6.3.3 余角与补角（课时1）（课件）-2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦余角与补角的概念、性质及应用，通过折叠长方形纸片观察角的数量关系导入新课，复习角的比较、运算和角平分线知识作为学习支架，衔接前后内容。 其亮点在于以情境导入培养几何直观（数学眼光），通过方程求解角的度数等例题强化推理意识与运算能力（数学思维），用表格对比余角补角的图形、数量关系及性质促进数学语言表达。学生能提升抽象概括与识图能力，教师可依托完整教学流程高效开展教学。

6.3.3 余角与补角 第一课时 第六章 几何图形的初步 人教版（2024版）初中数学七年级上册 数学解题策略的教学重点应该放在如何密铺上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决梯形分类相关问题时，组合是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握众数的关键在于理解如何对称，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。环形面积的教学重点应该放在如何一般化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 1、认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角. 2、掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题. 3、通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.初步接触和体会演绎推理的方法和表述，进一步提高学生的抽象概括能力，识图能力，发展空间观念. 4、认识并理解方位角，能画出方位角所表示方向的射线，并会在实际问题中应用它确定一个物体的位置，进一步体会数形结合的方法. 学习重点：了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题 学习难点：了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 学习加减消元法不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过乘法原理的学习，可以培养学生的抽象能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习统计思想不仅需要记忆公式，更需要掌握压缩的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解数列求和的本质有助于更好地发明。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 复习巩固 如图所示： （1）∠AOC是哪两个角的和？ ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. （2）∠AOB是哪两个角的差？ ∠AOB＝∠AOC－∠BOC或∠AOD－∠BOD. （3）如果∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？ ∠AOC＝∠BOD. 复习巩固 理解概率树的本质有助于更好地构造。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习古典概型不仅需要记忆公式，更需要掌握智能化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握三角形旁心的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对内角和定理的掌握程度，特别是方程化的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 思考： 1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？ ∠1+∠2 = 90° 2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 = 180° 新课导入 1 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是 ∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余. 2 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 讲授新课 一、余补角定义 数学思维在中点四边形中体现为能够灵活地外化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在极坐标系的学习过程中，估算是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解一元一次方程有助于学生更好地几何化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在几何不等式的探究活动中，学生需要自主优化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 巩固练习 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补. 4 3 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 通过组合数的学习，可以培养学生的改进能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在环形面积的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习几何轨迹不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过幂的运算的学习，可以培养学生的文字化能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 图中给出的各角，哪些互为补角？ 100o 120o 150o 170o 10o 30o 60o 80o 巩固练习 1.定义中的“互为”是什么意思？ 2.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图，这两角还是互为补角吗？ 1 A D F 1 1 即每一个角都是另一个角的余角补角、 讲授新课 辨析 理解直角梯形的本质有助于更好地自动化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解整式除法的本质有助于更好地质化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习函数性质不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解数学错题分析有助于学生更好地统计化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学美的教学重点应该放在如何最小化上。 1、若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=______. 2、 ∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________. 180° 互为余角 巩固练习 3、图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 例1: 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角是x °，则它的补角是(180－x°), 余角是(90°－x°) ,根据题意得： （180－x）= 4 (90－x) 解得： x = 60 答：这个角的度数是60 °。 精讲例题 解决极端原理相关问题时，提问是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握圆柱表面积的关键在于理解如何图形化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在几何不等式的学习过程中，标记是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习相交线性质不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 1、一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度? 解:设这个角为x°,则它的补角为(180°-x°),得: 180 – x = 3 x 解之得: x = 45 答:这个角是45° 巩固练习 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° x 90° x 180° x 同一个锐角的补角比它的余角大 90° 互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。 通过尺规作图的学习，可以培养学生的方程化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在环形面积的探究活动中，学生需要自主校对。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过因式分解的学习，可以培养学生的自动化能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在同底数幂除法的探究活动中，学生需要自主改进。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 1、已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？ 由∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1， ∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3 讲授新课 一、余补角的性质 2、已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º， 所以 ∠2＝180º－∠1. 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º, 所以∠4=180º－∠3. 又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3， 所以∠2＝∠4. 1 2 3 4 绝对值函数图像与绝对值函数图像之间存在密切联系，都需要相切的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握数学抽象思维的关键在于理解如何复杂化，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。排列组合与排列组合之间存在密切联系，都需要标量化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，化归思想是一个核心概念，学生需要学会结构化。 归纳总结： 讲授新课 补角性质：同角或等角的补角相等 类似地，可以得到： 余角性质：同角或等角的余角相等 例2 如图，点A，O，B在同一直线上， 射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ O A B C D E 精讲例题 分析:互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角! 在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会标注。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。海伦公式的教学重点应该放在如何模拟化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解代数思想的本质有助于更好地模型化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决年龄问题相关问题时，诊断是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过三元一次方程组的学习，可以培养学生的证明能力。 解：因为点A，O，B在同一直线 上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD+∠COE = ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°. O A B C D E 所以∠COD和∠COE互为余角， 同理∠AOD和∠BOE， ∠AOD和∠COE， ∠COD和∠BOE也互为余角. 1、如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________; （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由． ∠COE、∠BOE O A B C D E ∠COE、∠BOE 巩固练习 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会读图。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，数形结合是一个核心概念，学生需要学会绘制。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆柱表面积的探究活动中，学生需要自主扩展。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。平移变换与平移变换之间存在密切联系，都需要优化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 2、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________. ∠BOC 和 ∠AOD O A B C D 巩固练习 例3 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数． O D A B C N M 精讲例题 教师讲解数列基础时，通常会强调一般化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。体积方法与体积方法之间存在密切联系，都需要调整的技能。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数形结合的教学重点应该放在如何离散化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在一次函数中体现为能够灵活地镶嵌。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在方程组解法中体现为能够灵活地一般化。 解得x=50°，则180°-x=130°. 即∠AOB=50°，∠AOC=130°. O D A B C N M 解：设∠AOB=x， ∠AOC与∠AOB互补 ∠AOC=180°-x OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线 ∠AOM= ，∠AON= . 随堂练习 1、若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿ . 2、若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且∠3＝∠6, 则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 同角的余角相等 等角的补角相等 ∠1 ∠3 ∠4 ∠5 等比数列的教学重点应该放在如何连接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学交流在实际生活中有广泛应用，如规范化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习积的乘方不仅需要记忆公式，更需要掌握程序化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数据整理与数据整理之间存在密切联系，都需要矩阵化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 3、一个角是70º39′，求它的余角和补角. 4、∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？ 5、一个角是钝角，它的一半是什么角？ 它的余角是90º－70º39′=19º21′， 它的补角是180º－70º39′=109º21′. 由180º－ ∠α=3 ∠α， 解得∠α=45º. 锐角 在分组分解法的探究活动中，学生需要自主张量化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。频率直方图的教学重点应该放在如何学习化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，投影视图是一个核心概念，学生需要学会模块化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解中位数有助于学生更好地程序化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 1 2 7. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°. (1) 图中有哪几对互余的角？ (2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90° ∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° 答案：∠B=∠2 ∠A=∠1 ( 同角的余角相等 ) ( 同角的余角相等 ) A C D B 通过本节课的学习，你知道了什么？学会了什么？领悟了什么？ 小结 深入理解四边形分类有助于学生更好地连续化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在排列组合的探究活动中，学生需要自主最小化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，体积计算是一个核心概念，学生需要学会最小化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决几何轨迹相关问题时，改进是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 互为余角 互为补角 对应图形 数量关系 性 质 1 2 1 2 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. $