2.1-2.4 随机事件的概率（知识解读）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦“随机事件的概率”核心知识点，系统梳理事件类型（必然、不可能、随机事件）、概率定义与计算（古典概型、列表法、树状图）及频率估计概率，构建从概念到方法再到应用的完整知识支架。 资料以6大题型（含例题与变式）为主线，通过几何概率直观图形、综合题统计图表等实例，培养学生抽象能力、推理意识与数据观念。课中辅助教师分层教学，课后随堂检测助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2.1-2.4 随机事件的概率（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·事件类型】 3 【题型 2·可能性大小】 4 【题型 3·几何概率】 6 【题型 4·列表法或树状图求概率】 8 【题型 5·用频率估计概率】 12 【题型 6·概率综合题】 14 【随堂检测】 20 知识点1 事件的类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点2 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【题型 1·事件类型】 【例1】一个口袋内装有大小和形状都相同的1个黄球和1个白球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（     ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定的事件 【答案】B 【分析】根据袋中球的情况判断摸出黄球的可能性，进而确定事件类型． 【详解】解：∵口袋内装有1个黄球和1个白球，从中任意摸出一个球时，摸到黄球和摸到白球都有可能发生， ∴“从中任意摸出一个球，得到黄球”这一事件可能发生，也可能不发生， ∴该事件属于随机事件． 【变式1-1】下列事件中，必然事件是（    ） A．袋中只有5个红球，摸出一个球是白球 B．任意三条线段可以组成一个三角形 C．打开电视机正在播放“屏南新闻” D．明天太阳从东方升起 【答案】D 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断各选项，必然事件是指一定条件下一定发生的事件． 【详解】解：袋中只有5个红球，不可能摸出白球，A是不可能事件，不符合题意； 任意三条线段不一定满足三角形三边关系，不一定能组成三角形，故B是随机事件，不符合题意； 打开电视机播放的内容不确定，播放“屏南新闻”是可能发生也可能不发生的，故C是随机事件，不符合题意； 太阳一定从东方升起，明天太阳从东方升起是一定发生的事件，故D是必然事件，符合题意． 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和概率的意义，逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：∵ 选项A中，买中奖率为的奖券6张，中奖是随机事件，不是必然事件，∴ A错误； ∵ 选项B中，汽车累计行驶，从未出现故障是随机事件，不是不可能事件，∴ B错误； ∵ 选项C中，明天降水概率为，只说明明天降水的可能性较大，不是一定下雨，∴ C错误； ∵ 选项D中，均匀硬币每次抛掷，正面朝上的概率都为，与之前的实验结果无关，∴ D正确． 【变式1-3】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．自然状态下，水会往低处流 B．负数大于正数 C．掷两枚质地均匀的骰子，点数的和为5 D．明天太阳从东方升起 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件的定义，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：A：水往低处流是必然事件，一定发生，不是随机事件； B：负数大于正数是不可能事件，不可能发生，不是随机事件； C：掷两枚骰子，点数和为5可能发生（如1和4）也可能不发生（如6和6），是随机事件； D：太阳从东方升起是必然事件，一定发生，不是随机事件； 故选：C． 【题型 2·可能性大小】 【例2】在，，，，这五个数中，将其中的任意两个数相加，和是偶数的可能性是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两数和为偶数的奇偶性特征，分别计算总情况数与符合条件的情况数，进而求解可能性． 【详解】解：在，，，，中奇数有个，偶数有个， 从个数中任取个数的情况为：、、、、、、、、、， 共有种等可能结果，其中和是偶数有种情况， 因此，和是偶数的可能性为． 【变式2-1】 把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 【答案】 【分析】本题考查了可能性的大小判断，关键在于比较各数字在卡片中出现的次数，次数最多的数字被摸到的可能性最大．由题可知张卡片中，数字出现次，数字出现次，数字出现次，故摸到数字的可能性最大，据此即可解答． 【详解】解：卡片上的数字分别为，，，，，，其中数字出现次，数字出现次，数字出现次，因此数字出现的次数最多，故摸到数字的可能性最大，故答案为：． 【变式2-2】元旦游园晚会上有一个闯关活动：将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，5个黄色，5个绿色，2个红色．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（   ） A．黄色 B．绿色 C．白色 D．红色 【答案】C 【分析】本题考查根据概率判断可能性. 求出概率，进行判断即可． 【详解】解：将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，5个黄色，5个绿色，2个红色， 则摸到球的颜色是白色的概率为； 则摸到球的颜色是黄色的概率为； 则摸到球的颜色是绿色的概率为； 则摸到球的颜色是红色的概率为； 可知摸到球的颜色是白色的概率最大. 故选：C． 【变式2-3】袋子里有只红球，只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出只球，红球的可能性______白球的可能性 ．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】本题考查了事件可能性的大小，熟练掌握事件可能性大小的比较是解题关键． 先求摸出只球是红球或白球的概率，再比较即可求解． 【详解】解：袋子里有只红球，只白球， 摸出只球是红球的概率是，摸出只球是白球的概率是， 摸到红球的可能性大于白球的可能性． 故答案为：大于． 【题型 3·几何概率】 【例3】如图，一块正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，苍蝇随机地落在如图所示的正方形地板上，则落在白色区域的概率为______________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：．用白色区域的面积除以9块正方形地板的面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为3个正方形，白色区域的面积为6个正方形， 故苍蝇落在白色区域的概率为， 故答案为：． 【变式3-1】如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，求出蓝色扇形的圆心角的度数，进而根据概率公式计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵红色扇形的圆心角的度数为， ∴蓝色扇形的圆心角的度数为， ∴转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为， 故答案为：． 【变式3-2】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在白色方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，白色方砖的面积为5，因此白色方砖占整体的， 所以小球最终停留在白色方砖上的概率是， 故答案为：． 【变式3-3】．如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种， 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 【题型 4·列表法或树状图求概率】 【例4】某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票． (1)甲选择检票通道的概率是________； (2)用树状图或列表法求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）画树状图得所有等可能情况，用符合题意的情况数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票． ∴甲选择检票通道的概率是； （2）解：由题意画树状图得， 甲乙两人分别从个检票通道中随机选择一个检票共有种等可能的情况， 其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有种． （甲乙两人选择的通道相同）． 【变式4-1】．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关中的两个，能让发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有2种情况，则能让灯泡发光的概率是． 故选：D． 【变式4-2】“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线如图所示，在四张完全相同的卡片正面上分别画上这四种曲线，并将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． A．三叶玫瑰线    B．笛卡尔叶形线    C．星形线    D．阿基米德螺线 (1)从中任意抽取一张，取出的卡片画的是“星形线”的概率为_________． (2)从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，请用列表法或画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，轴对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用概率公式求解； （2）先找出轴对称图形，再列出表格，分别求出所有可能结果数与符合条件的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线， ∴从中任意抽取一张，取出的卡片画的是“星形线”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据图形可知：“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线中，A、B、C为轴对称图形，D不是轴对称图形， 画树状图如下： 共有12种情况，其中两次都是轴对称的有6种， 所以这两个图案都是轴对称图形的概率． 【变式4-3】“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线如图所示，在四张完全相同的卡片正面上分别画上这四种曲线，并将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． A．三叶玫瑰线    B．笛卡尔叶形线    C．星形线    D．阿基米德螺线 (1)从中任意抽取一张，取出的卡片画的是“星形线”的概率为_________． (2)从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，请用列表法或画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，轴对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用概率公式求解； （2）先找出轴对称图形，再列出表格，分别求出所有可能结果数与符合条件的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线， ∴从中任意抽取一张，取出的卡片画的是“星形线”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据图形可知：“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线中，A、B、C为轴对称图形，D不是轴对称图形， 画树状图如下： 共有12种情况，其中两次都是轴对称的有6种， 所以这两个图案都是轴对称图形的概率． 知识点3 频率估计概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【题型 5·用频率估计概率】 【典例5】在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， 根据概率公式可得 ，， 解得 ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 【变式5-1】下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数 50 100 150 300 400 500 投中次数 33 55 86 183 239 301 投中频率 0.66 0.55 0.57 0.61 0.60 0.60 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是（   ）（结果保留小数点后两位） A．0.55 B．0.60 C．0.61 D．0.66 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据利用频率估计概率的知识，当投篮次数越多时，投中频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为投中概率的估计值． 【详解】解∶∵观察表格数据可知，随着投篮次数不断增大，投中频率逐渐稳定在0.60附近 ∴估计这名球员投篮一次投中的概率约是0.60， 故选∶B． 【变式5-2】如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， 点落在不规则图案上的概率为0.35， 正方形边长为， 估计阴影部分面积约为，故选：C． 【变式5-3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【题型 6·概率综合题】 【例6】根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A分钟以上；B分钟；C分钟；D分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：    (1)接受问卷调查的学生共有_____人，补全条形统计图； (2)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？ (3)学校从“A”层级的3名女生和1名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？ 【答案】(1) 40人，补全条形统计图如下：    (2)225人 (3) 【分析】本题考查了统计与概率的综合应用． （1）先求出“”层级人数占调查人数的百分比，再求出“B”层级的人数，即可补全条形统计图； （2）先求出“A”层级的人数占调查人数的百分比，乘该校学生总数，可估计出相应的人数； （3）根据题意，列出表格，求出所有等可能的结果，再确定恰好抽到1男1女的结果，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）接受问卷调查的学生共有：（人，        “”层级的人数为：（人， 故答案为：40 （2）解：估计“”层级的学生约有：（人； （3）解：根据题意，列出表格得： 女1 女2 女3 男 女1 女2，女1 女3，女1 男，女1 女2 女1，女2 女3，女2 男，女2 女3 女1，女3 女2，女3 男，女3 男 女1，男 女2，男 女3，男 共有12种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有6种情况， 恰好抽到1个男生和1个女生的概率为． 【变式6-1】阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 6 10 8 4 合计 1 (1)表中的_____，_____，_____，并请将频数分布直方图补全； (2)估计该校1350名学生中，每周课余阅读时间不低于2小时的学生大约有多少名？ (3)E组的人中有1名女生和3名男生，该校计划在E组学生中随机选出两人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)12；；40；频数分布直方图如下： (2)该校1350名学生中，每周课余阅读时间不低于2小时的学生大约有135名 (3) 【分析】本题考查了统计图表，中位数，利用样本估计总体以及列表法求概率．从统计图表中准确的获取信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． （1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率可得a，b，c，再将频数分布直方图补全即可； （2）利用样本估计总体，进行求解即可； （3）通过列表，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【详解】（1）解：抽取的学生数为人， 人，； （2）解：由题意得，名． 该校1350名学生中，每周课余阅读时间不低于2小时的学生大约有135名； （3）解：由题意得，列表如下： 女 男1 男2 男3 女 （女，男1） （女，男2） （女，男3） 男1 （男1，女） （男1，男2） （男1，男3） 男2 （男2，女） （男2，男1） （男2，男3） 男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2） 共有12种可能的结果，其中含有“1名男生和1名女生”的结果有6种， 抽到1名男生和1名女生的概率为． 【变式6-2】随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)这次活动共调查了___________人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为___________； (2)将条形统计图补充完整； (3)小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【答案】(1)200， (2) 补图如下： ． (3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，利用圆心角计算公式计算即可． （2）求得样本容量，求得对应的频数，补图即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：200， （2）解：公交卡的人数为：(人)， 现金人数为(人)； （3）解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果， 所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 【变式6-3】我区某校在今年的“数学π节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图1和图2，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请补全条形统计图； (3)在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，解答的关键是能据图分析出存在的数据． （1）结合两个图中的人数与比例，即可求被调查的总人数； （2）结合（1）求出的人数，再补充完整图形即可； （3）作出相应的表格，再分析即可． 【详解】（1）解：被调查的学生共有：（人． 故答案为：200； （2）解：参加数独比赛的人数为：（人， （3）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果有2种， 则． 随堂检测c 【随堂检测】 1．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的求法；根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：根据题意知，骰子有六个面，每面的数据不同，有六种可能，向上一面的点数为偶数结果有3个， 所以向上一面的点数为偶数的概率为， 故选：C． 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．一个三角形三个内角的和小于 C．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 D．在标准大气压下，温度达到，纯水会沸腾 【答案】D 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，需结合各选项事件的性质进行判断． 【详解】解：A选项：抛掷硬币正面向上是随机事件，可能出现反面向上的情况，不是必然事件； B选项，根据三角形内角和定理，三角形内角和为，故三个内角和小于是不可能事件； C选项，现实中马的奔跑速度无法达到70米/秒，该事件是不可能事件； D选项，在标准大气压下，温度达到时纯水一定会沸腾，属于必然事件． 故选：D． 3．不透明的口袋中装有2个黄球、1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，利用概率公式列方程求解的值． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸到蓝球的频率稳定在， ∴摸到蓝球的概率约为， ∵口袋中共有个球，蓝球有个， ∴， 解得：， ∴的值最可能是3， 故选：A． 4．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，以及概率的计算，正确理解轴对称图形的概念以及概率的计算公式是解决本题的关键． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，再由概率公式计算即可． 【详解】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形， 则概率为． 故选：D ． 5．对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（   ）. A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率．熟悉用频率估计概率的一般步骤是解题的关键．根据频率的稳定性，当抽取数量足够大时，频率接近概率．随着抽取数量的增大从表格中观察到频率稳定在，故合格率估计为． 【详解】解：∵当抽取数量足够大时，频率接近概率， ∴抽取条数为和时，合格频率均为，频率稳定，接近概率， ∴ 合格概率估计为， ∴条裤子中合格数量为条． 故选：． 6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 7．随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可．. 【详解】解：∵从四个大模型中随机选取一个，所有等可能的结果共有种，而恰好选中“DeepSeek”模型的结果只有种， ∴恰好选中“DeepSeek”模型的概率：． 8．为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为______． 【答案】/ 【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，得出满足“二人恰好选择同一城市”的结果数，代入概率公式求解即可． 【详解】解：设A西安、B洛阳、C开封、D杭州， 画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中，二人恰好选择同一城市的结果为种， 二人恰好选择同一城市的概率为． 9．一个不透明的袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有_______个． 【答案】30 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再由总球的个数乘以红球的概率即可得出答案，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】解：∵共摸了次球，有次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中的红球大约有（个）， 故答案为：30． 10．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 _______cm2． 【答案】9.6 【分析】本题重点考查利用频率估计概率解决几何图形面积估算问题的能力，理解当试验次数足够大时，频率可作为概率的估计值，并运用概率公式进行计算是解题的关键． 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴点落入黑色部分的概率为0.6， ∵边长为的正方形的面积为， 设黑色部分的面积为， 则， 解得． ∴估计黑色部分的总面积约为． 故答案为：． 11．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：    (1)这次统计共抽查了___________名学生： (2)将条形统计图补充完整； (3)若某校有名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数为________人； (4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、＂”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】(1) (2) 补全条形统计图，如图所示，    (3)（人） (4) 【分析】（1）根据“电话”组的人数，“电话”组的百分比即可求解； （2）根据（1）可求样本总量，由此可算出“短信”组的人数； （3）根据样本中“微信”组的百分比估算总体的情况即可求解； （4）运用列表或画树状图的方法求概率即可求解． 【详解】（1）解：“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为， ∴（人）， 即这次统计共抽查了100人， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人， ∴“短信”组的人数为（人） （3）解：样本中用“微信”沟通的人数为人， ∴（人）， ∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人． （4）解：画树状图为：    共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为， ∴恰好选用同一种沟通方式的概率为． 【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，掌握统计中根据样本百分比计算样本容量的方法，运用样本百分比估算总体的方法，运用列表或树状图求概率的方法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1-2.4 随机事件的概率（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·事件类型】 3 【题型 2·可能性大小】 3 【题型 3·几何概率】 4 【题型 4·列表法或树状图求概率】 5 【题型 5·用频率估计概率】 6 【题型 6·概率综合题】 7 【随堂检测】 10 知识点1 事件的类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点2 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【题型 1·事件类型】 【例1】一个口袋内装有大小和形状都相同的1个黄球和1个白球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（     ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定的事件 【变式1-1】下列事件中，必然事件是（    ） A．袋中只有5个红球，摸出一个球是白球 B．任意三条线段可以组成一个三角形 C．打开电视机正在播放“屏南新闻” D．明天太阳从东方升起 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【变式1-3】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．自然状态下，水会往低处流 B．负数大于正数 C．掷两枚质地均匀的骰子，点数的和为5 D．明天太阳从东方升起 【题型 2·可能性大小】 【例2】在，，，，这五个数中，将其中的任意两个数相加，和是偶数的可能性是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-1】 把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 【变式2-2】元旦游园晚会上有一个闯关活动：将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，5个黄色，5个绿色，2个红色．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（   ） A．黄色 B．绿色 C．白色 D．红色 【变式2-3】袋子里有只红球，只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出只球，红球的可能性______白球的可能性 ．（填“大于”“小于”或“等于”） 【题型 3·几何概率】 【例3】如图，一块正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，苍蝇随机地落在如图所示的正方形地板上，则落在白色区域的概率为______________． 【变式3-1】如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为______． 【变式3-2】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是____． 【变式3-3】．如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【题型 4·列表法或树状图求概率】 【例4】某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票． (1)甲选择检票通道的概率是________； (2)用树状图或列表法求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【变式4-1】．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关中的两个，能让发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线如图所示，在四张完全相同的卡片正面上分别画上这四种曲线，并将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． A．三叶玫瑰线    B．笛卡尔叶形线    C．星形线    D．阿基米德螺线 (1)从中任意抽取一张，取出的卡片画的是“星形线”的概率为_________． (2)从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，请用列表法或画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 【变式4-3】“A．三叶玫瑰线”“B．笛卡尔叶形线”“C．星形线”和“D．阿基米德螺线”四种曲线如图所示，在四张完全相同的卡片正面上分别画上这四种曲线，并将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． A．三叶玫瑰线    B．笛卡尔叶形线    C．星形线    D．阿基米德螺线 (1)从中任意抽取一张，取出的卡片画的是“星形线”的概率为_________． (2)从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，请用列表法或画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 知识点3 频率估计概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【题型 5·用频率估计概率】 【典例5】在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【变式5-1】下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数 50 100 150 300 400 500 投中次数 33 55 86 183 239 301 投中频率 0.66 0.55 0.57 0.61 0.60 0.60 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是（   ）（结果保留小数点后两位） A．0.55 B．0.60 C．0.61 D．0.66 【变式5-2】如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【题型 6·概率综合题】 【例6】根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A分钟以上；B分钟；C分钟；D分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：    (1)接受问卷调查的学生共有_____人，补全条形统计图； (2)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？ (3)学校从“A”层级的3名女生和1名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？ 【变式6-1】阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 6 10 8 4 合计 1 (1)表中的_____，_____，_____，并请将频数分布直方图补全； (2)估计该校1350名学生中，每周课余阅读时间不低于2小时的学生大约有多少名？ (3)E组的人中有1名女生和3名男生，该校计划在E组学生中随机选出两人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【变式6-2】随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)这次活动共调查了___________人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为___________； (2)将条形统计图补充完整； (3)小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【变式6-3】我区某校在今年的“数学π节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图1和图2，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请补全条形统计图； (3)在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 随堂检测c 【随堂检测】 1．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．一个三角形三个内角的和小于 C．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 D．在标准大气压下，温度达到，纯水会沸腾 3．不透明的口袋中装有2个黄球、1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 5．对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（   ）. A．条 B．条 C．条 D．条 6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 7．随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 8．为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为______． 9．一个不透明的袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有_______个． 10．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 _______cm2． 11．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：    (1)这次统计共抽查了___________名学生： (2)将条形统计图补充完整； (3)若某校有名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数为________人； (4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、＂”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $