课时分层检测(11)数列的综合问题-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

2)由)知a。-5x=100-5x)·(号) 所以，前10个正方衫的面积之和为5m。 a,=(100-5)…( (2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1十a2十 +5x ag十…十an十…， .2032年初资金翻两番。 25×[-()] 即a11=(1000 十5x≥4000， 而Sn= 50× 1 [1- 1立 )] 解得x84.4, .x的最大值是84（万元）. 能力提升练 随着n的无限增大， (分)）将趋近于0,5，将趋近于50. 1.BD[由a6=8a3,可得g3a3=8a3,则q=2, 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 当首项a1<0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误； S-2=9,故B正确： S61-2 课时分层检测（十一） ·基础达标练 假设S,S6,S,成等比数列，可得S号=S,×S3, :1.C[由题可知，Sn=1×2+2×22+3×2十…十n×2”,2Sn=1×22 即(1-2)2=(1-23)(1-2”)不成立，显然S,S6,S,不成等比数： 十2×23+3×24+…十n×2m+1,相减得-Sn=2十22+23+…+2” 列，故C错误； 一n·20+1=22m+1 1-2 n·2m+1=-2十(1-n)·2m+L..Sn=(n 由a}是公比为9的等北教列，可得s=2-2巴-1)·21+2. 1-g 2-1 2an-a1 2.B[·对数函数y=logx的图象过定点(1,0)， .S=2an一a1,故D正确.故选BD.] :.函数y=l0g(x-1)十+3的图象过定，点(2,3)，则a2=2,a=3,故 2.B[依题意a“g=2=m,a%+1=16,an+1lnan=lh16,am+1= 11 1hl614,=m,b。aann+To=1-分+7-3+t In an a-品=bg16=2a,=品2=4，所以n为奇数时a.=2 1 0 0=1立7，故选出] n为偶数时an=4,所以S221=1010×(2十4)十2=6062.故选B.] n(n+1) 3.-子[当n≥2时，{35：两式相减得a1山，=3S,8.A[a,1中2 3 2 {an+入=3Sn-1 n+1 Sm-1)=3an,即an+1=4an,并且数列{an}是等比数列，.公比g=4, :ag=12,a4=3a4=子，当n=2时，a十入=35，=3(a1十ag),解 得= s=4[)+(合)+（号）+…+（月 4.解(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1-号)万元 ,第m年投入为80(-号)厂万元， =4(-）门 n年内的总投入a,=800+80(1-号)+…+80(1-号)】 4.m+3”。1[设等差数列{an}的公差为d,等比数列{h,}的公比为 q,则由b2=3,b3=9,a1=b1, 400-400×(号)”： 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400· 可得g-会=86=a=1 又a11=b1,即1十13d=27,所以d=2, （1+子)万元…，第n年旅游业救入为400(1+子)”万元， 所以数列a十6}的前”项和为n十0。·2十号 2 n年内的旅游业总收入 6=4o0+400(1+寸)十…+400(+号） 5.解(1)选条件① =1600×(）-160. 3 法一当n=1时，a1=S1=之十m: (2)旅游业的总收入超过总投入， 当22时由5一号+m得81-号+md6,=58. 3” 即bn一an>0, 即1600×[(-1)]-400×[-（号）]>0. 3n3-1 2 2=3-1, 化简得5×（号）+2×()-7>0， 因为数列{an}是等比数列， 所以a4=号十m-1,即m=： 设x=(号），代入上式并整理得5-7江十2>0，解北不等式，得 .数列{a,}的通项公式为an=3"-1,n∈N“」 x<号或>1（含去）， 法二当川=1时a1=S=号十m, (侍）<号又nEN:由此可释≥5， 当n=2时，a2=S2-S1= (受+m）(+m)=3, 32 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。 当n=3时，a4=S,-S,= 侵+m）(+m）= 5,解设正方形ABCD的面积为a1,后续各正方形的面积依次为a2, a3,…,an,…,则a1=25, 等比数列{a的公比为g-=3 由于第k十1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以： 当n≥2时an=a2q-2=3X3m2=3m-1, a=十满足a,=31 因此口，}是以25为首项，号为公比的等比数列。 设{an}的前n项和为Sn 十m=1,解得m= 则a1=2 2 25×[-(合)"] 所以a=3-l,n∈N. 选条件② (1)S10 1 法一当n≥2时，由5。=2“+1十m可得S。1=之a,十m,两式相 2 -1 -50×[-(合)"] 25575 减得a,=2a+1一2an,即a+1=3a 512 :数列{an}是等比数列，且a1=1. 171 数列{an}的通项公式为an=1X3”-1 =3"-1,n∈N“, 又当=1时a1=言4十m=含十=1， :T,=a(付)”2+b对n∈N恒成立 好得m=一 a=- 1 6 a=3-1. 创新拓展练 法二当n=1时，a=S=2a2十m, 解(1)因为每一行的数成等差数列， 所以a12aaa11成等差数列， 当n=2时a=S,-S=(分a+m）(分a十m） 所以aH=2a-ae=子 a4=3a2 又每一列的数成等比数列，故a1=a21·9, 等地数列a的公比为q一鲁号=3，且a=1, 期可-=六又a,>0所以g>0,故g=合 a21 ∴an=1×3m-1=3m-1. (2)由已知，第四行的数成等差数列， 所以a=a,十m=十m=1, 53 且公差d=a18一a12=16 1 解得m=一 因为a为此行中第k个数，所以a=ag十（质一2）d=日十(k-2) an=3"1. (2)由(1)可知an=3”-1, ·-=12…m (3)因为第k列的数成等比数列，且a1为此列中第4个数，所以a: 则6，=(a,+1)(a+1十万 2刀一1 =ar=6(2）=.(2）h=1.2,m. (3”-1+1)(3”+1) 设S=an十a22十…十am 1 1 =z(3+3+1)” 则s=+2x(合)'+3x()广++m-0×()）+ 故Tn=b1十b十…十b ×(2）广0 =×(位 0+…+ 1 3-1+13"+1 合s=(合)'+2×（合）广+…+-1×(合)广+× 1 /11 3m-1 =×(23+)43+ 6.解(1)设该等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 根据题意可知6=a1十5d=11, 510a,+45d二10o.解得{，1 由①-@，整理得S=2-”十 {d=2, 所以an三a1十(n-1)d=2n-1, 课时分层检测（十二） 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1. !基础达标练 1 1 1 1 (2)由(1)得an=2n-1,所以bn=(-1)”· am·am+1 1.D[增加项为：2十2十十2十2十…十2共2项] 1 ·2.B[因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n=2k一1正确，再推第(k十1)个正奇 所以T。=4 「 1-方++ 5 + 1 数即n=2k十1正确.] 9 十…十3B[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， (+) 由于n=k时，左边=12十22十…十(k一1)2十k2十(k一1)2十…十29 (-1) +12, n=k十1时，左边=12十22十…十(k-1)2十2+(k十1)2十k2十(k 当m为寺数时，T,=子(1一)）： 1)2+…十22+12， 当n为偶教时，T,=（-1十2m) 比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k十1)2十k”,] 4.AD[由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2002成立，当k取其他值时 所以Tn= 1 !不能确定p(k)是否成立，故选AD.] 4 +(-1)”4(2n+1D 5.42+1·13十3·(425+1十30+2)[当n=k+1时，42+D+1+3+3 能力提升练 =426+1·42+3+2·3 1.解(1)证明设等差数列{an}的公差为d, =42k+1.13+3·(42+1+3+2).] 由a2-b=a3-b3,得a1十d-2b1=a1十2d-4b1,即d=2b1, :6.没有用归纳假设[由证明过程知，在证从=k到n=k十1时，直接 由a2一b2=b1一a1,得a1十d一2b1=8b1一(a1十3d),即a1=!用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错 5b1-2d, 误的.] 将d=2b1代入，得a1=5b1一2×2b1=b,即a1=b1. 格)由的0个4nD%2m1a67.证明（当=2时，左边=1-是右边-装子，片以左 b1·2-1, 边=右边，所以n=2时等式成立. 由bs=an十a1,得b1·2-1=(2m-1)a1十a1, (2)假设n=k(k≥2，k∈N“)时等式成立 由a1=6≠0，得21=2m, 由题知1m500,所以22m1000,所以k=2,3,4,…,10,共91 即()（日）(-)x…×(-)出 个教，即集合{k|bk=am十a1,1≤m≤500}={2,3,4，…，10}中元素！ 的个数为9. 哪么=+1时(-子)(-合)()×…×(1-是) 2.解(1)①当n=1时，由2S1=2a1=1-12得a1=0: ②当n≥2时，2a=2S,-2Sm-1=n-r2-[(n-1)-(n-1)2]=2-2,1 k十2 ·(k+1)2 2(k十1) 则a=1一n(n≥2)，显然当n=1时也适合上式，.a,=1-n(n∈N*). (十1)十1 1 1 2(k+1)1 即n=k十1时等式成立 T2n=(b1+bg十…+b2n-1)+(b十b1+…+b2n) 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N“等式恒成立， =(2+2++2)十[（分子）十（子吉）十…+（分8证明①当n=1时，0<a1<分，显然结论成立 因为当xe(0,分)时，0<fu)6 1 所以0<a=fa)≤< 172班级 姓名 课时分层检测（十一） 4…0 基础达标练0… 1.若数列{an}的通项a,=n·2”,则其前n项 和Sn为 ( A.n·2n+1 B.n·2m+1-2 C.(n-1)·2m+1+2D.n·2n+1+2 2.已知函数y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的 图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列 {an}的第二项与第三项，若bn= 一，数 anan 列{bn}的前n项和为Tn,则T1o= A品 B. C.1 D号 3已知数列a:+，++ 31 6 1 一，那么数列 anan+ {bn}前n项的和为 ( A- C.1- n+1 D 4.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2 =3,b3=9,a1=b1,a14=b4,则数列{am十bn》 的前n项和为 5.已知等比数列{an}的前n项和为Sm,给出条 件：①S,=号+n(m∈R:②S,=71+ 1 m(m∈R),且a1=1.若 ,请在这两 个条件中选一个填入上面的横线上并解答.： 93 得分 数列的综合问题 (1)求m的值及数列{an}的通项公式； an (2)设。a,+ia1十求数列b.} 的前n项和T 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足 a6=11,S10=100. (1)求数列{am}的通项公式； (2)设b,=(-1)””一，求数列{bn}的 an·an十1 前n项和Tn 班级 姓名 得分 能力提升练 …0 创新拓展练。… 1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列， 有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n {bn}是公比为2的等比数列，且a2一b2= a11a12…a2n a3-b3=b4-a4: a21a22…a2n 列的数表)： ,其中每一行的数 (1)证明：a1=b1; (2)求集合{kbs=am十a1,1≤m≤500}中元 anl an2…am 素的个数. 成等差数列，每一列的数成等比数列，并且 所有的公比都相等.已知a24=1,a42=8, 1 a43=16 (1)求公比q; (2)用k表示a4h; (3)求a11十a22十…十am的值. 2.已知数列{a,)的前n项和为Sn,且满足2Sn =n-n2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； f24m(n=2k-1), (2)设bn 2 (k∈ (1-am)(1-am+2 (n=2k) N*),数列{bn〉的前n项和为Tn.若T2m 。1。十b对n∈N*恒成立，求实数 2n+2 a,b的值， 94