湖北新八校2026-2027学年高三上学期8月联考数学试卷

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在长方形中，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. ， B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 11. 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 13. 已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 14. 正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. （1）求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； （2）如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 18. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）对，都有，求实数的取值范围； （3）设数列的通项公式为，为数列的前项的和，证明：（）. 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）因为平面，平面，则， 又因为且，则， 且，且PC、平面，则平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【19题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）首先证明右边不等式： 设，求导得. 所以，即. 当时，令，得. 当时，成立； 当时，. 综合得. 接下来证明左边不等式： 构造函数， 求导得 . 当时，，所以在上单调递增， 因此对任意，有，即. 令，则, 将上述不等式对累加得 即. 综上，原不等式获证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $