课时作业31+等差数列的前n项和公式(第1课时)-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课作业，聚焦等差数列前n项和公式，通过基础运算、性质应用到综合探究的分层设计，强化运算能力与推理意识，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本公式直接应用|选择1-3题考查Sn与a1、d关系，填空10-11题强化基本运算，夯实概念理解| |中档|公式变形与性质应用|选择4-6、8题结合Sn对称性、S奇/S偶等性质，填空12-13题训练公式逆向应用，培养推理意识| |提升|综合应用与拓展|选择7（多选）、9题及解答15-17题，涉及绝对值数列求和等，提升模型构建与问题解决能力|

课时作业31 等差数列的前n项和公式(第1课时) 一、选择题 1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 3．设等差数列{an}的前10项和为20，且a5＝1，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝(　　) A．16 B．20 C．24 D．26 5．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A． B． C． D． 6．在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，则正整数k为(　　) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020 7.(多选题)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于(　　) A．52 B．54 C．56 D．58 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　) A． B． C． D． 二、填空题 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________. 11.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝________. 12.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________. 13.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，＋＋…＋＝________. 14.在等差数列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________. 三、解答题 15.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n. 16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S3＝－6. (1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn. (2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，说明理由． 17.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 课时作业31 等差数列的前n项和公式(第1课时) (答案） 一、选择题 1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：设等差数列{an}的公差为d. ∵∴ ∴a7＝a1＋6d＝13. 故选B. 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 解析:由S2＝a1＋a2＝4及S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20，得a3＋a4＝16，故(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即4d＝12，d＝3. 故选B. 3．设等差数列{an}的前10项和为20，且a5＝1，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设等差数列{an}的公差为d. ∵∴ 故选B. 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝(　　) A．16 B．20 C．24 D．26 解析：设等差数列{an}的公差为d. ∵a1＋a2＋a3＝a4＋a5， ∴3a1＋3d＝2a1＋7d，∴a1＝4d. 又∵S5＝5a1＋10d＝30d＝60， ∴d＝2，∴a1＝8.∴a5＝a1＋4d＝16. 故选A. 5．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A． B． C． D． 解析：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝， 又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝. 故选B. 6．在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，则正整数k为(　　) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020 解析:因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 019. 故选C. 7.(多选题)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 解析：设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10. 故选ACD. 8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于(　　) A．52 B．54 C．56 D．58 解析：∵a3＋a7＋a11＝12，∴a7＝4， ∴S13＝＝13a7＝52. 故选A. 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：设等差数列{an}的公差为d， ∵＝＝，∴a1＝d. ∴＝＝＝. 故选A. 二、填空题 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________. 解析:设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝. 答案: 11.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝________. 解析：由题意知，是等差数列，首项为＝－11， 设公差为d，则－＝2d＝2，∴d＝1， ∴＝－11＋10×1＝－1.∴S11＝－11. 答案:－11　 12.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d， ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 答案:5　 13.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，＋＋…＋＝________. 解析:令n＝1，得＝4，∴a1＝16. 当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1). 与已知式相减，得＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2. ∴an＝4(n＋1)2.又∵n＝1时，a1满足上式， ∴an＝4(n＋1)2(n∈N*). ∴＝4n＋4， ∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n. 答案:4(n＋1)2 ;　2n2＋6n 14.在等差数列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________. 解析：由 得n2－13n＋30＝0， ∴n＝3或n＝10. 又当n＝3时，a1＝2>0； 当n＝10时，a1＝－<0，不合题意，舍去， 故a1＝2，n＝3. 答案:2 ;　3　 三、解答题 15.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n. 解：设等差数列{an}的公差为d， 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得解得 ∴an＝2n＋10. ∴Sn＝＝n2＋11n. 令n2＋11n＝242，解得n＝11或n＝－22(舍去). 16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S3＝－6. (1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn. (2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，说明理由． 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得 ∴an＝4－6(n－1)＝10－6n， Sn＝na1＋d＝7n－3n2. (2).存在．Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6. Sn＋2＝7(n＋2)－3(n＋2)2＝－3n2－5n＋2， 2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4. 若存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列， 则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5， ∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列． 17.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:a1＝S1＝－×12＋×1＝101. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝－3n＋104. ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*). 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34. 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. (1)当n≤34时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn＝－n2＋n； (2)当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2－ ＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $