1.1集合的概念与表示教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课题

集合的概念与表示

单元

第1章

学科

高中数学

年级

高一

学习目标

1. 通过教材中的实例，了解集合和元素的含义，能判断一个数是否在给出的集合中，并正确使用“属于”和“不属于”的符号。

2. 结合具体例子，理解集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够辨认并改正常见写法中的问题。

3. 会用列举法和描述法表示简单集合，知道什么时候适合把元素逐个写出，什么时候适合说明它们共同满足的条件。

4. 经历从日常说法到数学符号的转换，体会集合语言表达清楚、简洁的作用。

教材分析

《集合的概念与表示》是高中数学第一章的起始内容。学生以后学习函数的定义域、方程和不等式的解集，都要用到集合的语言，所以这里不仅是认识几个新名词，更是在为后面的学习打基础。

教材先从自然数、实数、方程的根等学生已有经验入手，引出把一类对象放在一起的想法，再说明什么叫集合、什么叫元素，接着学习元素的三个特点、属于关系、常用数集以及集合的两种表示方法。教学时应保留由具体到抽象、由自然语言到数学符号的顺序，不能一开始就让学生背定义和符号。

本节安排两课时。第一课时主要解决集合和元素的含义、元素的三个特点以及属于符号；第二课时学习常用数集、列举法和描述法，并通过教材例题和课堂订正检查书写是否完整。

学情分析

学生在初中接触过自然数、整数、实数，也见过方程的解集和点集，对“把同一类对象放在一起”并不陌生。困难主要在于，他们过去更多是凭直觉理解，刚进入高中还不习惯用数学语言把范围和条件说完整。

课堂上可能出现几种情况：看到“较好的同学”“比较大的数”时，觉得意思明白，却说不清每个人能不能作出同样的判断；看到{1，1，2，3}时，把重复写出的1当成两个元素；学习描述法时，知道要写一个条件，却容易漏掉代表什么数的范围。

因此，本节不宜先让学生背定义和符号，而应先让他们比较具体的数集和日常说法，再逐步写成数学表达式。学生第一次写出的答案和后来订正的过程，可以帮助教师判断困难究竟出在概念理解还是符号书写。

教学重点

集合和元素的含义，元素的确定性、互异性和无序性，以及元素与集合的属于关系。

列举法和描述法的基本写法，尤其是描述法中代表元素、所属数集和条件之间的对

应关系。

教学难点

结合具体例子理解确定性和互异性的区别，避免把“标准说不清”和“同一个元素重复出现”混为一谈。

描述法的书写：既要说明代表元素属于哪一类数，又要写清它满足的条件，不能只写一个不等式。

教学准备

教师准备教材开篇对象组的投影页、两张可擦写分类卡和一块专门保留学生首次判断的板书区域；第二课时准备列举法与描述法的对照板书。

学生课前只需通读本节，圈出首次见到的符号；不要求提前背诵定义，以便课堂保留真实的概念形成过程。

教材中的示例和练习由授课教师课前在本校现用版本中圈定，课堂只使用已经核对的材料，不另造题目或补写页码。

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

新课导入（第一课时）

板书两道教材开篇同类问题：‘小于10的自然数’和‘小于10的实数’。先不出现‘集合’二字，请学生各写出自己认为应当列入的数。巡视时特别看0是否被漏掉，以及第二题是否有人只写出几个整数。

请两名学生把答案写到黑板上，追问：两题所说的是同一类数吗？只说‘小于10’，能不能把要列出的数说完整？教师顺势指出，做这类题先要看清题目说的是哪一类数，再看它提出了什么条件。

教师再追问一个容易被忽略的细节：0.5小于10，为什么没有出现在第一题的答案中？请学生把‘小于10’和‘自然数’分别圈出来，说明两个条件要同时满足。由学生的回答引出，集合中的数不是随意挑选的，而是由题目给出的范围和条件共同决定的。

独立写出两道题的答案，再与同桌比较。学生可能回答：第一题能逐个列出，第二题包含无穷多个实数，不能照第一题全部写完。

根据教师追问补充‘自然数’‘实数’等表示范围的词，并在原答案旁写下修改原因。

学生用‘0.5不属于自然数’完整回答追问，并把‘同时满足两个条件’写在题目旁边；有学生把0漏掉时，同桌指出自然数范围的约定，教师只在必要处补充说明。

新课教学（集合、元素与三条性质）

从‘小于10的自然数’中取出3，从整体中取出‘0，1，2，…，9’，分别板书：3是这个集合中的一个元素，这些数合在一起组成一个集合。随后给出‘成绩较好的同学’‘离校门较近的商店’两个说法，请学生说说哪些对象应该列入，

学生用自己的话说清一个数和一组数之间的关系，并辨析‘成绩较好’为什么会因标准不同产生不同答案。

并说明自己的理由。学生意见不一致时，教师追问：‘较好’‘较近’有没有统一的标准？

再呈现{1，2，3}、{3，2，1}、{1，1，2，3}三种写法，请学生逐个对照里面的数，不要只看书写顺序。教师归纳：说法和标准明确，才能判断一个对象是否列入；同一个数写两次，集合中的数并没有增加；调换书写顺序，集合表示的数也不改变。最后将‘3是集合A中的一个元素’写成3∈A，请学生说说符号两边各表示什么。

教师将三种写法编号，请学生先判断哪些表示的是同一个集合，再请意见不同的学生说说理由。若学生说‘第三个多写了一个1，所以不相等’，教师追问：两个1表示的是两个不同的数吗？让学生回到‘集合里究竟增加了什么’这个问题。随后补写3∉A，请学生比较∈与∉的意思，并注意左边写数，右边写集合。

四人小组讨论三种写法是否表示同一集合，记录结论和理由；完成后把‘某个数在某个集合中’分别写成自然语言和符号语言，互相检查左右两侧的写法是否正确。

小组分工为读题、书写、提问、汇报四人。提问的同学要提出具体问题，例如‘1写两次是否会多出一个元素’或‘调换顺序会不会改变集合’，汇报者用题面中的数作答；其他同学在答案旁记下自己原先的判断是否需要修改。

学生互动与合作探究

把学生分成四人小组，每组处理两项教材材料：‘大于10且小于20的整数’和‘{0，3，6，9}’。第一组用列举法写出第一项，第二组用自然语言说清第二项，第三、四组分别检查有没有漏掉范围或把范围写大。

集中展示后追问：只说‘3的倍数’为什么还不够？学生指出还要加上‘小于10的非负整数’这个范围。教师再把一个可以逐个写完的集合和一个不便逐个写出的集合并列，让学生讨论什么时候列举更清楚，什么时候把共同条件说出来更方便。

教师要求各组把自己的表达贴到黑板两侧：左侧写列举法，右侧写自然语言描述。全班先对照两种写法中的数是否相同，再检查范围有没有说全。对‘3的倍数’这一答案，教师请另一组举出12作反例，说明12虽然是3的倍数，却不在原来的集合中，让学生看到条件少写一句会造成什么结果。

小组内先独立完成，再由记录员把列出的数、数的范围和共同条件写在同一张纸上；汇报时要把完整条件读出来，不能只报集合符号。

其他小组检查答案中有没有漏写的数、有没有把不符合条件的数列进去，并提出具体问题；原小组根据题意修改后，再向全班说明为什么这样改。

记录员把修改前后的两种说法并列写在纸上。汇报时先读修改前的答案，再说明后来补充了哪一个范围或条件。没有发言的小组也要写下一条意见，不能只听不判断。

课堂练习与限时训练

限时6分钟完成教材例1：用列举法表示‘小于10的所有自然数组成的集合’。要求把答案写完整，并在集合旁写出0是否列入的依据。教师收

先独立作答，再逐题检查：题目说的是哪一类数，给出的条件是什么，最后看所列的数有没有漏