【楚天协作体】2027届高三8月新八校教学质量检测数学试题

高三数学参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 P 9 10 11 答案 D A C D B B C ABD BCD ABD 123 “41 13.-3 14.【详解】在正四面体ABCD中，AD-6,又OC-2√5，则AO-2√6，所以OP-1 AP.BC=(AO+OP).BC=BC.OP 在平面BCD中建平面直角坐标系，设0(0,0)，P(cosB,siB),B(0,2√5)，C(-3,-√3) c5=(3,35),op=(cosB.sm),西-0丽=6sin(0+g sin(B+y 所以cos& CB.OP 6 30 (另：可以由最小角定理得到最大值，由垂直得到最小值) 15.解：设A:抽到甲企业模型，A,:抽到乙企业模型，A:抽到丙企业模型 B:抽到的模型存在代码漏洞… …2分 白模盟数目比235，则P4)后有P心4)品P4)-名月 由条件概率可得P(B|A)=0.03,P(B|A)=0.02,P(B|A)=0.01…4分 (1)由全概率公式：P(B)=P(A)P(B|A1)+P(A2)P(B|A)+P(A）P(BA3)=0.017…8分 ×0.03 (2)由条件概率可得PAIB)=PA)PB4_5 6.…13分 P(B) ==0.017=17 16.解：(1)证明：因为PC⊥面ABCD,则PC⊥AD, …2分 又因为AD LAB,AB∥DC,则ADLCD,又PC∩CD=C…4分 所以AD⊥面PCD.又因为ADC面AD,所以平面PAD⊥平面PCD.…5分 (2)由(I)可知ADL面PCD,所以∠PDC为平面PAD与平面ABCD所成锐二面角， 则tan∠PDC=1,所以CD=PC,设AB=2AD=2CD=4,如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，所 以有D(0,2,0),A(2,2,0),B(2,-2,0),P(0,0,2) 第1页共4页·26-G3-08L 则E(1,-1,1),CA=(2,2,0),C=（1,-1,1),PD=(0,2,-2), …8分 「2x+2y=0 设平面ACE的法向量=(x,少，z),则有 x-y+2=0则i=(1,-1,-2)…10分 所以cos(D,n DP.i …13分 D6 所以直线PD与平面ACB所成角的正弦值为 …15分 6 17.解：(1)由余弦定理cosC=a+b-c ,得+b2-c2 =C0sC…2分 2ab 2b 原式化为：(C-2b)cosA+acosC=0,即c cosA-+acosC=2 bcosA…5分 由正弦定理可得coA-片又4e0,元).所以A-号 …8分 3 (2)由余弦定理：a2=b2+c2-2 bc cosA=6+c)2-3bC,又因为a=3,b+c=6,代入可得bc=9 所以s=be sn=×9xim”-2x595 …15分 2 3224 18.解：(1)设双曲线E的焦距等于2c,“双曲线卫的离心率等于2，：C=2 c2=4a2=心2+b2,b2=3a2①…1分 49 点P(2,3)在双曲线E上， 2b7=1② …2分 由①②解得a2=1,b2=3… …3分 双曲线B的标准方程为x2-3三1 …4分 x-nly- 10 (2)(i)设M(1,),N(x2,y2),由 2 Ix2-y2 得m2-y2+mw-3=0…5分 3 4 =1 3 m2、1 ≠0 3 :直线与双曲线交于M、N两点， 3、 △=m2-4×(← 21 - >0 4 3 3 解得m2>1且m }+=- 4 3 m21,y2= 4 …7分 3 2、 3 第2页共4页·26-G3-08L MN均在右支上，>0，解得m㎡<行m>0, <l< …8分 2 3 3y1=- 3 :M是W中点，.y2=24,代入y1+y2和y得 3,消去得 24= 4 9m2 m2、1 2 337得B5o10分 4 3 解i法2：M是ON中点.设M).因为QG0,所以N2y分2)5分 因为M,N在双曲线x了=1上，所以》 3 …6分 3 13 8…S个8=÷三揭‘0<0<x啡T举W日0<w4图 8 所以直线N的斜率k=乃， 335 V35 1131 …9分 3 1-282 所以= …10分 (i)F是双曲线E的右焦点，F(2,O),.PF⊥x轴，过M作PF的垂线，垂足为H,.H(2,), 直线H的斜率等于当-4」 X2-2 直线I的方程为y-为=-1《-2）…11分 x2-2 3 y3+ y1-y1y3 令y=0得x=×1+2=-×y,-y +2=2 +2③ …13分 V3-y1 y2-y1 3 3 由(i)可知2=4 =(y+y3)④…l4分 将@代入@得x=2-4的+)， 33 3 y1-y2) +2=4 +2=-3+2=3…16分 y3- y2-y1 4 4 所以直线W经过定点（心， …17分 第3页共4页·26-G3-08L 19.解：f)的定义域为(-1，+n),'()-a+x 1+x-a …】分 (1)若a≤0，f(x)>0,f(x)在(-1，+n)单调递增，…2分 若a>0,令f(x)=0,则x=a-1,所以f(x)在(-1，a-1)单调递减，在(a-1,+w)单调递增： 综上可得：若a≤0，f(x)在(-1，+w)单调递增，若a>0,f(x)在(-l,a-1)单调递减，在（a-1, 十叨)单调递增；… …4分 (2)若a≤0，f(0)=a,显然不成立， 若a>0,由(1)可知f(x)的最小值为f(a-1)=na+1=1, 所以a=1… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …7分 (3)先证明S≤1+nn,当n=I时显然成立，…8分 由2》可：41，即加年列， (k≥2) 则有古安安-h- -<1+h2-hl+..+lnn-h(u+D=1+ln. 所以可得Sn≤1+nn. …12分 用运明8>ha-功-司 为8会han5为.)经司 所以装远联不等式皮即正片山1+ 令博s山：可引产）即要Eh-小名6 7x <0 令=h0+君160s 7x 8(6x)=-9r2-2 16(x+1) <0,所以g(x)在(0，上单调递减，又g(O)=0,所以8(x)<0 所有8a+-中司】 综上可得n01+D+0十片<S3中n …17分 16 (如有其他方法请酌情给分) 第4页共4页·26-G3-08L高三8月检测数学评分补充说明 T16 5 15解：设4：抽到甲企业模型，4：抽到乙企业模型，本：抽到丙企业模型 18.解：（①）设双幽线E的售距等子2e B:抽到的模型存在代码潮洞 …2分 22=4d=d+8,6=302① 点在现线E上，子 由条件概率可得P8到4)=0.03P814)=0.02,PB14)=0.01…4分 由02解得2=1.6=3 I)由全概率公式：P8=P(4)PB4+P(4)PB14)+P(4}PB14)=0.017…8分 双鱼线E的标准方程为-号 ②由条行黄率可得A41P)8.音×0a朗 6 …13分 P(B) 0.01717 (2)(i)设M(x),N() 16.解：(1)证明：因为PC⊥面ABCD,则PC⊥AD, 小小2分 又因为AD⊥AB,AB∥DC,则AD⊥CD,又PCNCD-C 小…4分 直线与双曲线交于M、N两 所以ADL面PCD又因为Dc面PAMD,所以平面PADL平面PCD (2)由(1)可知D⊥面PCD,所以∠PDC为平面PMD与平面ABCD所成锐二面角，~一一一一 5(w魂阳阿计性 则tan∠PDC=,所以CD-PC,设AB=24D=2CD=4,如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系 为Pc=0,同将 以有D(0,2,0,4(2,2,0).B(亿，-2,0)，P0,0,2) 第1页共4页·26-G3-08L 2,3)在双曲线E上 V两点(M 则E(1,-1,1),C=(2,2,0),CE=(1,-1,1),PD=(0,2,-2), 0分 、设平面4E的法向量万=6y),则有20则-1，-1，-2) 分 D._5 所以s丽园丽 …13分 所以直线PD与平面4CE所成角的正弦值为5 小15分 6 a2+b2-c2 a2+62-c2 …2分 T19(2)答案改成a≥1 2石4>U,J)=，亚然成业， 若a>0, 由1)可知f()的最小值为f(a-)=ha+1.， 所以a外 (3)先证明Sn≤1+lnn,当n=1时显然成立，…高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={1,-2,l,5},B={dy=lg(+2)},则A∩B=() A.{-1,-2,1,5} B.{-1,1,5} C.1,5} D.0 2若复数：及a+acR)为纯班数，则a=() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 3.在长方形ABCD中，M=)A6,4C与DM交于点N,则M=() A.IAD-LAB B.2AD-1A8 3 6 3 3 c5而-号 D而 4.已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（) A哥 B.2 C:3 兀 D.元 3 5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为() B.3 5 C.3 4 D.? 、6.己知祁随圆C:之+b3、 -=1(a>b>0)与抛物线E:y2=2px(p>0)有相同的焦点F,椭圆 C与抛物线E在第一象限交于点P,PF⊥x轴，则椭圆C的离心率等于() A.② B.√2-1 C.1② D.2-1 2 2 2 7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是b、c,则“simA+cos2B+sinC>1”是“△ABC 是锐角三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[0,1]时， f(x)=a+b(a>0且a≠1)，若f(0)+f(3)=-1,则f(log218)=() A B c日 D.2 5 第1页共4页·26-G3-08L 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆C:x2+y2-6x+4y-12=0,直线1：x+y-2-1=0(∈R),下列选项正确的有 () A.圆C的圆心坐标为(3，-2)，半径为5 B.直线1恒过定点(2,1) C.当=1时，直线1与圆C相离 D.直线1被圆C截得的弦长最小值为215 10.已知等差数列{an}的首项为4，公差为d,前n项和为Sn,若S5>S3>S4,则下列结论正 确的有() A.4>0,d<0 B.当n=14时，Sn最小 C.使得Sn>0成立的最小自然数n=28 D.413+414<45+46 11.已知抛物线C:y=8x,焦点为F,过F的动直线1交抛物线于A,B两点，则下列结论正确 的有() A.抛物线C的准线方程是x=-2 B.AF+BF的最小值是8 c.若直线1倾斜角为60°，则△40B面积为325（0是坐标原点) 3 D.抛物线C在A、B两点处的切线的交点在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.己知数列{an}是等比数列，其前n项的和为Sn,若4=2741，S4=4-1,则4= 13.己知函数f(x)=x+2x,8(x)=lnx-x(L∈R),若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点 处的切线相同，则m的值为 14.正四面体ABCD的棱长为6，在平面BCD内有一动点P,满足AP=5,若直线AP与直线BC 所成的角为，则cos的取值范围为 第2页共4页·26-G3-08L 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 某科技园区有甲、乙、丙三家AI企业，产出的AI模型数量之比为2：3：5，三家企业的AI模 型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的AI模型中随机抽取1个模型. (1)求随机抽取的这个AI模型存在代码漏洞的概率； (2)如果抽到的AI模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，PC⊥平面ABCD,AD⊥AB, AB∥DC,AB=2AD=2CD,点E是PB的中点. (1)证明：平面PAD⊥平面PCD: (2)若平面AD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为1，求直线PD与平面ACE所成角 的正弦值 17.(15分) 记△1BC的内角4，B,C的对边分别为abc,已知c-2cosA+口+b-c2 0 2b (1)求角A; (2)若=3，b+c=6,求△ABC的面积. 第3页共4页·26-G3-08L 18.(17分) 已知双曲线a千(>0.b>0)的离心率等于2，点2)在双陶线E上广 (1)求双曲线E的标准方程： (2)直线x-m-】=0(m>0)与x轴交于点Q,与双曲线B的右支交于M、N两点(M 2 在Q、N之间)，F是双曲线E的右焦点，过M作PF的垂线，垂足为H, (i)若M是QN中点，求的值： (ii)证明：直线HN经过定点. 19.(17分) 己知函数fx)=ln1+x)+,a(aeR)】 1+x (1)讨论f(x)的单调性： (2)对x∈(-1，+o),都有f(x)≥1，求实数a; 3)设数列的通项公式为a三$为数列a}的前”项的和，证明」 hn (EN) n+1 第4页共4页·26-G3-08L高三数学答题卡 姓 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交. 选择题 1ABCD可 5A幻B☐GD☐ 9AB☐CD回 2A)B☐C☒D 6AIB☐CD 10囚®C回 3AB© D 7 [A][B [C][D 11 [A][B]C][D 4四回©回 8ABC☒D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第1页共2页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) --- D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第2页共2页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效