第9讲 基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，以实数平方性质为起点推导重要不等式，进而引出基本不等式及“一正二定三相等”准则，结合变形公式与“积定和最小、和定积最大”结论，构建从公式推导到应用的完整学习支架。 该资料通过分层例题（含中等、提高、近三年高考及创新题型）、完整公式推导与解题技巧分析，培养学生逻辑推理与数学运算素养。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过变式练习与易错点梳理巩固知识，查漏补缺。

新课标高中数学暑假预习讲义 第9讲 基本不等式 暑假预习讲义【解析】 【内容导航】 1. 学习目标导航（知识目标、能力目标、素养目标） 2. 本节学习重点、学习难点 3. 本节知识框架体系 4. 核心知识要点+完整公式推导+深度教材解读 5. 分层例题精讲（1中等+2提高+2近三年高考+1创新题型） 6. 核心解题方法技巧分析 7. 变式同步练习（提高题型、高考题型 含全解析） 8. 本节核心知识总结与易错点梳理 9. 分层梯度高考题型精练（单选+多选+填空+解答 全答案详解） 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 理解基本不等式的推导过程、几何意义与适用条件，熟记基本不等式核心公式及变形公式。 2. 掌握基本不等式一正、二定、三相等的使用准则，明确易错限制条件。 3. 熟练运用基本不等式求解最值问题（积定和最小、和定积最大）。 4. 掌握凑配法、常数代换法、消元法等常用解题技巧，适配高考基础与综合题型。 二、能力目标 1. 具备辨析基本不等式适用条件的能力，规避等号不成立、变量非正等高频错误。 2. 能独立完成代数式最值求解、不等式证明、实际最值应用问题。 3. 具备复杂式子的配凑变形能力，能转化为基本不等式标准形式解题。 三、素养目标 1. 培养数学运算核心素养，提升代数式变形与最值运算的严谨性。 2. 培养逻辑推理素养，理解公式推导逻辑与解题等价转化思想。 3. 培养数学建模素养，能用基本不等式解决实际生产生活最值问题。 【学习重点】 1. 基本不等式的公式理解、适用条件与核心变形。 2. 利用基本不等式求解代数式的最大值、最小值。 3. “一正、二定、三相等”准则的落地应用与等号条件验证。 【学习难点】 1. 非标准型代数式的配凑变形，构造和定、积定结构。 2. 多变量、分式型、带常数型式子的基本不等式综合应用。 3. 等号取不到时的最值求解（需切换函数单调性解题）。 【知识框架】 实数平方性质重要不等式基本不等式 1. 重要不等式：（当且仅当时取等号） 2. 基本不等式：（当且仅当时取等号） 3. 核心结论：积定和最小、和定积最大 4. 解题体系：条件判断式子配凑最值求解等号验证 5. 高频考法：代数式最值、不等式证明、含参最值、实际应用 【学习过程·核心知识要点+公式推导】 知识点1：重要不等式（全域适用） 公式：对任意实数，有，当且仅当时，等号成立。 公式推导： 由完全平方公式可得： 展开得： 移项整理得： 当且仅当，即时，等号成立。 适用范围：（全体实数，无正负限制） 知识点2：基本不等式（高考核心） 公式：对任意正数，有，当且仅当时，等号成立。 名词定义：称为正数的算术平均数，称为正数的几何平均数。 核心结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 公式推导：已知，令替换重要不等式中的， 可得： 化简得：，两边同时除以， 即得基本不等式：。 知识点3：基本不等式三大使用准则（必考易错点） 一正：参与运算的变量必须为正数，负数不能直接使用基本不等式； 二定：求和的最小值需保证积为定值，求积的最大值需保证和为定值； 三相等：必须验证等号成立条件，若等号无法取到，不能用该公式求最值。 知识点4：两大核心最值结论（高考高频） 1. 积定和最小：若，且（为定值）， 则，当且仅当时，取得最小值。 2. 和定积最大：若，且（为定值）， 则，当且仅当时，取得最大值。 知识点5：常用变形公式（解题必备） 1. 2. ， 3. 【分层例题精讲】 题型1：中等题型——基础定值最值求解 例1：已知，求代数式的最小值。 解析：由题意，满足基本不等式“一正”条件， 根据基本不等式，配凑得： 等号成立条件：（，符合条件）。 结论：当时，的最小值为。 题型2：提高题型——配凑定结构最值问题 例2：已知，求的最小值。 解析：式子无直接定值，需配凑变形，由得， 原式变形： 由基本不等式得： 故. 等号成立条件：（满足）. 结论：的最小值为. 题型3：提高题型——常数代换综合题型 例3：已知，且，求的最小值。 解析：利用常数代换，将式子与定值条件结合： 展开化简： 由，得， 代入得：。 等号条件：，结合，解得。 结论：最小值为。 题型4：近三年高考题型（2025年上海高考真题） 例4：设，则的最小值为_________． 答案：4 分析：灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 解析：易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故的最小值为4. 题型5：近三年高考题型（2025·全国·模拟预测） 例5：（多选）已知，且，则（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 解析：由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确；，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 题型6：创新题型——多条件综合最值辨析 例6：已知，判断下列说法的正误并求解最值：若，则的最小值为。 解析：常数代换变形： 由基本不等式： 故原式，等号可取。 结论：该说法正确，最小值为。 【方法分析·万能解题技巧】 1. 直接套用型：式子为结构，直接用积定和最小求最值。 2. 配凑变形法：式子无定值时，通过加减常数、拆分式子构造和定、积定结构。 3. 常数代换法：已知和为定值，求解分式和最值，核心是“乘1代换”。 4. 换元转化法：复杂根式、分式结构，通过换元简化为标准基本不等式模型。 5. 兜底验证法：优先验证等号条件，等号取不到时，改用函数单调性求解。 【变式练习·含全解析】 一、提高题型变式 变式1：已知，求的最小值。 解析：由得，配凑变形： 故，等号可取. 答案：最小值为. 二、高考题型变式 变式2（高考变式）：已知，，求的最小值。 解析：由变形得：， 答案：最小值为. 【本节知识总结与易错点】 1. 核心公式：，牢记一正、二定、三相等。 2. 两大模型：积定求和最小、和定求积最大，是高考必考基础模型。 3. 高频易错：忽略变量正负、未验证等号条件、不会配凑定值结构。 4. 解题思路：先判条件、再配结构、最后验等号，三步解决所有基础题型。 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假预习讲义 第9讲 基本不等式 暑假预习讲义 【内容导航】 1. 学习目标导航（知识目标、能力目标、素养目标） 2. 本节学习重点、学习难点 3. 本节知识框架体系 4. 核心知识要点+完整公式推导+深度教材解读 5. 分层例题精讲（1中等+2提高+2近三年高考+1创新题型） 6. 核心解题方法技巧分析 7. 变式同步练习（提高题型、高考题型 含全解析） 8. 本节核心知识总结与易错点梳理 9. 分层梯度高考题型精练 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 理解基本不等式的推导过程、几何意义与适用条件，熟记基本不等式核心公式及变形公式。 2. 掌握基本不等式一正、二定、三相等的使用准则，明确易错限制条件。 3. 熟练运用基本不等式求解最值问题（积定和最小、和定积最大）。 4. 掌握凑配法、常数代换法、消元法等常用解题技巧，适配高考基础与综合题型。 二、能力目标 1. 具备辨析基本不等式适用条件的能力，规避等号不成立、变量非正等高频错误。 2. 能独立完成代数式最值求解、不等式证明、实际最值应用问题。 3. 具备复杂式子的配凑变形能力，能转化为基本不等式标准形式解题。 三、素养目标 1. 培养数学运算核心素养，提升代数式变形与最值运算的严谨性。 2. 培养逻辑推理素养，理解公式推导逻辑与解题等价转化思想。 3. 培养数学建模素养，能用基本不等式解决实际生产生活最值问题。 【学习重点】 1. 基本不等式的公式理解、适用条件与核心变形。 2. 利用基本不等式求解代数式的最大值、最小值。 3. “一正、二定、三相等”准则的落地应用与等号条件验证。 【学习难点】 1. 非标准型代数式的配凑变形，构造和定、积定结构。 2. 多变量、分式型、带常数型式子的基本不等式综合应用。 3. 等号取不到时的最值求解（需切换函数单调性解题）。 【知识框架】 实数平方性质重要不等式基本不等式 1. 重要不等式：（当且仅当时取等号） 2. 基本不等式：（当且仅当时取等号） 3. 核心结论：积定和最小、和定积最大 4. 解题体系：条件判断式子配凑最值求解等号验证 5. 高频考法：代数式最值、不等式证明、含参最值、实际应用 【学习过程·核心知识要点+公式推导】 知识点1：重要不等式（全域适用） 公式：对任意实数，有，当且仅当时，等号成立。 公式推导： 由完全平方公式可得： 展开得： 移项整理得： 当且仅当，即时，等号成立。 适用范围：（全体实数，无正负限制） 知识点2：基本不等式（高考核心） 公式：对任意正数，有，当且仅当时，等号成立。 名词定义：称为正数的算术平均数，称为正数的几何平均数。 核心结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 公式推导：已知，令替换重要不等式中的， 可得： 化简得：，两边同时除以， 即得基本不等式：。 知识点3：基本不等式三大使用准则（必考易错点） 一正：参与运算的变量必须为正数，负数不能直接使用基本不等式； 二定：求和的最小值需保证积为定值，求积的最大值需保证和为定值； 三相等：必须验证等号成立条件，若等号无法取到，不能用该公式求最值。 知识点4：两大核心最值结论（高考高频） 1. 积定和最小：若，且（为定值）， 则，当且仅当时，取得最小值。 2. 和定积最大：若，且（为定值）， 则，当且仅当时，取得最大值。 知识点5：常用变形公式（解题必备） 1. 2. ， 3. 【分层例题精讲】 题型1：中等题型——基础定值最值求解 例1：已知，求代数式的最小值。 题型2：提高题型——配凑定结构最值问题 例2：已知，求的最小值。 题型3：提高题型——常数代换综合题型 例3：已知，且，求的最小值。 题型4：近三年高考题型（2025年上海高考真题） 例4：设，则的最小值为_________． 题型5：近三年高考题型（2025·全国·模拟预测） 例5：（多选）已知，且，则（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 题型6：创新题型——多条件综合最值辨析 例6：已知，判断下列说法的正误并求解最值：若，则的最小值为。 【方法分析·万能解题技巧】 1. 直接套用型：式子为结构，直接用积定和最小求最值。 2. 配凑变形法：式子无定值时，通过加减常数、拆分式子构造和定、积定结构。 3. 常数代换法：已知和为定值，求解分式和最值，核心是“乘1代换”。 4. 换元转化法：复杂根式、分式结构，通过换元简化为标准基本不等式模型。 5. 兜底验证法：优先验证等号条件，等号取不到时，改用函数单调性求解。 【变式练习·含全解析】 一、提高题型变式 变式1：已知，求的最小值。 二、高考题型变式 变式2（高考变式）：已知，，求的最小值。 【本节知识总结与易错点】 1. 核心公式：，牢记一正、二定、三相等。 2. 两大模型：积定求和最小、和定求积最大，是高考必考基础模型。 3. 高频易错：忽略变量正负、未验证等号条件、不会配凑定值结构。 4. 解题思路：先判条件、再配结构、最后验等号，三步解决所有基础题型。 学科网（北京）股份有限公司 $