第02讲 反比例函数与一次函数、几何综合及实际应用题复习讲义+重难点专题训练（核心知识+9易错辨析+5典例精讲+课后作业）2026-2027学年九年级数学上册苏科版

本讲义聚焦反比例函数与一次函数综合、几何综合及实际应用核心知识点，系统梳理交点求解与个数判定、函数值大小比较的区间分析方法，几何面积计算的割补与坐标法，以及实际问题中反比例关系建模步骤，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料通过9个易错辨析点精准突破解题误区，5类典例精讲结合江苏各地模考题，以解题口诀和框架强化数学思维中的推理与运算能力，实际应用题建模培养数学语言的模型意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

第02讲 反比例函数与一次函数、几何综合及实际应用题 （核心知识+9易错辨析+5典例精讲+课后作业） 【知识点01】反比例函数与一次函数综合核心考点 1. 交点问题 求解方法：联立一次函数与反比例函数解析式，消元得到一元二次方程，解方程求交点横坐标，再回代求纵坐标。 交点个数：由一元二次方程判别式判定，有2个交点，有1个交点，无交点。 特殊规律：正比例函数与反比例函数相交，两交点关于原点中心对称；同号有两个交点，异号无交点。 2. 函数值大小比较 以两函数交点为分界点，分区间观察图象上下位置：图象在上的函数值更大，需分、、、多区间讨论，不可跨区间笼统比较。 【知识点02】反比例函数几何综合考点 1. 面积计算核心方法 基础模型：定点在双曲线上，利用几何意义直接求矩形、三角形面积； 通用方法：割补法、铅垂高水平宽法，适用于不规则图形、两函数围成的阴影面积； 坐标法：通过交点、定点坐标，结合坐标轴底和高计算面积。 2. 常见几何模型 平行模型：双曲线上两点连线与坐标轴平行的线段性质； 对称模型：利用原点对称、直线对称求点坐标、线段长度； 等面积模型：同一双曲线上任意两点与原点围成的三角形面积可转化为相关计算。 【知识点03】反比例函数实际应用考点 1. 建模场景：路程一定（速度与时间）、压力一定（压强与受力面积）、总价一定（单价与数量）、工程总量一定（工作效率与时间）等乘积为定值的反比例关系。 2. 解题步骤 1.审题：确定两个变量，判断乘积为定值，判定反比例关系； 2.建模：设，代入已知数据求，确定解析式； 3.限定范围：结合实际意义确定自变量取值范围（正数、整数、取值区间）； 4.求解作答：代入计算，检验结果是否符合实际场景。 易错点1：求函数交点漏解、解方程不规范 综合题必考：求一次函数与反比例函数交点坐标。 正确方法：联立方程组，消元解方程。 高频错误：解分式方程不检验、只求出一个解、漏掉一组坐标。 例：求 与 交点 联立：，整理得 解得，对应两个交点（一定要写两组） 避坑：两个函数相交，最多两个交点，不要丢解。 易错点2：函数图像上下位置判断错误（取值范围写反） 题型：已知两函数图像，求 时 的取值范围。 学生最大误区：只看右边图像，忽略左右两个象限的区间。 正确做题步骤： 1. 先求两个交点横坐标； 2. 分区间看图：图像在上的函数值更大； 3. 反比例函数一定要分正负区间分段写，不能合并。 经典错法：把 和 写成一个范围，直接扣分。 易错点3：分不清k、b对图像的影响 综合图像判断题（选择压轴）：同时判断一次函数 和反比例 核心易错：两个函数的 k 是同一个k，符号必须一致！ 一次函数递增 ⇔ ⇔ 反比例必在一、三象限 一次函数递减 ⇔ ⇔ 反比例必在二、四象限 秒杀技巧：先看反比例定k符号，再验证一次函数图像。 易错点4：坐标求面积，符号处理混乱 大题常考：已知双函数交点、动点坐标，求三角形/四边形面积。 易错点：直接用负数坐标代入边长，导致面积为负。 正解思路：边长、高全部取坐标差值的绝对值。 易错点5：存在点P，使三角形面积为定值/为直角三角形/等腰三角形。 学生通病：只算出第一象限点，漏掉二、四象限对称点。 避坑：反比例函数对称点多，做完必须检验多解。 易错点:6：忽略实际问题自变量取值范围 应用题：路程、工程、压强、密度、销售问题多为反比例关系。 致命扣分点：求出解析式不写取值范围。 必写范围：实际问题中 （长度、速度、时间、数量均为正数）。 易错点7：应用题答非所问、单位不统一 1. 审题不清：求“变化范围”做成“求解析式”； 2. 单位不统一（分钟/小时、米/厘米）导致结果错误； 3. 不写答句，大题扣分。 【题型一】反比例函数与几何综合 【例1】．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【变式1】．（24-25九年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，且与y轴平行，连结，过点A作的平行线，分别交y轴和双曲线于C、D两点，若，则（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【变式2】．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为___________．    【变式3】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【题型二】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例3】．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏南京·期末）函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（23-24九年级上·江苏溧阳·期末）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【题型三】一次函数与反比例函数的交点问题 【例4】．（2025·江苏镇江·一模）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【例5】．（24-25九年级·江苏镇江·期末）函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_________． 【例6】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为_________． 【例7】．如图，经过原点的直线与反比例函数的图像交于A，两点点A在第一象限，点，，在反比例函数的图像上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为______． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【变式2】．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__． 【变式3】．（24-25九年级·江苏泰州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【变式4】．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【变式5】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【题型四】实际问题与反比例函数 【例8】．（2025·江苏南京·一模）如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 【例9】．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在特定温度下，某容器充满一定量的气体，容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当越来越大时，也越来越大 B．与的函数表达式为 C．若压强不超过时，则体积最多 D．若压强由减至，则体积增加 【变式2】．（2025·江苏南京·一模）已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为__________精确到 【变式3】．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围． 【题型五】一次函数与反比例函数的实际应用 【例10】．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【例11】．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    【变式1】．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【变式2】．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？ 【变式3】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式4】．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． （一）综合解题核心口诀 交点问题联立方程，判别式定个数；大小比较分区间，图象上下判高低； 几何面积看k值，割补铅垂巧转化；实际建模先判关系，取值范围必落地。 （二）三大专题解题框架 1. 函数综合题：联立解析式→求交点坐标→分区间分析函数性质→解决大小比较、取值范围、最值问题。 2. 几何综合题：找点坐标→活用几何意义→割补/铅垂法算面积→结合对称、平行等几何性质求解。 3. 实际应用题：识别定值乘积关系→建立反比例模型→确定自变量范围→计算验证、规范作答。 一、单选题 1．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 3．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 5．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 7．如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 8．（25-26九年级上·江苏·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 11．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 12．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 13．如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 14．如图，的边交反比例函数（）的图象于点P，且，点A，B，D在坐标轴上，已知的面积为24，则k的值为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以，为边作平行四边形，且，，过点作轴于点， ，分别与反比例函数的图象交于点，若，则________；点D的横坐标为__________． 三、解答题 16．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 17．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 18．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 20．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 21．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点且点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：______，______； (2)求的面积． (3)请观察图象，直接写出不等式的解集______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 反比例函数与一次函数、几何综合及实际应用题 （核心知识+9易错辨析+5典例精讲+课后作业） 【知识点01】反比例函数与一次函数综合核心考点 1. 交点问题 求解方法：联立一次函数与反比例函数解析式，消元得到一元二次方程，解方程求交点横坐标，再回代求纵坐标。 交点个数：由一元二次方程判别式判定，有2个交点，有1个交点，无交点。 特殊规律：正比例函数与反比例函数相交，两交点关于原点中心对称；同号有两个交点，异号无交点。 2. 函数值大小比较 以两函数交点为分界点，分区间观察图象上下位置：图象在上的函数值更大，需分、、、多区间讨论，不可跨区间笼统比较。 【知识点02】反比例函数几何综合考点 1. 面积计算核心方法 基础模型：定点在双曲线上，利用几何意义直接求矩形、三角形面积； 通用方法：割补法、铅垂高水平宽法，适用于不规则图形、两函数围成的阴影面积； 坐标法：通过交点、定点坐标，结合坐标轴底和高计算面积。 2. 常见几何模型 平行模型：双曲线上两点连线与坐标轴平行的线段性质； 对称模型：利用原点对称、直线对称求点坐标、线段长度； 等面积模型：同一双曲线上任意两点与原点围成的三角形面积可转化为相关计算。 【知识点03】反比例函数实际应用考点 1. 建模场景：路程一定（速度与时间）、压力一定（压强与受力面积）、总价一定（单价与数量）、工程总量一定（工作效率与时间）等乘积为定值的反比例关系。 2. 解题步骤 1.审题：确定两个变量，判断乘积为定值，判定反比例关系； 2.建模：设，代入已知数据求，确定解析式； 3.限定范围：结合实际意义确定自变量取值范围（正数、整数、取值区间）； 4.求解作答：代入计算，检验结果是否符合实际场景。 易错点1：求函数交点漏解、解方程不规范 综合题必考：求一次函数与反比例函数交点坐标。 正确方法：联立方程组，消元解方程。 高频错误：解分式方程不检验、只求出一个解、漏掉一组坐标。 例：求 与 交点 联立：，整理得 解得，对应两个交点（一定要写两组） 避坑：两个函数相交，最多两个交点，不要丢解。 易错点2：函数图像上下位置判断错误（取值范围写反） 题型：已知两函数图像，求 时 的取值范围。 学生最大误区：只看右边图像，忽略左右两个象限的区间。 正确做题步骤： 1. 先求两个交点横坐标； 2. 分区间看图：图像在上的函数值更大； 3. 反比例函数一定要分正负区间分段写，不能合并。 经典错法：把 和 写成一个范围，直接扣分。 易错点3：分不清k、b对图像的影响 综合图像判断题（选择压轴）：同时判断一次函数 和反比例 核心易错：两个函数的 k 是同一个k，符号必须一致！ 一次函数递增 ⇔ ⇔ 反比例必在一、三象限 一次函数递减 ⇔ ⇔ 反比例必在二、四象限 秒杀技巧：先看反比例定k符号，再验证一次函数图像。 易错点4：坐标求面积，符号处理混乱 大题常考：已知双函数交点、动点坐标，求三角形/四边形面积。 易错点：直接用负数坐标代入边长，导致面积为负。 正解思路：边长、高全部取坐标差值的绝对值。 易错点5：存在点P，使三角形面积为定值/为直角三角形/等腰三角形。 学生通病：只算出第一象限点，漏掉二、四象限对称点。 避坑：反比例函数对称点多，做完必须检验多解。 易错点:6：忽略实际问题自变量取值范围 应用题：路程、工程、压强、密度、销售问题多为反比例关系。 致命扣分点：求出解析式不写取值范围。 必写范围：实际问题中 （长度、速度、时间、数量均为正数）。 易错点7：应用题答非所问、单位不统一 1. 审题不清：求“变化范围”做成“求解析式”； 2. 单位不统一（分钟/小时、米/厘米）导致结果错误； 3. 不写答句，大题扣分。 【题型一】反比例函数与几何综合 【例1】．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质得到，可知，，进而求出，将代入计算即可． 【详解】解：点的坐标为，绕点逆时针旋转， ∴， ，， 故， 将代入中，得． 【例2】．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【答案】3 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】设，过A作轴于D，证明是等腰直角三角形，得到，，利用已知条件和勾股定理求得，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 【变式1】．（24-25九年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，且与y轴平行，连结，过点A作的平行线，分别交y轴和双曲线于C、D两点，若，则（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由三角形的面积及与坐标轴平行直线上的点的坐标特征得，即可求解． 【详解】解：，点A的坐标为， ， 解得：， 与y轴平行， ，， 解得：， ， ， 解得：； 故选：D． 【变式2】．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为___________．    【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】由，的面积为3，得到的面积为1，则的面积为4，设点坐标为，则，，，，利用得，整理可得，即可得到的值． 【详解】解：连，如图，   ，的面积为3， 的面积为1， 的面积为4， 设点坐标为，则，， 而点为的中点， ， ， ， ， 把代入双曲线， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是关键． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，平行线的判定等知识点，解决此题的关键是理解题意，灵活运用所学知识； （1）先求出点F的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据反比例函数的性质分别表示出点D和点E的坐标，再得到线段之比相等即可得到答案； 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点， ∴点F的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：3，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【题型二】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例3】．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏南京·期末）函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 【变式2】．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 【变式3】．（23-24九年级上·江苏溧阳·期末）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 【题型三】一次函数与反比例函数的交点问题 【例4】．（2025·江苏镇江·一模）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】根据函数与的图象相交于点，得到，求得，得到，从而得到，根据图象的对称性，得另一交点为，利用数形结合思想，确定解集即可． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：由函数与的图象相交于点，得到，解得， 故，故反比例函数的解析式为， 根据图象的对称性，得另一交点为，画图如下： 故不等式的解集为或． 故选：D． 【例5】．（24-25九年级·江苏镇江·期末）函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_________． 【答案】 【知识点】分式的求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【例6】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为_________． 【答案】(1)为，； (2)或。 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、联立函数解析式解方程组以及利用函数图象解不等式的方法是解题的关键． （1）先将点横坐标代入一次函数求，得点坐标后代入反比例函数求，再联立两个函数解析式解方程组求点坐标． （2）观察图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：点在上， ， ， 在上， ， ， 反比例函数表达式为， 联立得， 两边同乘得， ， 或， 当时，， ； （2）解： ，， 观察图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为或． 【例7】．如图，经过原点的直线与反比例函数的图像交于A，两点点A在第一象限，点，，在反比例函数的图像上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】连接，，，由题意得，点A的坐标为，点D的坐标为，根据题意得，，根据，得E，的纵坐标的绝对值相等，根据E，在反比例函数的图像上得E，关于原点对称，点E的坐标为，得E，，共线，根据，即可证明四边形是平行四边形，可得，即，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，连接，，， 由题意A，关于原点对称， ∴点A的坐标为，点D的坐标为， ，的纵坐标的绝对值相等， ∵， ，的纵坐标的绝对值相等， ∵E，在反比例函数的图像上， ，关于原点对称，点E的坐标为， ，，共线， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】把代入与求得函数的解析式，联立方程组求得，设，根据面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：把代入得， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 一次函数解析式为， 一次函数解析式为与轴的交点为， 解得，， ， 设， 的面积为20， ， 或， 或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 【变式3】．（24-25九年级·江苏泰州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； （2）设与轴交于，则， 则； （3）由图可知，时，或. 【变式4】．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 【变式5】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用勾股定理的逆定理求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 【题型四】实际问题与反比例函数 【例8】．（2025·江苏南京·一模）如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 【答案】50 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 【例9】．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】(1)，． (2)空矿泉水瓶的重量为． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． （2）解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在特定温度下，某容器充满一定量的气体，容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当越来越大时，也越来越大 B．与的函数表达式为 C．若压强不超过时，则体积最多 D．若压强由减至，则体积增加 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数的解析式为，再逐项分析即可得出结果，正确求出反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵容器内气体的压强是气体体积的反比例函数， ∴设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为，故B错误； ∵， ∴当越来越大时，越来越小，故A错误； 若压强不超过时，即，解得，故若压强不超过时，则体积至少，故C错误； 当时，，解得， 当时，，解得， 若压强由减至，则体积增加，故D正确； 故选：D． 【变式2】．（2025·江苏南京·一模）已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为__________精确到 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求出关于的函数关系式是解题的关键． 先根据表格数据求出关于的函数关系式，再代入求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， ∴焦距y（单位：米）和度数x（单位：度）之间满足的关系为， 将代入关系式， 得， 故答案为：． 【变式3】．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围． 【答案】(1) (2)每增加相同的数值，的增加量相同 (3) 【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀； （3）求得，由得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即． （2）解：由（1）知，， 则，即， 可得， 每当增加一克，增加， 故杆秤上的刻度线是均匀的，当每增加相同的数值，的增加量是否也相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 【题型五】一次函数与反比例函数的实际应用 【例10】．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【例11】．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    【答案】12 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式1】．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 【变式2】．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？ 【答案】(1)，； (2)张老师最多可以讲14.5分钟． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将代入即可求解．求出点A的坐标，设的表达式为，将，代入求解即可； （2）分别在函数与函数中，令，求出自变量x的值，它们的差即为所求． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为． 将代入得， ∴反比例函数的表达式为． 当时，， ∴， ∴． 设的表达式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式． （2）解：在函数中，当时，． 解得． 在函数中，当时，则， 解得：． ∴． 答：张老师最多可以讲分钟． 【变式3】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 【变式4】．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． （一）综合解题核心口诀 交点问题联立方程，判别式定个数；大小比较分区间，图象上下判高低； 几何面积看k值，割补铅垂巧转化；实际建模先判关系，取值范围必落地。 （二）三大专题解题框架 1. 函数综合题：联立解析式→求交点坐标→分区间分析函数性质→解决大小比较、取值范围、最值问题。 2. 几何综合题：找点坐标→活用几何意义→割补/铅垂法算面积→结合对称、平行等几何性质求解。 3. 实际应用题：识别定值乘积关系→建立反比例模型→确定自变量范围→计算验证、规范作答。 一、单选题 1．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 2．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 3．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 4．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 5．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴D是的中点，故选项B正确，不合题意； ∵ ∴，故选项C正确，不合题意； 在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意． 7．如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 8．（25-26九年级上·江苏·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，，3个为一组依次循环， ， ， 故选：C． 二、填空题 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 【答案】2 【分析】根据题意设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出比例系数，确定函数解析式，再将代入解析式求出的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为． 由图象可知，函数图象经过点． 将代入，得． 解得． 函数关系式为． 当时，． 解得． 11．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 12．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 13．如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的横坐标为，纵坐标为 ，得出第个三角形的面积为，然后分别计算即可；再将代入化简得出，即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，且横坐标依次增加，点横坐标为 点的横坐标为，纵坐标为 第个三角形（即序号为的三角形）的底边长为，高为 第个三角形的面积为 ①的面积为，②的面积为，③的面积为，④的面积为，，⑦的面积为，⑧的面积为 ，， ． 14．如图，的边交反比例函数（）的图象于点P，且，点A，B，D在坐标轴上，已知的面积为24，则k的值为________． 【答案】6 【分析】设，则，结合可得，再根据“的面积为24”列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ，， ， 的面积为24， ， 解得.． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以，为边作平行四边形，且，，过点作轴于点， ，分别与反比例函数的图象交于点，若，则________；点D的横坐标为__________． 【答案】 【分析】过点A作轴于点G，在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，点的坐标为，则．根据题意得到四边形为矩形，，则，，由直线的解析式为，得到直线的解析式为， 联立方程组得，由此即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点A在反比例函数第一象限的图象上， ∴； ∴反比例函数解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，令，即， 解得，即， ∴， ∵，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线为直线向右平移9个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 令， 解得，（舍去），． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，一次函数图形的平移，反比例函数与一次函数联立方程求值等知识的综合运用是解题的关键． 三、解答题 16．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 17．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 18．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据，设直线的解析式为，根据平行线间距离相等得出，结合的面积为求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ， ， 直线的解析式为． 20．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 21．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （）由待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入，得， ； 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， ． 将，代入，得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或； （3）解：设， 由得，当时，， 当时， ， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时，如图： ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点且点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：______，______； (2)求的面积． (3)请观察图象，直接写出不等式的解集______． 【答案】(1)1； (2) (3)或 【分析】（1）把点代入即可求出，再把代入即可求出，即可求解； （2）先求出直线与轴的交点坐标，然后根据割补法求解即可； （3）根据图象即可确定的解集． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴一次函数为， 把代入，得； （2）解：设直线与轴交于点， 当时，， ∴， 由（1）知，， ∴ ； （3）解：根据图象可知，不等式的解集是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $