精品解析：中国科学技术大学2026年新生入学考试数学试题

2026年中国科学技术大学新生入学考数学试题 一、填空题 每空5分 1. 设正整数，并且的进制形式不含数码，这样的共有_________个． 【答案】 【解析】 【分析】先将十进制数化为三进制数为，然后对正整数化为三进制数的数位个数以及首位上的数字进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】因为， 所以， （1）若正整数的三进制形式为位数，则或，则这样的的个数为； （2）若正整数的三进制形式为位数，由于每个数位上的数字为或，这样的的个数为个； （3）若正整数的三进制形式为位数，由于每个数位上的数字为或，这样的的个数为个； （4）若正整数的三进制形式为位数，由于每个数位上的数字为或，这样的的个数为个； （5）若正整数的三进制形式为位数，由于每个数位上的数字为或，这样的的个数为个； （6）若正整数的三进制形式为位数，由于每个数位上的数字为或，这样的的个数为个； （7）若正整数的三进制形式为位数： ①首位为，由于每个数位上的数字为或，这样的的个数为个； ②首位为，第二位数为，则其他数位上的数为或，这样的的个数为个. 综上所述，满足条件的的个数为个. 2. 设多项式，，则方程共有_________个实数解． 【答案】2027 【解析】 【分析】观察递推结构，总结根的数量变化规律，再进一步用归纳法证明得出结论. 【详解】，实数解，1个， ，实数解，2个， ，实数解，3个， 等价于，即，令，，实数解4个， 猜测有个实数根， 当时成立， 或， 或， 而，故或， 对，我们证明的极值在之间， 对成立，若极值，为极值点， 则有或， 若， 若，由归纳假设，， 从而的极值在之间， 因此结合为偶数次多项式，只可能有2个实数根， 从而如果有个实数根有个实数根， 所以由结论可归纳总结出有个实数根， 对成立，有2027个解. 3. 实数的整数部分_________． 【答案】7 【解析】 【分析】先得到，再研究，的整数部分即可. 【详解】根据对数不等式，当时，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，所以. 因为，所以； 因为，所以， 所以. 综上. 所以实数的整数部分为7. 4. 化简和式_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦型函数的最小正周期为，结合诱导公式可求得，据此可求出的值，并计算出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数的最小正周期为， 对任意的， ， 因为， 所以 因为 ， 故. 5. 设函数与的定义域都是．若它们的图像有唯一公共点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将图像交点问题转化为方程解的个数问题，结合函数值域求解参数范围或这里根据抛物线与对数函数的位置关系可求参数的取值范围. 【详解】法1：当时，，此时仅有一个实数解. 当时，为过且开口向上的抛物线， 而也过，故此时需与在处相切， 而，故. 若，则为开口向下的抛物线且经过， 故此时的图像有唯一公共点， 综上，或. 法2： 当时，恒成立，即恒为与图像的公共点； 因为图像有唯一公共点，则当时，与图像无公共点，等价于方程在上无解，即 无解，令， 所以，令，， 再令，，当时，恒成立，所以在上单调递减，且， 当时，，即，单调递增，故，即，在上单调递减； 当时，，即，单调递减，故，即，在上单调递减， 时，，当时，，当时，，因此在上的值域为， 要使无解，则或. 【点睛】本题考查函数与方程的转化，重难点是利用转化思想，数形结合将利用图像公共点个数求参的问题变为方程解个数问题，进一步利用导数研究函数的性质与最值. 6. 设实数，，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先把条件转化为关于的方程，再用柯西不等式把与联系起来，消去变量，得到只含的不等式，最后解二次不等式确定范围. 【详解】设，原条件可化为 . 由基本不等式，对任意实数均有. 将代入得. 若，则，满足； 若，将代入上述不等式. 令，上式可整理为关于的一元二次不等式. 存在实数使此不等式成立，当且仅当该二次函数的判别式且对称轴，. 即，解得. 此时对称轴恒成立. 故取值范围是. 7. 设某圆锥的展开图是半径为1、圆心角为的扇形，当_________时，此圆锥的体积最大． 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆锥侧面展开图弧长与底面周长的关系建立和底面半径的联系，再将圆锥体积表示为关于的函数，通过求函数最值得到对应的值 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，侧面展开图的扇形半径即圆锥母线长， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，得：  ，代入，得，其中，故。 由圆锥母线、底面半径、高的勾股关系得：  ，故， 代入圆锥体积公式得：  ，因，故的最大值等价于的最大值， 令，则，设， ，令，解得（舍去）或， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值，即时圆锥的体积最大， ，即，代入得，满足. 8. 在平面中，设是定点，动点，满足，，则的轨迹所成平面区域的面积=_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将，两边平方，并进行加减消元，可得，即，亦可得，再根据向量数量积的绝对值不等式可得，化简可得，从而得到点的轨迹是圆环，最后通过圆环面积公式可求解. 【详解】， ， 两式相加得：，即， 两式相减得：，即， ，得：，即. 又， 即， 即， 令，则上式可化为：， 即，解得：， 即，又， 所以， 故点的轨迹是圆环（到原点的距离在之间的区域）， 圆环面积，其中，， 因此，圆环面积. 9. 设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据空间几何体的截面性质即可得到答案. 【详解】平面截多面体，截面边数=平面相交到的面的个数,正八面体是两个全等正四棱锥底面对扣， 共8个三角形面，6个顶点,虽然有8个面，但上半4个面汇聚上顶点，下半4个面汇聚下顶点， 不存在一个平面可以同时切割全部8个面，平面最多和其中6个面相交，如图： 因此截面最多是六边形,则的最大值为6. 10. 经竖直向下光线的完全照射，长4、宽3、高2的长方体砖块在水平地面上留下阴影，此阴影面积的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】把投影面积表示为三个方向余弦的线性组合，再用柯西不等式求上界，同时从几何上判断最小投影就是最小的面面积，从而直接得出取值范围. 【详解】长方体三个面的面积分别为. 把底面作为一个平面，设其法向量为，不是一般性，设长方体的一个顶点在平面上， 设该顶点处的三个面的法向量与所成的角为且它们均在中， 由长方体的性质可得，且投影面积为. 由柯西不等式，. 设，其中，则 则 , 当且仅当时等号成立， 故取值范围是. 11. 设随机变量独立同分布，，，则可被3整除的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设表示能被3整除的概率，表示被3除余数为1的概率，表示被3除余数为2的概率，分别表示出之间的关系，先利用消去，再利用下标替换消去，得到的三项递推，最后利用特征方程法即可求解． 【详解】设表示能被3整除的概率，表示被3除余数为1的概率，表示被3除余数为2的概率，则，，， 故， ， 故， 因此， 令，则，特征方程为， 解得，模长，辐角， 因此， 将代入解得， 又当时，，， 故， 所以，即可被3整除的概率为． 二、解答题 每题仅可给0分（全错）、5分（小部分对）、10分（大部分对）、15分（全对）． 12. 证明公式：设，，是的三边长，，则的面积． 【答案】由已知得三角形面积公式是，则， 由余弦定理得，所以， 因为 ， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 【解析】 【分析】利用三角形面积公式两边平方，再由余弦定理把角化为边，利用平方差公式得到，再由，可得证. 【详解】略 13. 设，求函数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式对分式分别约分化简，利用换元法转化为关于的二次函数，确定 的取值范围，求二次函数的值域. 【详解】， 所以 令 ，由，得2 所以 由，已知 ，则 ， 因此，故 ， 令 ，这是开口向下的二次函数，对称轴为 ， 且 ，在时取得最大值，， ，， 所以，所以函数的取值范围是. 14. 某蓄水池恰有一个进水口和一个出水口，进水口在每天的时刻以立方米/小时的瞬时流量向池中进水，（单位：小时）．出水口以立方米/小时的恒定瞬时流量向池外出水，假设池中的水永远不会溢出，也不会干涸（至少有1立方米水），并且没有其他补水或失水方式．求常数和水池容量的最小值． 【答案】,最小值为37 【解析】 【分析】利用每日总进水与总出水相等求出，解方程找到水量增减的分界时刻，确定水量的最大、最小位置，结合水量至少为1的约束，算出水位波动幅度，进而求出水池需要的最小容量． 【详解】因为蓄水池以24小时为一个周期，每日结束时水量回到初始状态， 所以全天总进水量=全天总出水量，进水流量， 总进水量为定积分：， 又，， 总进水量：，总出水量为，因此：，则. 由净流量为进水减出水：，令， 解方程：，则或18，当时，，净流量为正，池中水量增加； 当时，，净流量为负，池中水量减少， 由此可知：时，水量达到一天中的最大值，时，水量达到一天中的最小值， 题中要求池中水量至少有1立方米水，即时水量，从到， 水量从最大值下降到最小值1，下降的水量为， 分段计算：，， 总下降水量：，由此水池容量至少是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中国科学技术大学新生入学考数学试题 一、填空题 每空5分 1. 设正整数，并且的进制形式不含数码，这样的共有_________个． 2. 设多项式，，则方程共有_________个实数解． 3. 实数的整数部分_________． 4. 化简和式_________． 5. 设函数与的定义域都是．若它们的图像有唯一公共点，则实数的取值范围是_________． 6. 设实数，，满足，则的取值范围是_________． 7. 设某圆锥的展开图是半径为1、圆心角为的扇形，当_________时，此圆锥的体积最大． 8. 在平面中，设是定点，动点，满足，，则的轨迹所成平面区域的面积=_________． 9. 设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________． 10. 经竖直向下光线的完全照射，长4、宽3、高2的长方体砖块在水平地面上留下阴影，此阴影面积的取值范围是_________． 11. 设随机变量独立同分布，，，则可被3整除的概率为_________． 二、解答题 每题仅可给0分（全错）、5分（小部分对）、10分（大部分对）、15分（全对）． 12. 证明公式：设，，是的三边长，，则的面积． 13. 设，求函数的取值范围． 14. 某蓄水池恰有一个进水口和一个出水口，进水口在每天的时刻以立方米/小时的瞬时流量向池中进水，（单位：小时）．出水口以立方米/小时的恒定瞬时流量向池外出水，假设池中的水永远不会溢出，也不会干涸（至少有1立方米水），并且没有其他补水或失水方式．求常数和水池容量的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $