 故答案为：． 【变式5-5】（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． [题型5】y = a(x + m)2 +h的图象及性质 【例6】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【变式6-2】已知点，在抛物线上，则______（比较大小关系）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴的距离越远，的值也越大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】．在平面直角坐标系中画出函数的图像． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系． (3)根据图像说明，何时随的增大而减小． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 … … 1 2 3 4 5 … … 0 … 描点连线，画出二次函数和的函数图象如图所示：    ， ， 该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由图象可知： 二次函数的图象是由二次函数的图象向右平移3个单位长度得到的； （3）解：由图象可知： 当时，随的增大而减小． 【变式6-4】已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的表达式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标． 【变式6-5】若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 【题型06】 与 及+k 与 的平移 【例7】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【变式7-1】．对于抛物线，给出下列说法：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的有_____．（填序号） 【详解】解：∵二次函数中的， ∴抛物线的开口向下，则说法①正确； 由二次函数的解析式可知，对称轴为直线，顶点坐标为，则说法②和③均错误； ∵二次函数的解析式为，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，随的增大而减小，则说法④正确； 综上，说法正确的有①④， 故答案为：①④． 【变式7-2】．若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵点和点在图象上， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为， ∴点A距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， ∴. 故选：A 【变式7-3】．已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是求解二次函数的对称轴，分析图象开口方向． 根据二次函数图象开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，由此判断即可． 【详解】解：∵ 二次函数 中，二次项系数 ， ∴ 抛物线图象开口向上，对称轴为直线 ， ∴ 点离对称轴越远，函数值越大， 点 与对称轴距离为 ； 点 与对称轴距离为 ； 点 与对称轴距离为 ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 【变式7-4】. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到，求解可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-5】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【变式7-6】试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此应将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度． 【变式7-7】（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方；在开口向下的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方． 【详解】解：二次函数， 二次函数对应的抛物线开口向下， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量分别取，， 时， ， ． 故答案为：． 【变式7-8】已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当 【变式7-9】（2025·上海普陀·二模）已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标为：，的纵坐标为：，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 【变式7-10】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 【题型07】待定系数法和数形结合法 【例8】已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【变式8-1】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 【变式8-2】已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 强化训练 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式，即可求得对称轴，的对称轴为直线，据此求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查二次函数图象的变换，根据旋转的性质，得到两条抛物线的开口方向相反，顶点关于原点对称，对称轴相同，即可得出结论． 【详解】解：的图象的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为：， ∴抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线的开口向下，顶点坐标为：，对称轴为轴， ∴这两条抛物线的变化情况不同，对称轴相同； 故选D． 4．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 5．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意； B、顶点坐标为，则该选项错误，故不符合题意； C、对称轴是直线，则该选项正确，故符合题意； D、当时，随的增大而减小，则该选项错误，不符合题意； 故选：C 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 7．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 8．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 9．已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，根据题意确定顶点坐标关于y轴的对称点为，然后利用顶点式即可求解 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴顶点坐标关于y轴的对称点为，开口方向与原开口方向一致， ∴对应的函数关系式为， 故答案为： 10．已知二次函数，当时，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键是根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ， 函数图像开口向下， 离对称轴越远，取值越小， ， 当时，取最小值，最小值为． 故答案为：． 11．点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，对称轴，熟练掌握抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 根据二次函数得到抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越大计算判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故答案为：． 12. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 13．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，先得出的顶点坐标为，再结合关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 三、解答题 14．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 15．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 16．在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，掌握画函数图象的步骤列表、描点、连线是解题的关键． 按照列表、描点、连线的步骤进行，即可画出两个函数的图象，根据函数图像得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：列表， x … 0 1 … … 0 0 … x … 0 1 2 3 4 … … 4 2 4 … 描点，连线，得到函数图像如下， 由图象可知函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 17．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了顶点式法求二次函数的解析式，掌握相关知识点是解题的关键． 设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入中，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． 18．在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解、正切的概念辨析 【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点，代入，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，过点作于点，证明得出，代入抛物线解析式即可求解； （3）设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，由得出，根据，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， 当时，， ∴， 若抛物线经过点，则 解得：或（舍去） ∴抛物线解析式为； （2）∵的顶点为． ∴ 如图所示，过点作轴，垂足为，过点作于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵在抛物线上， ∴ 解得：， ∴， （3）解：如图所示，设直线与轴交于点，与轴交于点， 由，令，得，则， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 过点作，则是等腰直角三角形，则，则 ∴ ∵， ∴ 又 ∴ 即 ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正切的定义，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，熟练以上知识掌握是解题的关键． 19．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． （2）解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或．    学科网（北京）股份有限公司 $