专题05随机事件的概率精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦随机事件的概率核心知识点，系统梳理事件分类（必然、不可能、随机事件），概率计算方法（等可能事件公式、列表法、树状图法），用频率估计概率及实际应用（公平性判断、总体估算），构建从概念到方法再到应用的完整学习支架。 该资料通过易错点剖析和分层题型设计，培养学生数学眼光（建立随机观念）、数学思维（严谨推理运算）、数学语言（概率解决实际问题）。课中辅助教师精准授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与实践能力。

专题05随机事件的概率精讲学案 课堂核心立意 区分确定性事件与随机事件，掌握概率的两种核心计算方法（公式计算、列举法），学会利用频率估计概率，依托概率做公平性判断与实际决策，建立随机观念，破除主观直觉判断概率的误区，为统计概率综合应用题奠定基础。 一、事件的分类基础概念 1.必然事件 ①定义：在一定条件下，一定会发生的事件； ②概率数值：P=1。 2.不可能事件 ①定义：在一定条件下，一定不会发生的事件； ②概率数值：P=0。 3.随机事件（不确定事件） ①定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件； ②概率取值范围：0<P<1； ③核心特点：单次结果无法预判，大量重复试验呈现稳定规律。 二、等可能事件概率计算公式（古典概型核心） 1.公式：P(A)= 2.使用前提：试验所有结果出现的可能性大小完全相等； 3.解题使用要点：先数清全部均等结果数量，再数符合要求的有利结果数量，直接代入公式约分求值。 三、列举法求概率两大核心方法 1.列表法 ①适用场景：一次试验包含两个操作步骤、两组独立因素（如先后两次摸球、转盘两次转动）； ②操作步骤：横向、纵向分别罗列两组事件全部结果，表格格子为组合结果，统计符合条件格子数量计算概率。 2.树状图法 ①适用场景：试验步骤≥2步、要素较多，列表无法清晰罗列； ②操作步骤：从起点逐级分支画出每一步所有等可能结果，末端全部为完整组合结果，统计有效结果计算概率； ③关键要求：分支必须做到不重复、不遗漏。 四、用频率估计概率（统计概型） 1.核心结论：在相同条件下进行大量重复试验，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率； 2.适用场景：试验结果不满足等可能性，无法用古典概型公式计算（抛图钉、种子发芽、产品抽检）； 3.区分要点：单次或少量试验的频率不能等同于概率，只有试验次数足够大，频率才可近似替代概率。 五、概率的实际应用 1.游戏公平性判断 ①分别算出游戏双方获胜概率； ②双方概率相等则游戏公平，概率不相等则游戏不公平； ③不公平游戏修改方案：调整规则、增减道具数量，使双方获胜概率一致。 2.利用概率估算总体数量 ①公式：总体数量=样本数量÷对应事件概率； ②典型题型：标记重捕法估算池塘鱼的总数、估算容器内小球总个数。 ①混淆必然事件、不可能事件、随机事件，仅凭生活经验主观判定事件类型； ②使用古典概型时，忽略“等可能性”前提，直接套用概率公式计算； ③画树状图、列表时出现结果重复、遗漏，造成分子分母计数错误； ④混淆频率与概率，直接用少量试验的频率当作事件固定概率； ⑤有放回摸球与无放回摸球解题混淆，无放回场景后续总结果数需要递减； ⑥游戏公平性题目只计算概率，没有对比结论直接作答，缺少判定语句失分。 题型 考察方向 难度 题型一 事件的分类 ★ 题型二 判断事件发生的可能性的大小 ★★ 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 ★★★ 题型四 概率的意义理解 ★★ 题型五 判断几个事件概率的大小关系 ★★ 题型六 列举随机实验的所有可能结果 ★★ 题型七 判断实验所得结果是否是等可能的 ★★★ 题型八 根据概率公式计算概率 ★★★ 题型九 根据概率作判断 ★★★ 题型十 已知概率求数量 ★★★ 题型十一 几何概率 ★★★ 题型十二 列举法求概率 ★★★ 题型十三 列表法或树状图法求概率 ★★★★ 题型十四 关于频率与概率关系说法的正误 ★★★ 题型十五 求某事件的频率 ★★ 题型十六 由频率估计概率 ★★★ 题型十七 用频率估计概率的综合应用 ★★★★ 题型十八 概率的综合应用 ★★★★ 题型十九 游戏的公平性 ★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：事件的分类 解题思路： ①区分三类事件：必然事件（一定发生，P=1）；不可能事件（一定不发生，P=0）；随机事件（可能发生也可能不发生，0<P<1）。 ②结合题目给定条件判断，条件改变，事件类型可能改变。 核心提醒：必须紧扣题目条件，不能凭主观想象。 1．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 【答案】D 【分析】结合一年有个月的常识，可直接判断人中至少有人出生月份相同为必然事件，再验证其余选项排除错误答案． 【详解】解：D选项中，一年共有个月份，个人中即使前个人出生月份各不相同，第个人的出生月份必然和其中人重复，因此至少有人的出生月份相同，是必然事件． A选项抛掷硬币正面朝上、B选项电影票座位号为偶数均为随机事件，C选项骰子向上一面点数为是不可能事件，均不符合题意． 2．给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 3．中国古诗词意蕴悠长，从数学的观点看，下列诗句中描述的事件属于不可能事件的是（     ） A．李白《夜宿山寺》中“手可摘星辰” B．杜牧《清明》中“清明时节雨纷纷” C．王安石《登飞来峰》中“闻说鸡鸣见日升” D．杜甫《江南逢李龟年》中“落花时节又逢君” 【答案】A 【分析】本题考查不可能事件的定义，只需根据定义判断各选项描述的事件，选出一定不发生的事件即可. 【详解】不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件. ∵“手可摘星辰”不符合现实规律，一定不会发生，是不可能事件；其余选项描述的事件都可能发生，也可能不发生，属于随机事件， ∴ 答案选A. 题型二：判断事件发生的可能性的大小 解题思路： ①对比有利结果数量占全部结果的占比；有利结果越多，可能性越大。 ②可能性大小只是机会，可能性大≠一定发生；可能性小≠不会发生。 核心提醒：只判断机会大小，不预判单次实际结果。 4．同时投掷两枚均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中不可能发生的事件是（     ） A．点数之和为13 B．点数之和小于3 C．点数之和是3的倍数 D．点数之和为11 【答案】A 【详解】解：∵ 每枚骰子的最大点数为6，同时投掷两枚骰子，最大点数和为 ，最小点数和为 ， ∴ 点数和的取值范围是 ， A、点数和为13，超出取值范围，不可能发生，该选项符合题意； B、点数和为2时小于3，是可能发生的事件，该选项不符合题意； C、例如，是3的倍数，是可能发生的事件，该选项不符合题意； D、例如，点数和为11是可能发生的事件，该选项不符合题意． 5．一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合n为正整数即可求解． 【详解】解：白球数量为，黄球数量为3，红球数量为n， 要使摸出红球的可能性最小，需满足， 又n是正整数， n的值为1或2（答案填写一个即可）． 6．从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【答案】C 【分析】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可． 【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张； B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张； D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张． ∵， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 题型三：改变条件使事件发生的可能性相同 解题思路： ①先求出原来两种事件各自的有利结果数； ②通过增加、减少、替换物品，让两类事件有利结果数量相等； ③改动之后回代验证可能性是否相等。 核心提醒：审题看清：允许增加？还是减少？还是调换？ 7．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 8．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 9．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 题型四：概率的意义理解 解题思路： ①概率刻画的是大量重复试验下事件发生的机会，不是几次试验就一定出现对应结果。 ②例如概率50%，不是做两次就必定出现一次。 核心提醒：概率是理论值，不控制单次、少数几次试验的实际结果。 10．如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【答案】C 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【详解】解：“佛山市明天的降水概率为”，说明当天佛山市下雨的可能性较大． 11．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为___． 【答案】 【分析】随机事件A的概率P(A)＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：设正六边形边长为a， 则灰色部分面积为3×， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为, 所以镖落在白色区域的概率P= =. 故答案为：. 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 12．抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（    ） A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次 B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次 C．连续掷次时，正面朝上一定会出现次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5 【答案】D 【分析】根据概率的意义即可得出答案． 【详解】解：A. 连续掷2次时，正面朝上有可能出现，还有可能不出现，故选项A判断不正确； B. 连续掷100次时，正面朝上不一定会出现50次，故选项B判断不正确； C. 连续掷次时，正面朝上不一定会出现次，故选项C判断不正确； D. 当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5，正确，故选项D符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． 题型五：判断几个事件概率的大小关系 解题思路： ①分别求出每个事件的概率； ②直接比较数值大小：0P1； ③按从大到小或者从小到大排序。 核心提醒：必然事件概率=1最大，不可能事件概率=0最小。 13．有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的概率即可得． 【详解】解：事件是必然事件，则， 事件是随机事件，则， 事件是不可能事件，则， 因此有， 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件的概率，熟记各定义是解题关键． 14．小明抛掷一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面向上，则第10次抛掷这个硬币，反面向上的概率为________. 【答案】 【分析】无论哪次掷硬币，都有两种可能，一正一反，由此求解即可. 【详解】无论哪次掷硬币，都有两种可能，一正一反，所以第10次背面朝上的概率为：. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了求概率的知识，注意概率=所求情况数与总情况数之比. 15．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（    ） A．摸出黑球的可能性最小 B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球 D．摸出红球的可能性最大 【答案】D 【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球， ∴摸出黑球的概率是， 摸出白球的概率是， 摸出红球的概率是， ∵＜＜， ∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大； 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 题型六：列举随机实验的所有可能结果 解题思路： ①按照顺序枚举，做到不重不漏； ②简单试验直接文字列举；两步及以上可以草稿画简易树状图辅助； ③区分有放回、无放回，无放回后面总数变少。 核心提醒：有放回：结果可以重复；无放回：结果不能重复。 16．将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有__________种不同的情况． 【答案】5 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 17．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【答案】9 【分析】根据要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球，再结合题目情境即可得答案． 【详解】解：要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球， ∴第一次摸到3个白球、1个绿球，摸了4个，第5个一定能摸到黑球，第二次先摸到2个黑球和1个绿球，摸了3个，第4个一定能摸到白球， ∴两回一共摸出的球最多为：（个）， ∴两回一共最多摸出9个球． 18．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 题型七：判断实验所得结果是否是等可能的 解题思路： ①看试验中每一个结果出现机会是否完全一样； ②机会不相等，就不满足等可能，不能直接用古典概型公式P(A)= 典型例子：扔图钉，钉尖朝上、朝下不是等可能。 核心提醒：古典概率公式的前提就是等可能性。 19．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 20．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 21．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型八：根据概率公式计算概率 解题思路： ①确认试验满足等可能； ②找出所有等可能总结果数n； ③找出事件A符合条件的有利结果数m； ④代入公式： P(A)=，结果约分。 核心提醒：看清问题问的是什么事件，不要找错有利结果。 22．某班有男生20人，女生25人，每个学生的学号都不相同，老师从这些学号中随机叫一个，所叫到的学生恰好是一个男生的概率是______． 【答案】 【分析】先计算班级总人数，再根据概率计算公式，用男生人数除以总人数得到所求概率． 【详解】解：∵男生有人，女生有人， ∴班级总人数为 人， ∵每个学号被抽到的可能性相等，符合条件的结果数为男生人数， ∴叫到男生学号的概率为． 23．一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【详解】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 24．一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为，则小钢球停止在蓝色区域的概率为_____． 【答案】 【分析】根据几何概率的求法：小钢球停止在蓝色区域的概率为蓝色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：蓝色区域的面积为，总面积为， 则小钢球停止在蓝色区域的概率为． 25．从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形．把“这个三角形是等边三角形”记作事件M，下列判断正确的是（     ） A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为 【答案】A 【详解】解：正方形的四条边长度相等，对角线长度大于边长.从四个顶点中任取三个连成三角形， 任意一个三角形的三边都包含两条正方形的边和一条对角线，三边长度不可能全部相等，即不可能是等边三角形， ∴事件是不可能事件． 题型九：根据概率作判断 解题思路： ①算出对应事件理论概率； ②结合概率数值进行说理判断； ③概率高只是发生机会大，不能绝对化说“一定发生”。 核心提醒：答题表述严谨，不能出现“肯定、一定”这类绝对词语。 26．一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则的最小值为_____． 【答案】4 【详解】解：袋子中白球有个，黄球有个，红球有个，为正整数， 要使摸到红球的概率最大，则红球的数量为袋中最多， ∴， ∵是正整数， ∴的最小值为． 27．向阳中学门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如表所示，小王抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是_____． 内容 时间/秒 日期 5 星期 3 时间 9 天气 4 【答案】时间 【分析】分别计算出看到各内容的概率，比较概率大小，概率最大的即为最大可能看到的内容. 【详解】解：由题意可得，一个滚动周期的总时间为秒； ，，，， ， 看到时间的概率最大，即最大可能看到的内容是时间. 28．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 题型十：已知概率求数量 解题思路： ①设未知的数量为x； ②套用概率公式列出方程：P=； ③解方程，求出数量，结果必须是非负整数。 核心提醒：算出结果要检验，物品个数不能为小数、负数。 29．在一个不透明的口袋中装有16个白球和个黄球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为，则的值是________． 【答案】 【分析】根据口袋中装有16个白球和个黄球，故球的总个数为，再根据黄球的概率公式列式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 30．某中学为提升学生阅读兴趣，在图书馆设置“盲选好书”专区．专区内共有A，B两类书籍，其中A类是文学名著，B类是科普读物．学生随机抽取1本书，抽到A类书的概率为．已知专区内B类书有36本，则该专区内书籍的总数量为（     ） A．60本 B．54本 C．48本 D．30本 【答案】A 【分析】先根据抽到A类书的概率得到抽到B类书的概率，再结合B类书的实际数量计算书籍总数量． 【详解】解：设该专区内书籍总数量为本，依题意得： ，解得． ∴总数量为60本． 31．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【分析】先根据红球个数和摸出红球的概率求出原有总球数，再计算出白球个数，根据摸出两种球概率相等得出红球个数需等于白球个数，结合白球个数不变，即可求出需要放入红球的个数． 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得 ，解得 ， 原有白球个数为 （个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为 （个）． 32．在如图所示的“扫雷”游戏中，与数字“m”相邻的8个空格中隐藏着m个“雷”，若随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据概率公式直接求解即可 【详解】解：∵与数字“m”相邻的8个空格中隐藏着m个“雷”，若随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是， ∴ 题型十一：几何概率 解题思路： P= ①看题型：面积类用面积比；转盘类用圆心角比；线段类用长度比； ②算出两部分度量，再求比值。 核心提醒：几何概率，比的是度量，不是数格子的个数。 33．如图，一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式，指针落在阴影区域的概率等于阴影部分扇形数与总扇形数的比值即可得到所求概率． 【详解】解：∵已知转盘被等分为个相同的扇形，其中阴影区域占份， ∴． 34．如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】地板由16个相同的小正方形组成，沙包随机落在地板上，落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与地板总面积之比，每个阴影三角形的面积恰好为一个小正方形面积，求出阴影面积，再求比值即可求解． 【详解】解：地板由个相同的小正方形组成， 设每个小正方形的面积为，则地板总面积为16， 观察图形，含有阴影三角形的小正方形共4个， 每个阴影三角形的面积为， 阴影部分的总面积， 沙包落在阴影部分的概率． 35．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 题型十二：列举法求概率 解题思路： ①适用于结果总数比较少的试验； ②按顺序全部列举全部等可能结果，数总结果、符合条件结果； ③代入公式算概率。 核心提醒：两步事件注意区分有序、无序，避免计数错误。 36．猜灯谜是从古代流传至今的元宵节特色活动，茂茂从分别写有“猜成语”、“猜汉字”、“猜成语”、“猜汉字”四个外观无差异的灯笼中随机选择两个，则茂茂选择的两个灯谜均是“猜汉字”的概率为___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出两个灯笼均为“猜汉字”的结果数，根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：将四个灯笼分别标记为（猜成语），（猜汉字），（猜成语），（猜汉字） 随机选择两个，所有等可能的结果为：，，，，，，共种等可能的结果，其中所选两个灯谜均是“猜汉字”的结果有种 根据概率公式，可得所求概率为． 37．某校在月日“国际数学节”活动中，数学组举行了“点大比拼”、“玩转数独”和“七巧板创意”三个挑战活动．如果小红随机选择参加其中的两个活动，则她恰好都选到活动“玩转数独”和“七巧板创意”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用枚举法列出所有等可能的选择结果，再找出满足条件的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：记三个活动分别为：(24点大比拼)，(玩转数独)，(七巧板创意)． ∵小红从三个活动中随机选两个，所有等可能的结果为，共种， 其中恰好选到“玩转数独”和“七巧板创意”的结果只有种， ∴所求概率为． 38．2026年5月沈阳市完成了中小学生新款式校服的选定工作，中学春秋季校服有三种款式可供选择，两所学校若从中各随机选择一种款式，则两所学校选择同一种款式的概率为______． 【答案】 【分析】本题利用列举法得到所有等可能的结果，再找出满足两所学校选择同一款式的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设三种款式分别为， 列举所有等可能的结果为：， 共有种等可能的结果，其中两所学校选择同一种款式的结果有种， 根据概率公式计算得：． 39．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟先从两个杯盖中随机拿出一个杯盖，再从两个茶杯中随机拿出一个茶杯，则拿出的茶杯与杯盖颜色相同的概率是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出满足杯盖与茶杯颜色相同的结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯； 用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下： ． 其中颜色搭配正确的结果有和两种， 所以颜色搭配正确的概率是． 题型十三：列表法或树状图法求概率 解题思路： ①列表法：适合两步试验；树状图：两步或者更多步试验； ②画好表格/树状图，把所有等可能结果全部列完整； ③数总结果数n，数符合条件m；P=； ④区分有放回、无放回摸球：无放回，不能出现重复元素。 核心提醒：这是中考高频大题，画图完整，计数不重不漏。 40．不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 【详解】解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 41．天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 42．如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将剩余交叉点分别记为，则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形，再画树状图求解即可． 【详解】解：将剩余交叉点分别记为，如图： 则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形， 画树状图为： 由树状图可知一共有30种等可能性的结果数，其中以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的结果数有4种， ∴以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是． 43．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 题型十四：关于频率与概率关系说法的正误 解题思路： ①概率是理论固定值；频率是试验得到的实际值； ②大量重复试验时，频率稳定在概率附近； ③少量试验，频率和概率差距可以很大；频率≠概率。 核心提醒：“频率就是概率”“做几次试验频率就等于概率”这类说法都是错误。 44．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 【答案】概率 【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 45．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵抛硬币每次正面朝上都是可能事件，连续抛次次正面朝上是可能发生的，∴A错误； ∵频率是试验得到的结果，不同试验的频率不一定相同，是连续抛三次都为正面朝上的概率，不是固定的频率，∴B错误； ∵根据频率估计概率的性质，大量重复试验下，正面朝上的频率会逐渐稳定在其概率，即附近，∴C正确； ∵试验次数更多仅代表频率更可能接近，并非一定更接近，∴D错误． 46．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例． 据此逐一判断选项即可． 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 题型十五：求某事件的频率 解题思路： 公式：频率= ①找到发生次数、总试验次数；代入计算；结果可以小数、分数。 核心提醒：频率由实际试验算出来，是变化的。 47．今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：这串数字 中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为． 48．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 49．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 50．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 题型十六：由频率估计概率 解题思路： ①只有试验次数很大时，用稳定后的频率值当作概率估计值； ②不要拿单次、少数几次的频率当概率。 核心提醒：适用于结果不满足等可能，不能用树状图列表的题目。 51．彭阳红梅杏是宁夏彭阳地理标志特产，生长在高原山地，果子黄底泛红，果肉多汁香甜、果核可食用．它是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类红梅杏的移栽成活情况，得到如图统计图： 由此可估计这种红梅杏树苗移栽成活的概率约为___________（精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率． 由图可知，该类红梅杏的移栽成活情况频率在上下波动，故其成活的概率与频率可认为近似相等，据此即可得出答案． 【详解】解：该类红梅杏的移栽成活情况的频率稳定在， 其成活的概率估计值约为． 52．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】B 【分析】以抽取体检表数较大时的频率稳定值为依据，估计男性患色盲的概率． 【详解】解：当抽取的体检表数时，色盲患者的频率稳定在附近， 因此估计男性患色盲的概率为． 53．某校为了解初中生视力情况，对初一学生的近视情况进行数据统计和分析，抽查人数中近视人数的占比统计如下表，则在该校随机抽取一名初一学生，该学生近视的概率为（     ） 抽查的学生人数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视人数与的比值 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该稳定值就是事件发生的概率． 【详解】解：∵随着抽查学生人数不断增加，近视人数与抽查人数的比值逐渐稳定在附近， ∴根据用频率估计概率的方法，可得随机抽取一名初一学生，该学生近视的概率为． 题型十七：用频率估计概率的综合应用 解题思路： ①大量试验，取稳定的频率作为概率估计； ②利用：发生次数=总次数估计概率；总数=； ③典型：标记重捕估算总数，产品抽检。 核心提醒：是估计值，不是精确准确值。 54．有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（   ） A．2张 B．8张 C．15张 D．18张 【答案】B 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握其定义和概率公式是解题的关键． 频率稳定在，表明抽到红色卡片的概率约为，利用概率公式计算红色卡片数量即可． 【详解】解：抽到红色卡片的频率稳定在， 则抽到红色卡片的概率约为， 因此，红色卡片的数量约为（张）， 故选：B． 55．在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 56．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到0.001），由此估计的近似值为________（精确到0.001）． 【答案】 【分析】根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318， ∴相交的概率为0.318； ∵， ∴， ∴， 解得： 故答案为：①；② 【点睛】题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键． 题型十八：概率的综合应用 解题思路： ①结合方程、几何、统计，先求概率； ②再做判断、估算数量； ③分清是用古典概型（树状/列表），还是用频率估计概率。 核心提醒：先判断属于哪一类模型，再选对应方法。 57．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 58．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 59．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 60．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，掌握概率的含义是解题的关键． 先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在，再用总面积乘以即可求解． 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为， 故答案为：． 题型十九：游戏的公平性 解题思路： ①用列表或树状图，分别算出游戏双方获胜的概率； ②对比两个概率：概率相等，游戏公平；概率不等，游戏不公平； ③如果不公平，按题意写出修改方案，使双方获胜概率相同。 核心提醒：答题必须要有比较、下结论，不能只算出概率就结束。 61．甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断游戏规则是否公平，只需计算甲乙两人获胜的概率，比较概率是否相等即可，概率相等则规则公平，否则不公平． 【详解】解：∵掷一枚均匀骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1，3，5，共3种，点数为偶数的结果有2，4，6，共3种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∵， ∴这个游戏规则对甲乙公平． 62．小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 【详解】解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 63．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 64．桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 【详解】解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 解答题 1．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件． 【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸到的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸到红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸到2个黄球”是随机事件，即可能摸到2个黄球，也可能摸不到2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸到2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸到2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件． 2．一只不透明的袋子中有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． (1)___________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； (2)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：___________； (3)怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 【答案】(1)不能； (2)白球； (3)拿出个黄球和个白球． 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于袋子里有三种不同颜色的球，所以无法事先确定摸到球的颜色； （）可能性大小与球的数量有关，数量越多摸到的可能性越大，据此可判断摸到哪种球的可能性最大； （）要使摸到三种球的概率相等，需三种球的数量相同，在只能拿出球且总数量最小的前提下，调整三种球的数量至相等即可． 【详解】（1）解：∵袋子中有红球、黄球、白球三种不同颜色的球， ∴从中任意摸出个球，事先不能确定摸到的这个球的颜色， 故答案为：不能； （2）解：∵袋子中白球有个，黄球有个，红球有个，， ∴摸到白球的可能性最大， 故答案为：白球； （3）解：要使摸到三种球的概率相等，需三种球的数量相同， ∵现有红球个，黄球个，白球个， ∴黄球比红球多（个），白球比红球多（个）， ∴拿出个黄球和个白球后，三种球的数量均为个， 此时摸到三种球的概率相等且拿出球的总数量为个，是满足条件的最小总数量， 答：拿出个黄球和个白球后摸到这三种球的颜色的球的概率相等． 3．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 【答案】(1)用列表法表示所有等可能的乘车结果如下： 所以小聪从家到博物馆乘车的所有可能结果有16种． (2)小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率为． 【分析】（１）通过树状图或列表法，将从家到中转站的乘车选择与从中转站到博物馆的乘车选择组合起来，直观展示所有可能的乘车结果即可． （2）在（1）中得到的所有可能结果中，找出两路车都是空调车的结果，再根据概率公式计算其概率即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）问可知，因为，是空调车，是空调车， 所以两路车都是空调车的结果有，，共2种． 所以小聪从家到博物馆乘坐的两路车都是空调车的概率为． 4．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 【答案】(1)1个 (2)概率为 【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后利用比例性质求出x即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：设口袋中黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴口袋中黄球的个数为1个； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果数，两次摸出都是红球的有2种结果数， ∴两次摸出都是红球的概率为：． 5．按要求完成下列各题： (1)请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是，落在白色区域的概率是，落在黄色区域的概率是． (2)请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是，落在白色区域的概率是，落在黄色区域的概率是．你能完成这一任务吗？ 【答案】(1)解：将转盘平均分成9等份，4份涂红色，3份涂白色，2份涂黄色，如图， (2)解：不能完成这一任务；理由如下： ∵， ∴不能完成这一任务. 【分析】（1）设计一个转盘将转盘平均分成9等份，4份涂红色，3份涂白色，2份涂黄色，即可完成设计. （2）根据可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 6．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同． (1)若一辆汽车经过这个十字路口，则这辆汽车直行的概率是_____； (2)若两辆汽车经过这个十字路口，用画树状图或列表的方法，求至少一辆车向右转的概率． 【答案】(1) (2)画树状图如下： 由图可以看出，可能出现的结果共有种，并且它们出现的可能性相等，其中至少一辆车向右转的情况有种． ． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用树状图法求出一共有种等可能的结果，其中至少有一辆汽车向右转的结果有种，然后用概率公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有种， 这辆车直行的概率是， 故答案为：； （2）略 7．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 8．李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【答案】(1) (2) ； 【分析】本题考查了画树状图法求概率．熟练掌握利用画树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图表示出所有的可能情况，再根据概率公式进行求解即可； （2）利用概率求获得元奖金的人数，再计算获得元奖金的概率，进而得到获得元奖金的人数，最后用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况， 获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况， 获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）． 故答案为：；． 9．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率和频数的关系求解即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的次数， ∴， ∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的频率为， ∴， （2）解：观察表格中落在“谢谢参与”区域的频率数据：，随着转动次数n的增大，频率数值在附近摆动，并逐渐趋于稳定， ∴当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； （3）解：观察转盘图可知，转盘被平均分成了10等份． 统计各奖项所占的份数： “盲盒”区域有2份． “贴纸”区域有5份． “谢谢参与”区域有3份． ∴获得“盲盒”的概率是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05随机事件的概率精讲学案 课堂核心立意 区分确定性事件与随机事件，掌握概率的两种核心计算方法（公式计算、列举法），学会利用频率估计概率，依托概率做公平性判断与实际决策，建立随机观念，破除主观直觉判断概率的误区，为统计概率综合应用题奠定基础。 一、事件的分类基础概念 1.必然事件 ①定义：在一定条件下，一定会发生的事件； ②概率数值：P=1。 2.不可能事件 ①定义：在一定条件下，一定不会发生的事件； ②概率数值：P=0。 3.随机事件（不确定事件） ①定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件； ②概率取值范围：0<P<1； ③核心特点：单次结果无法预判，大量重复试验呈现稳定规律。 二、等可能事件概率计算公式（古典概型核心） 1.公式：P(A)= 2.使用前提：试验所有结果出现的可能性大小完全相等； 3.解题使用要点：先数清全部均等结果数量，再数符合要求的有利结果数量，直接代入公式约分求值。 三、列举法求概率两大核心方法 1.列表法 ①适用场景：一次试验包含两个操作步骤、两组独立因素（如先后两次摸球、转盘两次转动）； ②操作步骤：横向、纵向分别罗列两组事件全部结果，表格格子为组合结果，统计符合条件格子数量计算概率。 2.树状图法 ①适用场景：试验步骤≥2步、要素较多，列表无法清晰罗列； ②操作步骤：从起点逐级分支画出每一步所有等可能结果，末端全部为完整组合结果，统计有效结果计算概率； ③关键要求：分支必须做到不重复、不遗漏。 四、用频率估计概率（统计概型） 1.核心结论：在相同条件下进行大量重复试验，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率； 2.适用场景：试验结果不满足等可能性，无法用古典概型公式计算（抛图钉、种子发芽、产品抽检）； 3.区分要点：单次或少量试验的频率不能等同于概率，只有试验次数足够大，频率才可近似替代概率。 五、概率的实际应用 1.游戏公平性判断 ①分别算出游戏双方获胜概率； ②双方概率相等则游戏公平，概率不相等则游戏不公平； ③不公平游戏修改方案：调整规则、增减道具数量，使双方获胜概率一致。 2.利用概率估算总体数量 ①公式：总体数量=样本数量÷对应事件概率； ②典型题型：标记重捕法估算池塘鱼的总数、估算容器内小球总个数。 ①混淆必然事件、不可能事件、随机事件，仅凭生活经验主观判定事件类型； ②使用古典概型时，忽略“等可能性”前提，直接套用概率公式计算； ③画树状图、列表时出现结果重复、遗漏，造成分子分母计数错误； ④混淆频率与概率，直接用少量试验的频率当作事件固定概率； ⑤有放回摸球与无放回摸球解题混淆，无放回场景后续总结果数需要递减； ⑥游戏公平性题目只计算概率，没有对比结论直接作答，缺少判定语句失分。 题型 考察方向 难度 题型一 事件的分类 ★ 题型二 判断事件发生的可能性的大小 ★★ 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 ★★★ 题型四 概率的意义理解 ★★ 题型五 判断几个事件概率的大小关系 ★★ 题型六 列举随机实验的所有可能结果 ★★ 题型七 判断实验所得结果是否是等可能的 ★★★ 题型八 根据概率公式计算概率 ★★★ 题型九 根据概率作判断 ★★★ 题型十 已知概率求数量 ★★★ 题型十一 几何概率 ★★★ 题型十二 列举法求概率 ★★★ 题型十三 列表法或树状图法求概率 ★★★★ 题型十四 关于频率与概率关系说法的正误 ★★★ 题型十五 求某事件的频率 ★★ 题型十六 由频率估计概率 ★★★ 题型十七 用频率估计概率的综合应用 ★★★★ 题型十八 概率的综合应用 ★★★★ 题型十九 游戏的公平性 ★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：事件的分类 解题思路： ①区分三类事件：必然事件（一定发生，P=1）；不可能事件（一定不发生，P=0）；随机事件（可能发生也可能不发生，0<P<1）。 ②结合题目给定条件判断，条件改变，事件类型可能改变。 核心提醒：必须紧扣题目条件，不能凭主观想象。 1．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 2．给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 3．中国古诗词意蕴悠长，从数学的观点看，下列诗句中描述的事件属于不可能事件的是（     ） A．李白《夜宿山寺》中“手可摘星辰” B．杜牧《清明》中“清明时节雨纷纷” C．王安石《登飞来峰》中“闻说鸡鸣见日升” D．杜甫《江南逢李龟年》中“落花时节又逢君” 题型二：判断事件发生的可能性的大小 解题思路： ①对比有利结果数量占全部结果的占比；有利结果越多，可能性越大。 ②可能性大小只是机会，可能性大≠一定发生；可能性小≠不会发生。 核心提醒：只判断机会大小，不预判单次实际结果。 4．同时投掷两枚均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中不可能发生的事件是（     ） A．点数之和为13 B．点数之和小于3 C．点数之和是3的倍数 D．点数之和为11 5．一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 6．从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 题型三：改变条件使事件发生的可能性相同 解题思路： ①先求出原来两种事件各自的有利结果数； ②通过增加、减少、替换物品，让两类事件有利结果数量相等； ③改动之后回代验证可能性是否相等。 核心提醒：审题看清：允许增加？还是减少？还是调换？ 7．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 8．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 9．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：概率的意义理解 解题思路： ①概率刻画的是大量重复试验下事件发生的机会，不是几次试验就一定出现对应结果。 ②例如概率50%，不是做两次就必定出现一次。 核心提醒：概率是理论值，不控制单次、少数几次试验的实际结果。 10．如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 11．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为___． 12．抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（    ） A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次 B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次 C．连续掷次时，正面朝上一定会出现次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5 题型五：判断几个事件概率的大小关系 解题思路： ①分别求出每个事件的概率； ②直接比较数值大小：0P1； ③按从大到小或者从小到大排序。 核心提醒：必然事件概率=1最大，不可能事件概率=0最小。 13．有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 14．小明抛掷一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面向上，则第10次抛掷这个硬币，反面向上的概率为________. 15．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（    ） A．摸出黑球的可能性最小 B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球 D．摸出红球的可能性最大 题型六：列举随机实验的所有可能结果 解题思路： ①按照顺序枚举，做到不重不漏； ②简单试验直接文字列举；两步及以上可以草稿画简易树状图辅助； ③区分有放回、无放回，无放回后面总数变少。 核心提醒：有放回：结果可以重复；无放回：结果不能重复。 16．将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有__________种不同的情况． 17．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 18．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 题型七：判断实验所得结果是否是等可能的 解题思路： ①看试验中每一个结果出现机会是否完全一样； ②机会不相等，就不满足等可能，不能直接用古典概型公式P(A)= 典型例子：扔图钉，钉尖朝上、朝下不是等可能。 核心提醒：古典概率公式的前提就是等可能性。 19．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 20．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 21．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型八：根据概率公式计算概率 解题思路： ①确认试验满足等可能； ②找出所有等可能总结果数n； ③找出事件A符合条件的有利结果数m； ④代入公式： P(A)=，结果约分。 核心提醒：看清问题问的是什么事件，不要找错有利结果。 22．某班有男生20人，女生25人，每个学生的学号都不相同，老师从这些学号中随机叫一个，所叫到的学生恰好是一个男生的概率是______． 23．一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 24．一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为，则小钢球停止在蓝色区域的概率为_____． 25．从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形．把“这个三角形是等边三角形”记作事件M，下列判断正确的是（     ） A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为 题型九：根据概率作判断 解题思路： ①算出对应事件理论概率； ②结合概率数值进行说理判断； ③概率高只是发生机会大，不能绝对化说“一定发生”。 核心提醒：答题表述严谨，不能出现“肯定、一定”这类绝对词语。 26．一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则的最小值为_____． 27．向阳中学门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如表所示，小王抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是_____． 内容 时间/秒 日期 5 星期 3 时间 9 天气 4 28．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十：已知概率求数量 解题思路： ①设未知的数量为x； ②套用概率公式列出方程：P=； ③解方程，求出数量，结果必须是非负整数。 核心提醒：算出结果要检验，物品个数不能为小数、负数。 29．在一个不透明的口袋中装有16个白球和个黄球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为，则的值是________． 30．某中学为提升学生阅读兴趣，在图书馆设置“盲选好书”专区．专区内共有A，B两类书籍，其中A类是文学名著，B类是科普读物．学生随机抽取1本书，抽到A类书的概率为．已知专区内B类书有36本，则该专区内书籍的总数量为（     ） A．60本 B．54本 C．48本 D．30本 31．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 32．在如图所示的“扫雷”游戏中，与数字“m”相邻的8个空格中隐藏着m个“雷”，若随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十一：几何概率 解题思路： P= ①看题型：面积类用面积比；转盘类用圆心角比；线段类用长度比； ②算出两部分度量，再求比值。 核心提醒：几何概率，比的是度量，不是数格子的个数。 33．如图，一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是（ ） A． B． C． D． 34．如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 35．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 题型十二：列举法求概率 解题思路： ①适用于结果总数比较少的试验； ②按顺序全部列举全部等可能结果，数总结果、符合条件结果； ③代入公式算概率。 核心提醒：两步事件注意区分有序、无序，避免计数错误。 36．猜灯谜是从古代流传至今的元宵节特色活动，茂茂从分别写有“猜成语”、“猜汉字”、“猜成语”、“猜汉字”四个外观无差异的灯笼中随机选择两个，则茂茂选择的两个灯谜均是“猜汉字”的概率为___________． 37．某校在月日“国际数学节”活动中，数学组举行了“点大比拼”、“玩转数独”和“七巧板创意”三个挑战活动．如果小红随机选择参加其中的两个活动，则她恰好都选到活动“玩转数独”和“七巧板创意”的概率是（     ） A． B． C． D． 38．2026年5月沈阳市完成了中小学生新款式校服的选定工作，中学春秋季校服有三种款式可供选择，两所学校若从中各随机选择一种款式，则两所学校选择同一种款式的概率为______． 39．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟先从两个杯盖中随机拿出一个杯盖，再从两个茶杯中随机拿出一个茶杯，则拿出的茶杯与杯盖颜色相同的概率是（     ） A．1 B． C． D． 题型十三：列表法或树状图法求概率 解题思路： ①列表法：适合两步试验；树状图：两步或者更多步试验； ②画好表格/树状图，把所有等可能结果全部列完整； ③数总结果数n，数符合条件m；P=； ④区分有放回、无放回摸球：无放回，不能出现重复元素。 核心提醒：这是中考高频大题，画图完整，计数不重不漏。 40．不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 41．天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 42．如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 43．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 题型十四：关于频率与概率关系说法的正误 解题思路： ①概率是理论固定值；频率是试验得到的实际值； ②大量重复试验时，频率稳定在概率附近； ③少量试验，频率和概率差距可以很大；频率≠概率。 核心提醒：“频率就是概率”“做几次试验频率就等于概率”这类说法都是错误。 44．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 45．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 46．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 题型十五：求某事件的频率 解题思路： 公式：频率= ①找到发生次数、总试验次数；代入计算；结果可以小数、分数。 核心提醒：频率由实际试验算出来，是变化的。 47．今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 48．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 49．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 50．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 题型十六：由频率估计概率 解题思路： ①只有试验次数很大时，用稳定后的频率值当作概率估计值； ②不要拿单次、少数几次的频率当概率。 核心提醒：适用于结果不满足等可能，不能用树状图列表的题目。 51．彭阳红梅杏是宁夏彭阳地理标志特产，生长在高原山地，果子黄底泛红，果肉多汁香甜、果核可食用．它是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类红梅杏的移栽成活情况，得到如图统计图： 由此可估计这种红梅杏树苗移栽成活的概率约为___________（精确到0.1）． 52．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 53．某校为了解初中生视力情况，对初一学生的近视情况进行数据统计和分析，抽查人数中近视人数的占比统计如下表，则在该校随机抽取一名初一学生，该学生近视的概率为（     ） 抽查的学生人数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视人数与的比值 A． B． C． D． 题型十七：用频率估计概率的综合应用 解题思路： ①大量试验，取稳定的频率作为概率估计； ②利用：发生次数=总次数估计概率；总数=； ③典型：标记重捕估算总数，产品抽检。 核心提醒：是估计值，不是精确准确值。 54．有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（   ） A．2张 B．8张 C．15张 D．18张 55．在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 56．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到0.001），由此估计的近似值为________（精确到0.001）． 题型十八：概率的综合应用 解题思路： ①结合方程、几何、统计，先求概率； ②再做判断、估算数量； ③分清是用古典概型（树状/列表），还是用频率估计概率。 核心提醒：先判断属于哪一类模型，再选对应方法。 57．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 58．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 59．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 60．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 题型十九：游戏的公平性 解题思路： ①用列表或树状图，分别算出游戏双方获胜的概率； ②对比两个概率：概率相等，游戏公平；概率不等，游戏不公平； ③如果不公平，按题意写出修改方案，使双方获胜概率相同。 核心提醒：答题必须要有比较、下结论，不能只算出概率就结束。 61．甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 62．小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 63．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 64．桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 解答题 1．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件． 2．一只不透明的袋子中有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． (1)___________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； (2)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：___________； (3)怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 3．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 4．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 5．按要求完成下列各题： (1)请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是，落在白色区域的概率是，落在黄色区域的概率是． (2)请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是，落在白色区域的概率是，落在黄色区域的概率是．你能完成这一任务吗？ 6．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同． (1)若一辆汽车经过这个十字路口，则这辆汽车直行的概率是_____； (2)若两辆汽车经过这个十字路口，用画树状图或列表的方法，求至少一辆车向右转的概率． 7．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 8．李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 9．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $