专题27.3 确定二次函数的表达式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦确定二次函数表达式的核心知识点，系统梳理一般式、顶点式、交点式三种形式的参数意义及适用条件，构建从已知三点、顶点、交点到结合平移、对称、表格数据等综合情境的递进学习支架。 资料通过典例与变式分层设计，融入实际利润问题等情境培养模型意识，借助表格数据纠错题型提升推理能力，课中助力教师实施分层教学，课后便于学生针对性巩固，有效发展抽象能力与应用意识。

专题27.3 确定二次函数的表达式 教学目标 1. 掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种表达式形式，理解各参数几何意义。 2. 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 3. 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 教学重难点 重点： 1. 运用待定系数法求二次函数的表达式； 难点： 1. 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息灵活求函数表达式。 知识点01 二次函数的一般式 一般式：（） 待定的系数： 适用的条件：经过三个已知点 解题的方法：列三元一次方程组，求解a,b,c即可 常见的结论： 已知与y轴交点（0，m）c=m 已知经过原点（0，0）设 已知经过原点（1，m） 已知经过原点（-1，m） 已知经过原点（2，m） 已知经过原点（3，m） 知识点02 二次函数的顶点式 顶点式：（） 待定的系数： 适用的条件：经过顶点（对称轴、最值）+一个普通点 解题的方法：先将h、k代入顶点模型，再代入普通点的坐标列一元一次方程组，求解a即可 特殊的结论： 已知顶点为原点设 已知顶点在y轴上设+c 已知顶点在x轴上设 已知顶点直线y=x上设 知识点03 二次函数的交点式 顶点式：（） 待定的系数： 适用的条件：已知与x轴交点的横坐标、 +一个普通点 解题的方法：先将、代入交点模型，再代入普通点的坐标列一元一次方程组，求解a即可 题型01 已知三点求函数表达式 【典例1】由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 【变式1】抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 【变式2】已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【变式3】如图，已知抛物线经过，两点．求抛物线的解析式．    【变式4】小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表： x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 11 2 ﹣1 2 5 m …… 由于粗心，小颖算错了其中的一个y值． (1)求该二次函数表达式； (2)请你指出这个算错的y值； (3)通过计算求m的值． 题型02 已知顶点求表达式 【典例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式1】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【变式2】已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【变式3】抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当为何值时，随的增大而增大？ 【变式4】某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 题型03 已知与x轴交点坐标求表达式 【典例1】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式1】抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【变式2】已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【变式3】已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【变式4】如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 题型04 根据隐蔽条件求函数表达式 【典例1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【变式1】已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【变式2】已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【变式4】已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 题型05 求抛物线平移、旋转、翻折后的表达式 【典例1】已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【变式1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______． 【变式3】按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【变式4】如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图2，将该抛物线绕点旋转． ①求旋转后的抛物线的表达式． ②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积． 题型06 求表达式的综合题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）． (1)求抛物线W1的表达式； (2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式； (3)已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值． 【变式2】如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【变式4】如图，抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为． (1)求抛物线的表达式． (2)将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象． (3)过x轴上一动点作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N． ①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围； ②t取何值时，的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）． 1．已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 4．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 6．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 7．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 8．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 9. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为________ 10．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 11．如图，抛物线经过、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线配方成顶点式为___________． 12．二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． …… 2 …… …… 7 7 …… 1．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 二、填空题 6．过原点的抛物线顶点为，它的完整解析式为______． 7．已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 8．抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线解析式为________ 9．如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成． ①直线与该图象有______个交点； ②若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是______ 三、解答题 10．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 12．如图，抛物线（， 为常数，且）交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 确定二次函数的表达式 教学目标 1. 掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种表达式形式，理解各参数几何意义。 2. 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 3. 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 教学重难点 重点： 1. 运用待定系数法求二次函数的表达式； 难点： 1. 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息灵活求函数表达式。 知识点01 二次函数的一般式 一般式：（） 待定的系数： 适用的条件：经过三个已知点 解题的方法：列三元一次方程组，求解a,b,c即可 常见的结论： 已知与y轴交点（0，m）c=m 已知经过原点（0，0）设 已知经过原点（1，m） 已知经过原点（-1，m） 已知经过原点（2，m） 已知经过原点（3，m） 知识点02 二次函数的顶点式 顶点式：（） 待定的系数： 适用的条件：经过顶点（对称轴、最值）+一个普通点 解题的方法：先将h、k代入顶点模型，再代入普通点的坐标列一元一次方程组，求解a即可 特殊的结论： 已知顶点为原点设 已知顶点在y轴上设+c 已知顶点在x轴上设 已知顶点直线y=x上设 知识点03 二次函数的交点式 顶点式：（） 待定的系数： 适用的条件：已知与x轴交点的横坐标、 +一个普通点 解题的方法：先将、代入交点模型，再代入普通点的坐标列一元一次方程组，求解a即可 题型01 已知三点求函数表达式 【典例1】由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 【答案】由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值；（2） 【分析】（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式，需求出k，b的值．用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值．类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出a，b，c的值．由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值． （2）设所求二次函数为，根据已知的三点坐标代入解析式，列出三元一次方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值． （2）设所求二次函数为． 由已知，函数图象经过三点，得关于a，b，c的三元一次方程组 解这个方程组，得 ． 所求二次函数是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【变式1】抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而即可求解． 【详解】把（－1，－22），（0，－8），（2，8）分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得：a＝－2，b＝12， c＝－8， 所以抛物线的解析式为y＝－2x2＋12x－8， 将解析式配方，得y＝－2(x－3)2＋10， 又∵a＝－2＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，求出二次函数解析式，是解题的关键． 【变式2】已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 【变式3】如图，已知抛物线经过，两点．求抛物线的解析式．    【答案】 【分析】把，代入，得到二元一次方程组，求解得到完整解析式即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，代入坐标得到二元一次方程组并求解是解题的关键． 【变式4】小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表： x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 11 2 ﹣1 2 5 m …… 由于粗心，小颖算错了其中的一个y值． (1)求该二次函数表达式； (2)请你指出这个算错的y值； (3)通过计算求m的值． 【答案】(1) (2)5 (3)26 【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可知与的函数值相等，将代入（1）的解析式求解即可； （3）将代入即可（1）中的解析式求解即可． 【详解】（1）根据表格数据可知对称轴为，当时，， 设该二次函数表达式， 将，代入 得 解得： （2）对称性可知与的函数值相等， 当时， 则这个算错的y值是 （3）当时， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型02 已知顶点求表达式 【典例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与函数平移的特点． （1）设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 【变式1】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2+1，然后把点代入求出a的值即可． 【详解】解：根据题意， ∵二次函数图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 把点代入，则 ， 解得：； ∴这个二次函数的表达式为：． 【变式2】已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 【变式3】抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据（1）中抛物线顶点式的性质即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数图像与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线过点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：由（1）知，抛物线的解析式为， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、求顶点坐标及增减性，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【变式4】某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)月份 (3)万元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解； （2）代入，求解即可； （3）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； （2）解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； （3）解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 题型03 已知与x轴交点坐标求表达式 【典例1】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 【变式1】抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：有题意得二次函数解析式为， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【变式3】已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【变式4】如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过，， ∴设二次函数的解析式为， 且对称轴为x==1 ∵顶点在函数的图象上， ∴顶点M的坐标为， ∴ ∴解得a=-， ∴ （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 题型04 根据隐蔽条件求函数表达式 【典例1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， 或用交点式得到，y=(x+1)(x-3) ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 【变式1】已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【点睛】本题也可模仿典例1，利用对称性求出抛物线必过点（-5，2） 【变式2】已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【分析】本题表面不用设解析式，但用顶点式更简单。 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【分析】由对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0） 【详解】（1）方法一，解：由对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0） 设抛物线解析式为 则有设抛物线解析式为 把（0，3）代入得，3=-3a 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为。 方法二，设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 【变式4】已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【详解】（1）方法一（用一般式）解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； ∴二次函数的表达式为。 方法二（用顶点式）设抛物线 把（3，0）代入得，0=4a+4 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为。 方法三（用交点式）由题意对称轴为x=1, 可知抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0） 设抛物线解析式为 则有设抛物线解析式为 把（1, 4）代入得，4=-4a 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为。 （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 题型05 求抛物线平移、旋转、翻折后的表达式 【典例1】已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【详解】解：（1）y和y1关于x轴对称，则开口方向相反，顶点关于x轴对称， 即表达式为：； （2）y和y2关于y轴对称，则开口不变，顶点关于y轴对称， 即表达式为：； （3）y和y3关于坐标原点对称，则开口方向相反，顶点坐标关于原点对称， 即表达式为：； （4）y4由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则开口相反，顶点关于P（1，0）对称， 即表达式为：. 【变式1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 【变式2】把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， 又∵图象绕原点旋转后得到的二次函数图象的顶点坐标为，开口方向向下， ∴旋转后的新函数图象的解析式为． 故答案为：． 【变式3】按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 【变式4】如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图2，将该抛物线绕点旋转． ①求旋转后的抛物线的表达式． ②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为，将点代入即可求解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点的坐标； （2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为，可知为顶点和的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点的坐标，由的坐标，图形结合得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得， ∴二次函数表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为， ∵为顶点和的中点，即，， ∴点的坐标为， ∵旋转前后图形的形状不变，开口相反， ∴， 故旋转后的抛物线表达式为； ②由①得点坐标为， ∵，点关于点对称， ∴点坐标为， ∵，，，， ∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键． 题型06 求表达式的综合题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）． (1)求抛物线W1的表达式； (2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）表示出顶点式，将点代入即可； （2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′求出三角形DD′A的面积；设，过点M作轴交于点N，表示出MN，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 设抛物线的表达式为：，将点代入得： ，解得：， ， （2）解：， ， ，连接， ， ， ， 设，过点M作轴交于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式1】如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式； (3)已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴的交点为， ∴， ∵顶点为， ∴，即， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵关于轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为： ； （3）解：， 若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过点A， 则此时函数解析式为， 将代入中， 解得：． 【变式2】如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：设该抛物线解析式为， ∵点在该抛物线的图象上， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 【变式4】如图，抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为． (1)求抛物线的表达式． (2)将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象． (3)过x轴上一动点作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N． ①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围； ②t取何值时，的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2)先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；；图见解析 (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，根据平移后抛物线的顶点落在原点，确定平移规则即可，描点法画出函数图象即可； （3）①观察图象找到时的两个值，数形结合即可得出结果；②根据题意得到，得到，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为； ∵平移后抛物线的顶点坐标为， ∴原抛物线先向左移动1个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可； 此时抛物线的解析式为； 画出图象如图： （3）解：①观察图象可知，当时，， 当时，， 故当时，的长不大于1； ②由题意，， ∴， ∵的长不大于n（n为大于0的常数）， ∴， ∴， ∴. 1．已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与函数的关系，用待定系数法，将点坐标代入抛物线方程求解 a 的值 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ 当时，，代入得， ∴， 故选：C. 2．已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 3．抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．利用抛物线经过原点和点(2,0)的条件，求出，，再代入对称轴公式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和原点． ∴把和代入， 得 解得，， 则该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 4．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 5．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 6．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】4 【分析】先根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度后，平移后的抛物线解析式为， 平移后抛物线经过原点， ∴， 解得． 7．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．由二次函数与x轴的交点坐标，利用根与系数的关系可求出对称轴，进而求得顶点坐标，即可作答． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于点和， ∴设二次函数为， 则对称轴为直线， 将代入函数解析式，得， 故顶点坐标为， 故答案为：． 8．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 9. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为________ 【答案】． 【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向不变，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(-2，1)，则可得翻折后的抛物线的解析式． 【详解】∵， ∴顶点坐标为(2，1)，开口向上， ∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(-2， 1)，此时抛物线的开口向上， ∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为， 化简后为：． 【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化． 10．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 11．如图，抛物线经过、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线配方成顶点式为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把一般式化为顶点式，熟练解方程组、正确配方是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把所求的解析式配方即可． 【详解】（1）解：二次由题意可知函数的解析式为， ∴； （2）解：， 故答案为：． 12．二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度） 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，画二次函数图象，二次函数图象的平移问题． （1）设顶点式解析式，再代入点即可求解； （2）按照列表、描点、连线的步骤作图即可； （3）根据抛物线的平移规律：上加下减、左加右减求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为 ∵抛物线经过点 ∴把，代入得， 解得 ∴此抛物线的解析式为； （2）解：列表 …… 2 …… …… 7 7 …… 描点、连线，如图： （3）解：当时，原抛物线为，所求抛物线为 ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 或先将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到 ， ∴平移方式为先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度）． 1．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 2．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 3．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 4．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛物线的顶点坐标以及绕点旋转后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上 绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开户口向下， 所得到的图象的解析式为， 故选：C． 5．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 二、填空题 6．过原点的抛物线顶点为，它的完整解析式为______． 【答案】（或） 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，已知抛物线顶点和过原点，可设顶点式方程，代入原点坐标求参数即可． 【详解】解：由抛物线顶点为，设解析式为． 由于抛物线过原点，代入得，即，解得 ． 因此抛物线的解析式为． 展开得． 故答案为：（或）． 7．已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和c的方程组，然后求解方程组即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 8．抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线解析式为________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋转后抛物线的解析式为． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的解析式为， 故答案为：． 9．如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成． ①直线与该图象有______个交点； ②若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是______ 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 利用待定系数法可求出二次函数的解析式为，则可推出函数的解析式为，据此结合函数图象可得答案； 分别求出直线与抛物线恰好只有一个交点时和直线恰好经过点时的m的值即可得到答案． 【详解】解：①由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 设是函数的图象上一点， ∴是函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 故答案为：3； ②联立得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 则， ∴； 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时， 函数的图象与直线有四个交点， 故答案为：． 三、解答题 10．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出当时的值即可得到答案； （2）先求出对称轴和顶点坐标，最大值，再求出或时二次函数的值即可得解； （3）分情况列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时， 由题意得，该不等式组无解； 综上所述，． 12．如图，抛物线（， 为常数，且）交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据点的坐标特征可求得，分两种情况讨论：当点在下方时，根据平行线的性质以及抛物线的对称性求解即可；当点在上方时，设交轴于点，根据角的数量关系可求得点的坐标，进而根据待定系数法可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式即可求得点的坐标； （3）先求出的长，结合平移单位可确定抛物线的平移方式，进而得到平移后抛物线的解析式，设出点的坐标，分三种情况讨论平行四边形：为对角线，为对角线，为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：对于抛物线， 令，得， ， ， ， ， ， ， ； 分两种情况讨论： 当点在下方时，如图，过点作 轴交抛物线于点，此时， 对于，对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可得，点的坐标为； 当点在上方时，如图，设交轴于点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（与点重合，舍去）或， ； 综上，点的坐标为 或 ； （3）解：抛物线，对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设， ，， ， 将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，， 抛物线向左平移个单位，向上平移个单位得到抛物线， 平移后抛物线的解析式为， 设，分三种情况讨论平行四边形： 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 综上，点的坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $