第08讲 基本不等式（4大知识点+10大题型）讲义-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第08讲 基本不等式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：基本不等式 3 知识点二：基本不等式的证明 3 知识点三：基本不等式的几何意义 4 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 5 03 题型精讲举一反三 6 题型1：基本不等式理解与大小比较 6 题型2：基本不等式证明不等式 7 题型3：直接法求最值 7 题型4：凑配法求最值 7 题型5：消参法求最值 8 题型6：换元法求最值 8 题型7：1 的代换求最值 9 题型8：条件等式求最值 10 题型9：基本不等式恒成立问题 10 题型10：基本不等式实际应用 11 04 过关测试 13 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型1：基本不等式理解与大小比较 例1．（2026·高一·全国·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 例2．（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 例3．（2026·高一·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 题型2：基本不等式证明不等式 题型3：直接法求最值 例4．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 例6．（2026·高一·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 变式3．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 变式4．（2026·高一·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 题型4：凑配法求最值 例7．（2026·高一·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例8．（2026·高一·广西河池·期末）若，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 例9．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B．6 C．7 D．5 变式5．（2026·高一·云南楚雄·阶段检测）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 变式6．（2026·高一·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型5：消参法求最值 例10．（2026·高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 例11．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 例12．（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 变式7．（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 变式8．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 变式9．（2026·高一·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 题型6：换元法求最值 例13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 例14．已知实数，满足，则的最大值为_____. 例15．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 变式10．（2026·高一·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 变式11．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 题型7：1 的代换求最值 例16．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 例17．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 例18．（2026·高一·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式12．（2026·高一·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高一·山东潍坊·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高一·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 变式15．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 题型8：条件等式求最值 例19．（2026·高一·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 例20．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 例21．（2026·高一·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 变式16．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 题型9：基本不等式恒成立问题 例22．（2026·高一·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 例23．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 例24．（2026·高一·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 变式18．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 变式19．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式20．（2026·高一·辽宁大连·期中）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 变式21．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10：基本不等式实际应用 例25．（2026·高一·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    例26．（2026·高一·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 例27．（2026·高一·重庆·阶段检测）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 变式22．（2026·高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 1．（2026·高一·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 4．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 5．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 6．（2026·高一·湖南衡阳·期末）如图所示，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/．设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 8．（2026·高一·河南开封·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 9．（2026·高一·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．（2026·高一·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 11．（2026·高一·浙江·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 12．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 13．（多选题）（2026·全国·模拟预测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2026·高一·浙江金华·阶段检测）设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 15．（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 16．已知，且，则的最小值为_____________． 17．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 18．当时，则的最小值是______. 19．（2026·高一·新疆·期末）对任意实数，.求证： 20．（2026·高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 21．（2026·高一·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 22．（2026·高一·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 23．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）解答下列各题： (1)比较与的大小； (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； 24．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 25．（2026·高一·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 26．（2026·高一·云南曲靖·期末）（1）已知，若，求证：； （2）若，且，求的最小值． 27．（2026·高一·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 基本不等式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：基本不等式 3 知识点二：基本不等式的证明 3 知识点三：基本不等式的几何意义 4 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 5 03 题型精讲举一反三 6 题型1：基本不等式理解与大小比较 6 题型2：基本不等式证明不等式 8 题型3：直接法求最值 8 题型4：凑配法求最值 10 题型5：消参法求最值 11 题型6：换元法求最值 14 题型7：1 的代换求最值 16 题型8：条件等式求最值 18 题型9：基本不等式恒成立问题 22 题型10：基本不等式实际应用 25 04 过关测试 29 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型1：基本不等式理解与大小比较 例1．（2026·高一·全国·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 例2．（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 例3．（2026·高一·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 变式1．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知， 显然，故D正确. 故选：D 变式2．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【解析】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 题型2：基本不等式证明不等式 题型3：直接法求最值 例4．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 例5．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 例6．（2026·高一·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 变式3．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 变式4．（2026·高一·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 【答案】C 【解析】由，得同号，且， 则，即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为20. 故选：C 题型4：凑配法求最值 例7．（2026·高一·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 例8．（2026·高一·广西河池·期末）若，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值是4. 故选：C 例9．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B．6 C．7 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 变式5．（2026·高一·云南楚雄·阶段检测）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【解析】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 变式6．（2026·高一·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 题型5：消参法求最值 例10．（2026·高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 例11．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 例12．（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 变式7．（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 变式8．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【解析】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 变式9．（2026·高一·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 题型6：换元法求最值 例13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【解析】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 例14．已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 例15．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由，x，y均为正实数，可得，解得， 因， 则，设，则，且， 则， 因，当且仅当时等号成立， 故，即当时，的最小值为. 故答案为：. 变式10．（2026·高一·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【解析】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 变式11．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【解析】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 题型7：1 的代换求最值 例16．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 例17．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 例18．（2026·高一·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 变式12．（2026·高一·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 故选：A 变式13．（2026·高一·山东潍坊·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，，所以 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时的最小值为. 故选：B 变式14．（2026·高一·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 变式15．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D 题型8：条件等式求最值 例19．（2026·高一·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 例20．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【解析】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 例21．（2026·高一·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 变式16．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 变式17．（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 题型9：基本不等式恒成立问题 例22．（2026·高一·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 例23．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解析】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 例24．（2026·高一·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【解析】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 变式18．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 变式19．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 变式20．（2026·高一·辽宁大连·期中）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解析】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B 变式21．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 题型10：基本不等式实际应用 例25．（2026·高一·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【解析】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 例26．（2026·高一·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 例27．（2026·高一·重庆·阶段检测）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【答案】 【解析】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 变式22．（2026·高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 1．（2026·高一·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 3．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 【答案】B 【解析】设长方体底面的长为，宽为，其中. 由容器容积为、高为，可得底面积. 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为元，因此总造价为： 代入得. 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 因此，代入总造价公式得： ， 当且仅当时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 4．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【解析】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 5．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【解析】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 6．（2026·高一·湖南衡阳·期末）如图所示，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/．设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 因为两个相同的矩形和构成的面积为， 可得，解得， 又因为，可得， 则 元， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，S取得最小值，且元． 7．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】由基本不等式得： ， 当且仅当时取等号， 则的最小值是. 8．（2026·高一·河南开封·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为，当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为． 9．（2026·高一·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 10．（2026·高一·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 11．（2026·高一·浙江·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 12．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 13．（多选题）（2026·全国·模拟预测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】已知，， 由于均为正数，和也都大于0 ，则， 判断正负可以转为判断正负. ， 因为，，所以恒成立， 即，又，所以，B正确，A错误； ，因为均为正数，所以， 将分子和分母同时除以：， 对于分母，由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故，C正确，D错误. 14．（多选题）（2026·高一·浙江金华·阶段检测）设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 【答案】BCD 【解析】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误. 选项B：，不等式恒成立，故B正确. 选项C：对任意，变形得：， 故不等式恒成立，故C正确. 选项D：，由基本不等式，代入得： （当且仅当时取等号），令，得， 解得（负根舍去），因此，故D正确. 15．（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【解析】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 16．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【解析】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 17．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 【答案】2 【解析】因为正数x，y满足，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 18．当时，则的最小值是______. 【答案】 【解析】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 19．（2026·高一·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【解析】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 20．（2026·高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 21．（2026·高一·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【解析】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 22．（2026·高一·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 【解析】因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 23．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）解答下列各题： (1)比较与的大小； (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； 【解析】（1）因为， 所以； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9，此时. 24．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【解析】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 25．（2026·高一·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【解析】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 26．（2026·高一·云南曲靖·期末）（1）已知，若，求证：； （2）若，且，求的最小值． 【解析】（1）证明：， 因为，，所以，所以，所以； （2）因，，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为18． 27．（2026·高一·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【解析】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $