27.2（3） 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，通过配方法转化顶点式、公式法求顶点坐标与对称轴，逐步理解a,b,c对抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点的影响，构建从代数转化到几何性质的递进学习支架。 资料亮点在于知识点分层细化，配随学随练即时巩固，题型覆盖转化、图像、性质等，结合隧道限高问题培养模型意识。通过步骤拆解提升抽象能力，图像分析发展推理意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

第二十七章 二次函数 27.2（3） 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 课标要点 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； 2. 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； 3. 理解a,b,c 对图像和性质的影响； 学习重难点 重点： 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质； 难点： 1. 将一般式转为顶点式，并判断系数a,b,c对图像和性质的影响。 知识点 一般式y=ax²+bx+c化为顶点式 y=a(x+m)²+h 顶点坐标（），对称轴是x= 特别提醒 化一般式为顶点式的步骤： 1. 提取二次项系数a; 2. 配上“一次项系数一半的平方”； 3. 整理成顶点式+k的形式。 随学随练 1．已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 知识点 二次函数 y=ax²+bx+c的图像与性质 1. 图像 二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. 2.性质 （1）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. （2）当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 特别提醒 画二次函数图像列表之前必须先确定顶点坐标，列表时将顶点坐标居中，画出的图像才能体现轴对称性。 随学随练 1. 已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． 知识点二次函数系数 a、b、c的几何意义 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 特别提醒 平移方向：左加右减是针对（）而言，上加下减是对h而言。 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向结合对称轴才能决定增减趋势。 随学随练 1. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型 将一般式化为顶点式 ▌例1 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练1. 二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2. 已知抛物线的解析式为：． (1)利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； (2)如果在这条抛物线上有两点、，其中，，求t的值． 题型 二次函数的图像 解题贴士 1. 二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式 y=a(x+m)²+h可以用配方法； 2. 还可以用公式法，直接系数a、b、c代入对称轴公式x=和顶点公式（）即可。 ▌例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)； (2)． ▌对点练1. 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； ▌对点练2. 已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． ▌对点练3. 关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型 二次函数的性质 解题贴士 二次函数的增减性是性质的难点，比较区间内函数值的大小时首先要判断区间在对称轴的同侧还是异侧，如果是同侧直接利用增减性即可比较，如果是异侧结合图像进行分析比较。 ▌例1 对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 ▌对点练1. 已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． ▌对点练2. 如果抛物线在对称轴的左侧是上升的，那么的取值范围是________． ▌对点练3. 设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示． x … 0 1 2 … y … m 1 n 1 … (1)求二次函数的对称轴． (2)若当时，y有最小值，求a的值． (3)求证：． 题型 二次函数图像的平移法则 解题贴士 1. 研究二次函数y=ax²+bx+c图像的平移法则首先要将其化为顶点式 y=a(x+m)²+h； 2. 平移法则： +h ▌例1 将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线的表达式是________． ▌对点练1. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2. 已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 题型 二次函数图像的轴对称性 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． ▌对点练1. 已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． ▌对点练2.已知抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是________． 题型 系数a、b、c 对抛物线的影响 解题贴士 1）a决定抛物线的开口方向与开口大小； 2）a与b共同决定对称轴的位置； 3）c决定与y轴的交点位置。 ▌例1 已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． ▌对点练2. 二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型7 待定系数法及数形结合法 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． ▌例2 根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． ▌对点练1. 已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． ▌对点练2. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 基础通关 1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 4．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 5．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 6．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 7．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 8．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）若抛物线经过点、、， 则______________ 9．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 10．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 素养提升 1．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·三模）下列函数图像不经过第三象限的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·上海徐汇·专题练习）已知点，，都在抛物线（）上，那么，，的大小关系是_________（用“”连接） 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么____________． 6．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 7．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知二次函数的部分对应值如下表，那么的值为____________． … 0 1 2 3 5 … … 5 0 0 12 … 8．（25-26八年级上·上海·期末）已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 9．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 迁移创新 1．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标的纵坐标为______． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 3．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 4．（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． (1)该抛物线的表达式为______； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.2（3） 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 课标要点 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； 2. 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； 3. 理解a,b,c 对图像和性质的影响； 学习重难点 重点： 1. 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质； 难点： 1. 将一般式转为顶点式，并判断系数a,b,c对图像和性质的影响。 知识点 一般式y=ax²+bx+c化为顶点式 y=a(x+m)²+h 顶点坐标（），对称轴是x= 特别提醒 化一般式为顶点式的步骤： 1. 提取二次项系数a; 2. 配上“一次项系数一半的平方”； 3. 整理成顶点式+k的形式。 随学随练 1．已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 【详解】（1）解： ， ∴对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：∵新顶点为， ∴所得抛物线的表达式为， ∴平移过程为：向右平移3个单位，再向下平移3个单位． 知识点 二次函数 y=ax²+bx+c的图像与性质 1. 图像 二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. 2.性质 （1）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. （2）当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 特别提醒 画二次函数图像列表之前必须先确定顶点坐标，列表时将顶点坐标居中，画出的图像才能体现轴对称性。 随学随练 1. 已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 知识点二次函数系数 a、b、c的几何意义 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 特别提醒 平移方向：左加右减是针对（）而言，上加下减是对h而言。 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向结合对称轴才能决定增减趋势。 随学随练 1. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 题型 将一般式化为顶点式 ▌例1 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (4)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】通过配方，将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （4）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． ▌对点练1. 二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． ▌对点练2. 已知抛物线的解析式为：． (1)利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； (2)如果在这条抛物线上有两点、，其中，，求t的值． 【详解】（1）解： ， 所以，抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵两点、在抛物线上， ∴； ， ∵， ∴，　 整理得， 解得：，， ∵， ∴． 题型 二次函数的图像 解题贴士 1. 二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式 y=a(x+m)²+h可以用配方法； 2. 还可以用公式法，直接系数a、b、c代入对称轴公式x=和顶点公式（）即可。 ▌例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)； (2)． 【答案】(1)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为， 无最小值. (2)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为, 无最小值. 【分析】先列表，再描点画图. 【详解】略 ▌对点练1. 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【分析】利用公式分别求出和的值从而写出对称轴和顶点坐标。 【详解】（1）解：∵ ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵ ∴ ∵2 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； ▌对点练2. 已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得， 的值为，的值为； （2）解：由（）得，， ∴二次函数， 列表 描点，连线，如图所示. 【小问3】 解：①令，则： ， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴时，， 故答案为：； ②， 整理，得， 解得，， 检验：将和代入原方程，分母均不为，且等式成立， 故答案为：，； ③当时，， 当时，， ∵抛物线顶点为(最小值点)， ∴的取值范围是， 故答案为：是． ▌对点练3. 关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， ∵ ∴顶点（，）在第一象限，B选项不正确， 令x=0代入二次函数得， ∵a<-1 ∴a+1<0 ∴抛物线与y轴交点位于原点下方， ∴只有D选项符合题意，A选项不正确， 故选：D． 题型 二次函数的性质 解题贴士 二次函数的增减性是性质的难点，比较区间内函数值的大小时首先要判断区间在对称轴的同侧还是异侧，如果是同侧直接利用增减性即可比较，如果是异侧结合图像进行分析比较。 ▌例1 对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． ▌对点练1. 已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． ▌对点练2. 如果抛物线在对称轴的左侧是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象性质，抛物线在对称轴左侧上升意味着开口向下，因此二次项系数必须小于零，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴的左侧是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． ▌对点练3. 设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示． x … 0 1 2 … y … m 1 n 1 … (1)求二次函数的对称轴． (2)若当时，y有最小值，求a的值． (3)求证：． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算是关键． （1）根据表格信息得到对称轴直线为，即可； （2）根据题意得到，分类讨论：当时，二次函数图象开口象限，对称轴直线处取得最小值；当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，当时，取得最小值；代入求值即可； （3）根据题意当时，，当时，，得，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， 当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值， ∴， 解得，； 当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小， ∴当时，取得最小值， ∴， 解得，； （3）解：当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为， ∴． 题型 二次函数图像的平移法则 解题贴士 1. 研究二次函数y=ax²+bx+c图像的平移法则首先要将其化为顶点式 y=a(x+m)²+h； 2. 平移法则： +h ▌例1 将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线的表达式是________． 【详解】解：， 将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位 抛物线平移后的表达式为， 故答案为． ▌对点练1. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴平移后的新抛物线为． 故选：D． ▌对点练2. 已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； （2）解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 题型 二次函数图像的轴对称性 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． ▌对点练1. 已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． ▌对点练2.已知抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键． 先通过图像得出抛物线的对称轴为直线，再求出的对称点为，最后根据并结合图像求解即可． 【详解】解：∵由图可知抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵当，即抛物线在直线下方的部分， ∴由图可得：当或时，． 故答案为：或． 题型 系数a、b、c 对抛物线的影响 解题贴士 1）a决定抛物线的开口方向与开口大小； 2）a与b共同决定对称轴的位置； 3）c决定与y轴的交点位置。 ▌例1 已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． ▌对点练1. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． ▌对点练2. 二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 题型7 待定系数法及数形结合法 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． ▌例2 根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． ▌对点练1. 已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵=， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移1个单位，再向上平移个单位． ▌对点练2. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， 当时，解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：通过观察图像可知在直线和抛物线交点的左侧和交点的右侧，抛物线图象在直线上方， ∴当或时，． 基础通关 1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，抛物线平移时开口大小和方向不变，故二次项系数 a 不变，根据新顶点坐标直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵将抛物线平移，使顶点移到点的位置， ∴所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 逐项验证时的坐标和对称轴即可． 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 3．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 4．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 6．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 7．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 8．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）若抛物线经过点、、， 则______________ 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，把点、、代入抛物线的解析式，解出，，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、、， 故代入得， 解得 故答案为：1． 9．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将点、代入，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 10．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 【答案】(1)开口方向向上；对称轴为直线；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 (2)平移的距离为 【分析】本题考查抛物线的图象性质和抛物线平移，关键是将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标，再结合平移的坐标变化计算距离． （1）先将抛物线解析式展开并转化为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，根据顶点式确定对称轴，再结合开口方向分析函数的增减变化情况； （2）先确定原抛物线的顶点坐标，再计算原顶点与目标顶点的坐标差，利用勾股定理求出两点间的距离，即为平移的距离． 【详解】（1）解：将抛物线展开得，转化为顶点式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上；对称轴为直线； ∵开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）知原抛物线的顶点坐标为，目标顶点坐标为， 两点的横坐标差为，纵坐标差为， 根据勾股定理，平移的距离为． 素养提升 1．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性可判断选项A；根据函数值为定值可判断选项B；根据特殊值法可判断选项C、D． 【详解】解：A．∵是一次函数，且， ∴当时，，故此选项符合题意； B．∵，对任意，都有， ∴，故此选项不符合题意； C．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意； D．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意． 2．（2026·上海·三模）下列函数图像不经过第三象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的性质逐项判断函数图像是否经过第三象限，即可解答． 【详解】解： A．是正比例函数，， 图像经过第一，三象限，不符合要求； B．是反比例函数，， 图像位于第一，三象限，经过第三象限，不符合要求； C．是一次函数，，， 图像经过第一，二，四象限，不经过第三象限，符合要求； D.是二次函数，开口向上，顶点为，点在该函数图像上，且点在第三象限，因此图像经过第三象限，不符合要求． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数与一次函数的知识，关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质； 根据二次函数图象开口方向确定a的正负，再根据对称轴的位置确定b的正负，根据一次函数经过的象限，确定a的正负、b的正负，逐一判断即可得到答案. 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 4．（2025九年级上·上海徐汇·专题练习）已知点，，都在抛物线（）上，那么，，的大小关系是_________（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 点，，都在抛物线上， ， ， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化成顶点式、二次函数的平移等知识点，确定平移后的函数解析式是解题的关键． 先将原抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，再根据平移规律“上加下减”得到新抛物线的顶点坐标，由顶点落在x轴上即纵坐标为0，再列出方程求解即可． 【详解】解：∵原抛物线化成顶点式为， ∴顶点坐标为， ∵原抛物线向下平移个单位后，新抛物线解析式为，∴顶点坐标为． ∵顶点落在轴上， ∴，解得：． 故答案为 4． 6．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 7．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知二次函数的部分对应值如下表，那么的值为____________． … 0 1 2 3 5 … … 5 0 0 12 … 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 先根据表中数据确定对称轴，再找到对称点的函数值即可解答． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴抛物线的对称轴为． ∵关于的对称点为， ∴． 故答案为：12． 8．（25-26八年级上·上海·期末）已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 【答案】(1)；顶点 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移，熟练掌握函数性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得，由此可求得直线的解析式为，由，可设直线解析式为，进而求得其解析式为，由，代入直线的表达式求得，即可求得的值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点； （2）解：令，则，即， ∵直线经过点， 设其解析式为， 则，解得， ∴直线， ∵，且直线经过点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线， ∵点是点向上平移个单位所得， ∴，代入直线的表达式，得， ∴． 9．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)二次函数的图象见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）解：二次函数的图象如图所示： （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标的纵坐标为______． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴为直线，与y轴的交点为． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴， ，即， 抛物线为， 顶点坐标为， 顶点坐标的纵坐标为1， 故答案为：1． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次函数的平移，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．设平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点式得出，然后根据根与系数的关系，结合抛物线的“反碟长”恰好为4，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：设平移后抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为： ， 把代入得：， 整理得：， 设方程的两根为，，且，则： ，， ∵抛物线的“反碟长”恰好为4， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． (1)该抛物线的表达式为______； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不随点在线段上的位置变化而变化，． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，三角形的面积，平移的性质．综合性较强，有一定难度．运用数形结合及方程思想是解题的关键． （1）先由直线与轴，轴分别相交于点，点，求出，，再根据抛物线的对称轴是直线，求出与轴的另一交点的坐标为，然后将，，代入，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式； （2）①先利用配方法将二次函数写成顶点式，设新抛物线的函数表达式为，则，由顶点在线段上点处可得，，根据抛物线经过点，可得，可得新抛物线的函数表达式为，则，即可求解； ②设抛物线顶点为，，过作直线的平行线交抛物线于点，由平移得当点平移到点时平移到点，则，为定值，所以的面积不随点在线段上的位置变化而变化，根据①的结果得点、，即可求出的面积． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点、， ，， 又对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． 点的坐标为． 将，，代入， 得， 解得， 该抛物线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①， 设新抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点在线段：上点处， ， ， 抛物线经过点， ， 解得或（此时，点与点重合，抛物线与轴只有一个交点，舍去）， ， 新抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， ， ， 点的坐标为． ， 故答案为：； ②的面积不随点在线段上的位置变化而变化， ， 设抛物线顶点为， ， 过作直线的平行线交抛物线于点， 由平移得当点平移到点时平移到点，则，为定值， 的面积不随点在线段上的位置变化而变化， 根据①得点、， ． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $