安徽省宿城第一中学2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟练习卷（一）

**基本信息** 高三开学考数学模拟卷，通过分层设计考查函数、几何、概率等核心知识，融合数学思维与应用意识，适配开学学情检测与能力诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5|立体几何证明与二面角、椭圆综合、函数新定义|17题以机器人电池使用为情境考查概率期望，体现应用意识；19题“T函数”新定义考查创新思维，符合高考命题趋势|

2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷（一） 一、单选题 1．数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】将数据按升序排列可得5，6，6，7，7，8，8，10，12，12， 因为，所以上四分位数为第8位数10. 2．若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求向量的模，再对模长等式平方，利用数量积公式建立方程，最后解三角方程求夹角. 【详解】因为，所以. 设与的夹角为. 由，可得， 所以，解得. 3．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 4．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（    ） A．4052 B．2027 C．2026 D．1013 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到等比数列两项的乘积，结合等比数列下标和性质化简对数运算. 【详解】由题意得， 因为是函数的两个极值点，所以， 因为是各项均为正数的等比数列，所以， 所以 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 6．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的几何意义，将恒成立条件转化为；通过换元简化函数，借助和差化积公式建立不等式，结合三角函数的性质确定下界；最后验证等号能够成立，求得的最小值. 【详解】函数的值域为， 设，， 则不等式对任意恒成立， 根据绝对值几何意义，的最小值为，故需. 令，，则， 且，需求的最小值. 由和差化积公式可知， 因为，所以， 得，解得（取最小正解），即. 验证最小值：当时，， ，且，满足条件. 故的最小值为. 7．设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义令，解出对应的区间，每一个对应连续项，分段求和：算出到对应的项数与累加和，得到，进而时列不等式，求出m的最大值即可求解. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则.变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为， 所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 则时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时， 设，解得，即最大取. 此时，； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为，则选项A正确. 8．定义，，已知互不相等的正实数，，，，a，b，c，d是，，，的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别列出所有分组情况，计算出对应的值，然后计算对应概率，再计算进行判断即可. 【详解】由题意（无序）可能的情况有分别对应（无序）有， 上述情况对应的分别为. ，. ，，. ，，. 二、多选题 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．复数的共轭复数为 C．复平面内表示复数的点位于第二象限 D．复数z是方程的一个根 【答案】ACD 【分析】利用复数除法法则和模长公式对A作出判断，由共轭复数的定义判断B，由复数的几何意义判断C；代入检验得到D正确. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 由题意得，故B错误： 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C正确； 因为， 所以复数是方程的一个根，故D正确． 10．设a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，该三角形旋转一周形成圆锥，则（    ） A．当时，圆锥的表面积为 B．当时，圆锥的体积为 C．在旋转过程中，当直线与a成角时，与b成角 D．在旋转过程中，当直线与a所成角为最小值时， 【答案】ACD 【分析】首先进行建系转化：利用与、都垂直的条件，建立空间直角坐标系，把几何问题转化为向量坐标问题； 对于A、B选项利用等腰直角三角形的边长关系，求出圆锥的底面半径、高、母线，再代入表面积、体积公式直接计算判断；   对于C选项：用方向向量的夹角公式，结合与的夹角条件，推出参数关系，再验证与的夹角； 对于D选项：先根据线线角的余弦表达式找到最小值的条件，再验证此时与是否垂直. 【详解】根据题意，AC与互相垂直的都垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 设（为等腰直角三角形，为斜边）， 因此，，旋转过程中坐标为，， 得，的方向向量，的方向向量. 对于A，由，得，圆锥底面半径，母线长. 圆锥表面积底面积侧面积，A正确； 对于B，圆锥体积，B错误； 对于C，若与成，则，得，则. 设与夹角为，则，得，C正确； 对于D，与所成角满足，所以， 当取最小值时，由，可得，故得， 此时，，即，D正确. 11．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 三、填空题 12．已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线定义可知，所以或， 当时，则有，所以， 又因为，即，所以， 所以；同理可得当时，. 13．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出的范围，再结合单调性列不等式组求解即可． 【详解】， ， 又函数在区间上单调递减， ， 解得， 即． 14．设是由正整数组成且项数为m的不减数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和在剩下的项中总存在序数不同的两项和使得，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据给定条件，推得当时，或，根据，可推出数列前6项，结合题意，应有，，，…，，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值. 【详解】由数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，得. 又是由正整数组成且项数为的不减数列，则或， 当时，，此时， 这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾， 因此，类似地，必有，，，， 由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合. 要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小， 则，， 同理，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件， 由对称性得最后6项为，， 则的最小值. 四、解答题 15．如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出； （2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，， 又，所以，所以，所以； （2）由（1）知，，又， 则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以， 所以． 17．一电动机器人宇树需放入电池才能启动．现抽屉中备有块规格相同的电池，其中块为一次性电池，另外块为可反复使用的充电电池．每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉． (1)在已知第次取出一次性电池的条件下，求第次取出的是可充电电池的概率； (2)设是离散型随机变量，在给定事件条件下的期望定义为： 其中为的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率．设表示电动机器人宇树前次使用中取出一次性电池的块数，表示前次使用中取出可充电电池的块数，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出，和即可求解. 【详解】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件表示第二次取出时为一次性电池， 则，，所以. （2）由题意，的可能取值为， 则，，， 所以. 18．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）在定直线上. （ii） 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【详解】（1）由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. （2）（i）设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 在定直线上. （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 19．对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 【答案】(1)函数，由，得，则， 当时，，因此恒成立， 即恒成立，所以是的函数； 当时，，取，，， 此时，所以不是的函数. (2) (3)函数与其函数的图象有公共点， 函数与在上的图象公共点横坐标为，且恒成立， 则，令函数，于是恒成立， 且，即为在上的最小值点， 求导得，由，得， 令函数，求导得，则， 由为最小值点，得，则，解得； 假设存在使为非常数无穷等比数列， 设，，若，则数列严格递增， 当（表示的整数部分）时，，与矛盾； 若，则数列严格递减，当时，， 则存在正整数，使得当时，，与矛盾； 若，数列为常数列，与“非常数”矛盾， 所以不存在数列使得为非常数的无穷等比数列. 【分析】（1）使用特值法分析； （2）构造函数，使用导数求解； （3）构造函数通过导数分析函数的单调性与最值，再使用反证法证明. 【详解】（1）(1)函数，由，得，则， 当时，，因此恒成立， 即恒成立，所以是的函数； 当时，，取，，， 此时，所以不是的函数. （2）函数，由是的一个函数， 得，不等式恒成立， 令函数，由，得， 求导得，， 当时，，则恒成立，在上单调递增， 因此恒成立，； 当时，由，，在上单调递减，，因此， 当时，方程的两个实根， 而且对称轴，故， 由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因此，，所以的取值范围是. （3）函数与其函数的图象有公共点， 函数与在上的图象公共点横坐标为，且恒成立， 则，令函数，于是恒成立， 且，即为在上的最小值点， 求导得，由，得， 令函数，求导得，则， 由为最小值点，得，则，解得； 假设存在使为非常数无穷等比数列， 设，，若，则数列严格递增， 当（表示的整数部分）时，，与矛盾； 若，则数列严格递减，当时，， 则存在正整数，使得当时，，与矛盾； 若，数列为常数列，与“非常数”矛盾， 所以不存在数列使得为非常数的无穷等比数列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷（一） 一、单选题 1．数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（    ） A．4052 B．2027 C．2026 D．1013 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 6．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 8．定义，，已知互不相等的正实数，，，，a，b，c，d是，，，的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：，则（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．复数的共轭复数为 C．复平面内表示复数的点位于第二象限 D．复数z是方程的一个根 10．设a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，该三角形旋转一周形成圆锥，则（    ） A．当时，圆锥的表面积为 B．当时，圆锥的体积为 C．在旋转过程中，当直线与a成角时，与b成角 D．在旋转过程中，当直线与a所成角为最小值时， 11．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 三、填空题 12．已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 13．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 14．设是由正整数组成且项数为m的不减数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和在剩下的项中总存在序数不同的两项和使得，则的最小值为________. 四、解答题 15．如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 17．一电动机器人宇树需放入电池才能启动．现抽屉中备有块规格相同的电池，其中块为一次性电池，另外块为可反复使用的充电电池．每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉． (1)在已知第次取出一次性电池的条件下，求第次取出的是可充电电池的概率； (2)设是离散型随机变量，在给定事件条件下的期望定义为： 其中为的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率．设表示电动机器人宇树前次使用中取出一次性电池的块数，表示前次使用中取出可充电电池的块数，求； 18．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19．对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $