由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学一元二次不等式两大核心问题，系统梳理由解集反求参数（基于方程根与韦达定理）及恒成立问题（需分类讨论二次项系数），通过二次函数性质与方程根的关系构建知识支架。 资料精选多地期末试题为例，以解题步骤规范、易错点警示培养数学思维的逻辑性，变式训练强化知识应用，助力课中教学效率提升，课后学生可自主查漏补缺，发展数学应用意识。

2026年初升高暑假数学 暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题讲义 考点目录 由一元二次不等式的解求参数问题 一元二次不等式恒成立问题 考点一 由一元二次不等式的解求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 已知不等式解集（端点为方程的根，注意 或 的情况及区间开闭），反求不等式中参数。 重要结论： 1. 解集为 ，且 是方程 的两根； 1. 解集为 ，且 是方程两根； 1. 韦达定理（根与系数关系） 若 为方程 两根： 二、解题原理 1. 根据解集形式，先判断二次项系数 的正负； 1. 解集端点就是对应一元二次方程的实数根； 1. 利用韦达定理列出关于参数的方程组； 1. 解方程组求出参数； 1. 回代检验，验证不等式解集是否和题干一致。 三、易错点 1. 不判断 的正负，直接套用韦达定理； 1. 分不清不等号方向与开口方向的对应关系； 1. 解集端点不能随意取舍，端点对应方程的根。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽合肥·期末·多选）不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可. 【详解】因为 解集为 ， 所以，解得， 因为 ，所以 ，，故选项A、B正确； 选项C：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 ， 不等式解集是 ， 选项C错误； 选项D：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 或 ， 不等式的解集为 ， 选项D正确. 故选： ABD. 例2．（25-26高一上·浙江杭州·期末·多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断a的符号，利用韦达定理得到a，b，c的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即可. 【详解】对于A选项：由题意，方程有两根为和2，且，A正确； 由韦达定理，，即. 对于B选项：， 因，故该函数在上单调递增，B错误. 对于C选项：因，且， 故，C正确； 对于D选项：，，则，则，解得，D正确. 故选：ACD 例3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·贵州贵阳·期末·多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据已知有是方程的两个根，且，利用根与系数关系得，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设是方程的两个根，且，A对， 所以，可得，则，C错， 由，B错， 由，可得或，D对. 故选：AD 变式2．（25-26高三上·广东潮州·期末·多选）已知，若不等式的解集为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据解集得出参数判断A，应用对称中心定义判断B，先求出导函数再应用导数及两点求斜率列式计算判断C，先换元再结合一元二次不等式计算判断D. 【详解】A：因为不等式的解集为 即不等式的解集为， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即，所以，故A错误； B：由选项A知， 则，所以， 即的一个对称中心为，故B正确： C：由选项A知，， 设过点的切线方程为，设切点为， 则，得， 整理得，即，解得，此时切点为， 说明过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确； D：令，当时，则，只需. 而，由， 得，即，所以，故D正确. 故选：BCD 变式3．（25-26高一上·贵州黔南·期末·多选）已知二次函数，若的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】对于AB：可知方程的实数根为和3，且，利用韦达定理求；对于C：代入解不等式即可；对于D：根据二次函数单调性分析判断. 【详解】对于选项AB：因为的解集为， 可知方程的实数根为和3，且， 则，解得， 所以，故A正确，B错误； 对于选项C：不等式即为，解得， 所以不等式解集为，故C正确； 对于选项D：因为的图象开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递减，故D错误； 故选：AC. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 【知识点解析】 一、核心知识点 题型： 对 恒成立 ⚠️ 必须分类讨论：二次项系数 （一次型）与 （二次型） （1） 在 上恒成立 （2） 在 上恒成立 （3） 在 上恒成立 （4） 在 上恒成立 补充拓展：给定区间上恒成立（不是全体实数） 不能直接使用判别式，转化为二次函数在闭区间上最值问题： 在区间恒成立 在区间恒成立 二、解题原理 1. 看清条件：是对全体实数恒成立，还是某区间恒成立； 1. 全体实数恒成立：分 和 讨论，列出不等式组； 1. 指定区间恒成立：分析对称轴与区间位置，求区间最值建立不等式； 1. 求解参数范围； 1. 检验边界。 三、高频易错 1. 直接默认是二次函数，漏掉 的讨论； 1. 与 混淆，错误使用 与 ； 1. 把“区间上恒成立”套用全体实数的判别式结论； 1. 和“不等式有解（能成立）”条件相互混淆。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分和两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数的取值范围. 【详解】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以二次函数的图像在轴的下方， 所以，解得， 综上，可得的取值范围是． 故答案为： 例2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 例3．（25-26高二下·江苏常州·期中）设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为的两根分别为，利用韦达定理即可； （2）利用韦达定理得出，，再结合一元二次函数的性质求参即可. 【详解】（1）时，的解集为， 则的两根分别为， 故，，得. （2）因为的两根分别为， 所以，，得，，则， 因为当时，恒成立， 所以对恒成立， 则且，得， 故的取值范围为. 例4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东茂名·期末）若，关于x的不等式恒成立，则a=________. 【答案】 【分析】不等式恒成立，即恒成立，由于，故 恒成立，设；，则得到和有相同的正零点求出零点代入即可求解. 【详解】不等式恒成立，即恒成立，由于，故 恒成立， 设，（一次式）；（二次式，开口向上）， 令，则有两个零点，设为 且， 所以一正一负，假设， 则在时，，在时，， 要使对所有恒成立， 必须让和有相同的正零点（否则会出现区间内乘积为负的情况） 当时，，在时，不满足题意， 当时，在区间内，在时不满足， 令，得， 该零点同时满足，即把代入：， 化简整理得：解得：或 因为，所以舍去， 综上，. 故答案为. 变式2．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，写出命题的否定，然后分和两种情况讨论求解. 【详解】因为“，”为假命题，所以其否定“，”是真命题， 当时，不等式变为，解得，这与矛盾，所以. 当时，要使，恒成立， 则得. 故答案为： 变式3．（25-26高一上·天津·期末）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (3) 【分析】（1）当时，不等式可化为，即，求解可得； （2）根据方程的解的情况，讨论的取值范围，根据不等式的特征求解即可； （3）根据二次不等式恒成立的条件求解可得. 【详解】（1）当时，由，可得，即， 解得. 所以当时，不等式的解集为. （2）由，得. 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的取值范围为． 变式4．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年初升高暑假数学 暑假预习：由一元二次不等式的解求参数问题、一元二次不等式恒成立问题讲义 考点目录 由一元二次不等式的解求参数问题 一元二次不等式恒成立问题 考点一 由一元二次不等式的解求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 已知不等式解集（端点为方程的根，注意 或 的情况及区间开闭），反求不等式中参数。 重要结论： 1. 解集为 ，且 是方程 的两根； 1. 解集为 ，且 是方程两根； 1. 韦达定理（根与系数关系） 若 为方程 两根： 二、解题原理 1. 根据解集形式，先判断二次项系数 的正负； 1. 解集端点就是对应一元二次方程的实数根； 1. 利用韦达定理列出关于参数的方程组； 1. 解方程组求出参数； 1. 回代检验，验证不等式解集是否和题干一致。 三、易错点 1. 不判断 的正负，直接套用韦达定理； 1. 分不清不等号方向与开口方向的对应关系； 1. 解集端点不能随意取舍，端点对应方程的根。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽合肥·期末·多选）不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 例2．（25-26高一上·浙江杭州·期末·多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 例3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·贵州贵阳·期末·多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 变式2．（25-26高三上·广东潮州·期末·多选）已知，若不等式的解集为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 变式3．（25-26高一上·贵州黔南·期末·多选）已知二次函数，若的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．在上单调递增 考点二 一元二次不等式恒成立问题 【知识点解析】 一、核心知识点 题型： 对 恒成立 ⚠️ 必须分类讨论：二次项系数 （一次型）与 （二次型） （1） 在 上恒成立 （2） 在 上恒成立 （3） 在 上恒成立 （4） 在 上恒成立 补充拓展：给定区间上恒成立（不是全体实数） 不能直接使用判别式，转化为二次函数在闭区间上最值问题： 在区间恒成立 在区间恒成立 二、解题原理 1. 看清条件：是对全体实数恒成立，还是某区间恒成立； 1. 全体实数恒成立：分 和 讨论，列出不等式组； 1. 指定区间恒成立：分析对称轴与区间位置，求区间最值建立不等式； 1. 求解参数范围； 1. 检验边界。 三、高频易错 1. 直接默认是二次函数，漏掉 的讨论； 1. 与 混淆，错误使用 与 ； 1. 把“区间上恒成立”套用全体实数的判别式结论； 1. 和“不等式有解（能成立）”条件相互混淆。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 例2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 例3．（25-26高二下·江苏常州·期中）设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 例4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东茂名·期末）若，关于x的不等式恒成立，则a=________. 变式2．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 变式3．（25-26高一上·天津·期末）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 变式4．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $