1.1集合的概念与表示教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的概念、元素性质及表示方法，通过对比“小于10的自然数”与“小于10的实数”实例，引导学生从具体数集到抽象集合，搭建从自然语言到数学符号的学习支架。 以学生认知冲突为驱动，如辨析“成绩较好”的不确定性培养数学眼光的抽象能力，通过{1,1,2,3}讨论互异性发展数学思维的推理意识，描述法强调数集与条件结合提升数学语言表达。实例贴近教材，助学生理解概念本质，为教师提供可操作的教学流程。

1.1《集合的概念与表示》教学设计 人教A版 高中数学 高一 必修第一册 概念课 2课时 课题 集合的概念与表示 单元 第1章 学科 高中数学 年级 高一 学习目标 1. 通过教材中的实例，了解集合和元素的含义，能判断一个数是否在给出的集合中，并正确使用“属于”和“不属于”的符号。 2. 结合具体例子，理解集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够辨认并改正常见写法中的问题。 3. 会用列举法和描述法表示简单集合，知道什么时候适合把元素逐个写出，什么时候适合说明它们共同满足的条件。 4. 经历从日常说法到数学符号的转换，体会集合语言表达清楚、简洁的作用。 教材分析 《集合的概念与表示》是高中数学第一章的起始内容。学生以后学习函数的定义域、方程和不等式的解集，都要用到集合的语言，所以这里不仅是认识几个新名词，更是在为后面的学习打基础。 教材先从自然数、实数、方程的根等学生已有经验入手，引出把一类对象放在一起的想法，再说明什么叫集合、什么叫元素，接着学习元素的三个特点、属于关系、常用数集以及集合的两种表示方法。教学时应保留由具体到抽象、由自然语言到数学符号的顺序，不能一开始就让学生背定义和符号。 本节安排两课时。第一课时主要解决集合和元素的含义、元素的三个特点以及属于符号；第二课时学习常用数集、列举法和描述法，并通过教材例题和课堂订正检查书写是否完整。 学情分析 学生在初中接触过自然数、整数、实数，也见过方程的解集和点集，对“把同一类对象放在一起”并不陌生。困难主要在于，他们过去更多是凭直觉理解，刚进入高中还不习惯用数学语言把范围和条件说完整。 课堂上可能出现几种情况：看到“较好的同学”“比较大的数”时，觉得意思明白，却说不清每个人能不能作出同样的判断；看到{1，1，2，3}时，把重复写出的1当成两个元素；学习描述法时，知道要写一个条件，却容易漏掉代表什么数的范围。 因此，本节不宜先让学生背定义和符号，而应先让他们比较具体的数集和日常说法，再逐步写成数学表达式。学生第一次写出的答案和后来订正的过程，可以帮助教师判断困难究竟出在概念理解还是符号书写。 教学重点 集合和元素的含义，元素的确定性、互异性和无序性，以及元素与集合的属于关系。 列举法和描述法的基本写法，尤其是描述法中代表元素、所属数集和条件之间的对应关系。 教学难点 结合具体例子理解确定性和互异性的区别，避免把“标准说不清”和“同一个元素重复出现”混为一谈。 描述法的书写：既要说明代表元素属于哪一类数，又要写清它满足的条件，不能只写一个不等式。 教学准备 教师准备教材开篇对象组的投影页、两张可擦写分类卡和一块专门保留学生首次判断的板书区域；第二课时准备列举法与描述法的对照板书。 学生课前只需通读本节，圈出首次见到的符号；不要求提前背诵定义，以便课堂保留真实的概念形成过程。 教材中的示例和练习由授课教师课前在本校现用版本中圈定，课堂只使用已经核对的材料，不另造题目或补写页码。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 新课导入（第一课时） 板书两道教材开篇同类问题：‘小于10的自然数’和‘小于10的实数’。先不出现‘集合’二字，请学生各写出自己认为应当列入的数。巡视时特别看0是否被漏掉，以及第二题是否有人只写出几个整数。 请两名学生把答案写到黑板上，追问：两题所说的是同一类数吗？只说‘小于10’，能不能把要列出的数说完整？教师顺势指出，做这类题先要看清题目说的是哪一类数，再看它提出了什么条件。 教师再追问一个容易被忽略的细节：0.5小于10，为什么没有出现在第一题的答案中？请学生把‘小于10’和‘自然数’分别圈出来，说明两个条件要同时满足。由学生的回答引出，集合中的数不是随意挑选的，而是由题目给出的范围和条件共同决定的。 独立写出两道题的答案，再与同桌比较。学生可能回答：第一题能逐个列出，第二题包含无穷多个实数，不能照第一题全部写完。 根据教师追问补充‘自然数’‘实数’等表示范围的词，并在原答案旁写下修改原因。 学生用‘0.5不属于自然数’完整回答追问，并把‘同时满足两个条件’写在题目旁边；有学生把0漏掉时，同桌指出自然数范围的约定，教师只在必要处补充说明。 新课教学（集合、元素与三条性质） 从‘小于10的自然数’中取出3，从整体中取出‘0，1，2，…，9’，分别板书：3是这个集合中的一个元素，这些数合在一起组成一个集合。随后给出‘成绩较好的同学’‘离校门较近的商店’两个说法，请学生说说哪些对象应该列入，并说明自己的理由。学生意见不一致时，教师追问：‘较好’‘较近’有没有统一的标准？ 再呈现{1，2，3}、{3，2，1}、{1，1，2，3}三种写法，请学生逐个对照里面的数，不要只看书写顺序。教师归纳：说法和标准明确，才能判断一个对象是否列入；同一个数写两次，集合中的数并没有增加；调换书写顺序，集合表示的数也不改变。最后将‘3是集合A中的一个元素’写成3∈A，请学生说说符号两边各表示什么。 教师将三种写法编号，请学生先判断哪些表示的是同一个集合，再请意见不同的学生说说理由。若学生说‘第三个多写了一个1，所以不相等’，教师追问：两个1表示的是两个不同的数吗？让学生回到‘集合里究竟增加了什么’这个问题。随后补写3∉A，请学生比较∈与∉的意思，并注意左边写数，右边写集合。 学生用自己的话说清一个数和一组数之间的关系，并辨析‘成绩较好’为什么会因标准不同产生不同答案。 四人小组讨论三种写法是否表示同一集合，记录结论和理由；完成后把‘某个数在某个集合中’分别写成自然语言和符号语言，互相检查左右两侧的写法是否正确。 小组分工为读题、书写、提问、汇报四人。提问的同学要提出具体问题，例如‘1写两次是否会多出一个元素’或‘调换顺序会不会改变集合’，汇报者用题面中的数作答；其他同学在答案旁记下自己原先的判断是否需要修改。 学生互动与合作探究 把学生分成四人小组，每组处理两项教材材料：‘大于10且小于20的整数’和‘{0，3，6，9}’。第一组用列举法写出第一项，第二组用自然语言说清第二项，第三、四组分别检查有没有漏掉范围或把范围写大。 集中展示后追问：只说‘3的倍数’为什么还不够？学生指出还要加上‘小于10的非负整数’这个范围。教师再把一个可以逐个写完的集合和一个不便逐个写出的集合并列，让学生讨论什么时候列举更清楚，什么时候把共同条件说出来更方便。 教师要求各组把自己的表达贴到黑板两侧：左侧写列举法，右侧写自然语言描述。全班先对照两种写法中的数是否相同，再检查范围有没有说全。对‘3的倍数’这一答案，教师请另一组举出12作反例，说明12虽然是3的倍数，却不在原来的集合中，让学生看到条件少写一句会造成什么结果。 小组内先独立完成，再由记录员把列出的数、数的范围和共同条件写在同一张纸上；汇报时要把完整条件读出来，不能只报集合符号。 其他小组检查答案中有没有漏写的数、有没有把不符合条件的数列进去，并提出具体问题；原小组根据题意修改后，再向全班说明为什么这样改。 记录员把修改前后的两种说法并列写在纸上。汇报时先读修改前的答案，再说明后来补充了哪一个范围或条件。没有发言的小组也要写下一条意见，不能只听不判断。 课堂练习与限时训练 限时6分钟完成教材例1：用列举法表示‘小于10的所有自然数组成的集合’。要求把答案写完整，并在集合旁写出0是否列入的依据。教师收取两份答案，先让学生看看有没有漏掉0，或者把10写进去。 接着完成教材本节已经核对的练习。学生交换批改时，重点看端点是否取到、题目说的是整数还是实数，以及描述时条件是否完整；教师根据学生的答案及时订正，不只公布最后的结果。 教师把三份有代表性的答案板书出来：漏写0、把10和20写入集合、只写‘3的倍数’。每次先请学生说说哪一步不合题意，再请原答题者解释自己的想法，最后由全班依据题目一起改写。订正后，请学生用一句话说清这道题所说的是哪一类数，检查答案是否始终围绕题意。 教材例1：用列举法表示下列集合：小于10的所有自然数组成的集合。 答案：若按本教材自然数集包含0的约定，集合为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 订正：题目要求逐一列出所有成员。先确定研究范围是自然数，再检查小于10这一条件；不能漏写0，也不能把10写入集合。元素之间用逗号分隔，整体用大括号括起。 课堂练习1：试用列举法表示下列集合：由大于10且小于20的所有整数组成的集合B。 答案：B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。 订正：“大于10且小于20”是两个条件同时成立，端点10和20都不属于集合；研究对象限定为整数，所以从11列到19，不能把10.5等非整数写入。 课堂练习2：你能用自然语言描述集合{0，3，6，9}吗？ 答案：例如：小于10的非负整数中3的倍数组成的集合。 订正：逐个观察元素可知它们都是3的倍数，且都小于10；“非负整数”补足了研究对象范围。只说“3的倍数”范围过大，不能唯一确定原集合。 先独立作答，再逐题检查：题目说的是哪一类数，给出的条件是什么，最后看所列的数有没有漏掉或超出范围。批改时不能只写‘错’，要在错误处注明是漏写、写多了，还是条件没有说完整。 答案不一致时，回到题目逐句核对：这里的自然数是否包括0，‘大于10且小于20’是否包括10和20，描述集合时有没有把范围交代清楚。 完成较快的学生把第一题再写成描述法，说明两种写法表达的数相同；仍有困难的学生先把‘数的范围、题目条件、最后列出的数’三项写清，教师根据这三项记录进行提示，不直接替学生写出结果。 教材例1先独立完成，再根据题面中的对象、范围和条件互相核对；有分歧时写出具体错误位置。 课堂练习1先独立完成，再根据题面中的对象、范围和条件互相核对；有分歧时写出具体错误位置。 课堂练习2先独立完成，再根据题面中的对象、范围和条件互相核对；有分歧时写出具体错误位置。 新课教学（第二课时：数集与描述法） 结合刚才的练习，教师带学生复习自然数、整数、有理数和实数的范围，板书N、N*、Z、Q、R，并分别写一个例子。随后请学生判断3∈N、-2∈N、1/2∈Z等关系，说一说判断时先看了什么。 以‘所有大于1且小于4的实数’为例，先请学生说出题目所说的是哪一类数、需要满足什么条件，再引导写成{x∈R|1<x<4}。教师逐项说明x、R和后面条件的作用，强调只写不等式还没有把数的范围交代完整。 教师把{x|1<x<4}与{x∈R|1<x<4}并列，请学生比较哪一种写法更清楚。学生若认为前式也能看懂，教师追问：x究竟表示哪一类数？引导学生说出补写R以后，别人可以直接知道代表元素的范围，表达也更严密。 同桌互相遮住数集名称或符号进行辨认，并把给出的数与数集的关系写成∈或∉。出现不同答案时，先说清题目讨论的是整数、实数还是其他数。 读描述法时，先说清x表示哪一类数，再看它属于哪个数集，最后读出它要满足的条件；同桌互相检查这几层意思有没有漏掉。 学生从给出的数中任选一个，如2、3.5或5，代入条件判断是否属于这个集合，并把判断过程说给同桌听。若只看不等式而忘了看数的范围，同桌用反例提醒；教师选取两种典型说法，在板书上比较。 新课教学（第二课时：列举法与描述法） 教师回到前面的集合B，请学生观察其中的数能不能一个一个写出，再把它和‘所有大于1且小于4的实数’比较。学生先说自己的选择，教师根据回答追问：数目不多时，哪种写法能让人一眼看到全部数？数目很多或不能逐个写完时，怎样把共同条件说清楚？ 板书同一个集合的两种表示，带学生逐项核对大括号、元素之间的分隔、x所表示的数、数集以及后面的条件。教师强调，表示方法虽然可以改变，但表示的数不能改变；如果范围不同，表达的就不是同一个集合。 教师把三份书写稿板书出来供全班判断：一份漏写了元素，一份把描述法写成{x|1<x<4}，一份把‘大于10且小于20’误写成包含端点的不等式。请学生分别说说少了什么、范围有没有说清、10和20该不该列入，然后让学生改写，再把正确的式子完整读一遍。 两人一组把教材例1的集合分别尝试写成列举法和描述法，比较两种方法是否都能让别人准确判断其中的数；完成后写一句选择主要表示方法的理由。 小组交换书写稿，先不看答案，只根据表达式判断0、11、19、20是否在相应集合中，再说明判断依据。 保留原来的写法，在旁边注明错在哪里、怎样修改以及为什么这样改；订正后用自然语言读一遍，检查符号和题意是否一致。 课堂小结 教师带学生按‘先看是哪一类数，再看题目给出的条件，最后选择合适的表示方法’的顺序回顾本课。集合的确定性、互异性和无序性要结合刚才的例子说明，不作为三条孤立的结论处理。 请学生解释a∈A、a∉A以及{x∈Z|x满足条件}中各部分的含义，再回到本课容易混淆的地方：‘成绩较好’这类说法为什么难以统一判断，重复写出同一个数为什么不会增加新的元素。 教师根据课堂练习中出现的答案，记录学生在0的取舍、端点处理和描述法书写方面的困难，作为下一课安排复习的依据。 学生用自己的话说一遍本课的主要内容，并举出一个课堂上订正过的例子。 同桌交换笔记，检查题目范围是否说清、关系符号两边的写法是否正确、描述法中的数集和条件是否完整。 作业布置 作业：完成人教A版数学必修第一册第1.1节课后练习中教师指定的题目，包含集合与元素的关系、列举法和描述法。 要求书写完整，列举法检查是否漏写或重复，描述法检查代表元素、所属数集和限制条件。做错的题在原式下方订正并写出修改依据。 完成教材第1.1节课后练习中教师指定的题目。 订正时保留原答案，说清楚是范围没有交代清楚、数漏写或多写、10和20的取舍不当，还是描述法没有写完整。 教学反思 本课把‘小于10的自然数’与‘小于10的实数’放在开头比较，先让学生看到数的范围不同会带来不同答案，再进入集合、元素和集合表示的规范语言。这样的安排能够避免学生只记住定义，却说不清这些概念解决了什么问题。 课堂中需要重点观察三类作答：把小于10的实数误写成几个整数，把{1，2，3}与{1，1，2，3}看成不同集合，以及描述法中漏掉所属数集。课后根据学生的具体答案判断是概念理解问题还是符号书写问题，下一课优先处理出现人数较多的一类。 如果学生在列举法与描述法的选择上仍然依赖‘有限集用列举法、无限集用描述法’这样的简单口诀，应补充同一集合的两种表示进行比较，让学生回到‘哪种写法能把成员和共同条件说清楚’。后续练习仍以教材本节题目为依据，不另造脱离课本的题目。 课后结合学生作答和课堂记录填写。 板书设计 1. 先看题目说的是哪一类数，再看给出的条件。 2. 集合与元素：集合用大写字母，元素用小写字母；a∈A、a∉A。 3. 三点：标准要明确，同一个元素不重复，调换顺序不改变集合。 4. 常用数集：N、N*、Z、Q、R。 5. 集合表示：列举法写出元素；描述法写清代表元素、数集和条件。 6. 做题顺序：看数的范围—看条件—列数或写条件—检查是否漏写、多写或超出范围。 核心表达：；；；；；； 按板书主线整理，不照抄课堂中已经否定的错误式；在描述法旁补写自己的自然语言解释。 将个人错例贴在对应栏目下，说明它属于对象类型、元素性质还是表示结构问题。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $