4.3 全等三角形 题型专练 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 以“典例引领+举一反三”分层设计，覆盖全等三角形概念、性质、判定及应用全路径，通过基础辨析到实际测量的梯度训练，培养几何直观与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|全等形概念、对应元素识别|典例示范+选择/填空题，如全等图形辨析| |技能应用|性质计算、判定定理直接应用|填空/简单证明，如利用SAS证全等| |综合拓展|跨知识综合（平行线/垂线）、实际应用|情境问题，如卡钳测量、河宽计算|

湘教版（2024）八年级上册 4.3 全等三角形 题型专练 【题型1】全等形 【典例】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，下列哪个图形与第一个图形全等（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示的各组图形中，　　中的两个图形是全等形． 【举一反三3】下列图形中是全等图形的是          ．（填序号） 【举一反三4】如图所示，试判断图中的两个图形是否全等；若不全等，请说明理由；若全等，请说明怎样做才能使它们重合． 【题型2】全等三角形的对应元素及性质 【典例】如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（　　） A.30° B.45° C.50° D.85° 【举一反三1】如图，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点． （1）若△ABC的周长为32，AB＝10，BC＝14，则AC＝　　，EF＝　　； （2）若∠A＝48°，∠B＝53°，则∠D＝　　，∠F＝　　． 【举一反三4】如图，已知△ABF≌△CDE，AB＝CD，则BF＝　　，　　＝EC，　　＝FC，∠BFC＝　　． 【举一反三5】如图，△ABF≌△CDE，∠A与∠C为对应角，AF与EC为对应边． （1）写出其他对应边及对应角； （2）若BD＝10，EF＝5，求BE的长． 【举一反三6】如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【题型3】全等三角形的性质与平行线、垂线的综合 【典例】如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，△ABC≌△A'B'C，若∠BCB'＝40°，AC⊥A'B'，则∠A的度数是 　　． 【举一反三3】如图，，A、B、D三点在一条直线上； （1）线段和的位置关系是：         ； （2）若，，则的长为        ． 【举一反三4】如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 【举一反三5】如图，已△ABE≌△ACF,，，求的度数．    【题型4】SAS定理及应用 【典例】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【举一反三1】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（     ） A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【举一反三2】如图，B、A、D、E在同一直线上，，，利用“”使得，则只需添加的一个条件是      ． 【举一反三3】如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则           ，其依据是           ． 【举一反三4】如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 【题型5】ASA定理及应用 【典例】如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，，然后在的同侧找到点使，，得到，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知△ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是（    ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 【举一反三2】如图，在△ABC中，于点，于点，与交于点，，则的长度为         ． 【举一反三3】初一（1）班的篮球拉拉队，为了在明天的比赛中给同学加油助威，每个人都提前制作了一面同一规格的三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗（如图所示）．于是小明挑选了其中的一块，准备用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形，你认为他作图的根据是　　．（只要填写两个三角形全等的一个条件：SSS、SAS、AAS、ASA、HL） 【举一反三4】小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度．   【举一反三5】如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公共汽车”停靠点．“公共汽车甲”从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站．如果甲．乙两车分别从A，B两站同时出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站，为什么？ 【题型6】AAS定理及应用 【典例】如图，小虎用10块高度都是3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A.30 cm B.27 cm C.24 cm D.21 cm 【举一反三1】如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示，△ABC与全等，，，则正确的写法是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高AC与BC的夹角和右边滑梯水平方向的长DF与EF的夹角相等，则△ABC≌△DEF，理由是　　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【举一反三5】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【题型7】SSS定理及应用 【典例】将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（   ） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个，使，，，将剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（   ）      A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断 【举一反三2】如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据      判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空）     【举一反三3】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，，．当O沿伞轴AD滑动时，雨伞开闭，此过程中，∠BEO与∠CFO有何关系？请说明理由． 【题型8】三角形全等的判定综合 【典例】如图，在△ABC与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ）      A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点E、F、C.B在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（　　） A.AC＝DF B.BC＝EF C.AB∥DE D.AC∥DF 【举一反三2】如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是            （请写出一个答案即可）．      【举一反三3】如图，，只添加一个条件使，添加的条件是        ．（只需添加一个即可）．       【举一反三4】如图所示，在△ABC中，D是边上的点（不与B，C重合），F，E分别是线段及其延长线上的点，且．请你添加一个条件，使（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． (1)你添加的条件是        ． (2)证明：． 【举一反三5】如图，已知，点，在线段上，且．        (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【题型9】三角形全等的性质及判定 【典例】如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（   ）      A. B. C. D.不能确定 【举一反三1】三角形全等的判定定理包括（ ） ①；②；③；④；⑤ A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②④⑤ D.②③④⑤ 【举一反三2】如图，射线AB交CD于O，AC＝AD，BC＝BD，则图中全等三角形的对数是（　　）      A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三3】如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则          ．     【举一反三4】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．       【举一反三5】如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD． 【题型10】全等三角形的应用 【典例】如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（   ）       A.7.5米 B.15米 C.20米 D.30米 【举一反三1】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ）       A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.三边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【举一反三2】如图所示是某标志的主体部分（平面图）．它是由四个完全相同的四边形拼成的．间得，，，，则的度数是（　　）     A.116° B.117° C.118° D.119° 【举一反三3】物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为     ．       【举一反三4】小明、小亮为得到河流两岸，两处之间的距离（不可直接测量）进行了如下操作．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子的帽檐，使视线通过帽檐恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上）． (1)对于小明的做法，小亮思考如下，请将过程补充完整（括号内填依据）； (2)已知小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步，求点，之间的距离． 【举一反三5】如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.4m和1.8m，求F、E两点的高度差即的长．    湘教版（2024）八年级上册 4.3 全等三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】全等形 【典例】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B 【举一反三1】如图，下列哪个图形与第一个图形全等（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：观察图形可知： 第一个图形其中一个箭头指向多边形突出的顶点，另一个箭头指向多边形凹陷的顶点，即能够完全重合， ∴符合条件的图形为： 故选：C． 【举一反三2】如图所示的各组图形中，　　中的两个图形是全等形． 【答案】①④ 【解析】各组图形中，①④中的两个图形是全等图形． 故答案为：①④． 【举一反三3】下列图形中是全等图形的是          ．（填序号） 【答案】⑤和⑦ 【解析】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形， 故答案为：⑤和⑦ 【举一反三4】如图所示，试判断图中的两个图形是否全等；若不全等，请说明理由；若全等，请说明怎样做才能使它们重合． 【答案】全等，见解析 【解析】解：全等， 如图，连接，作线段的对称轴， 根据题意得：两个图形沿直线折叠后能使它们完全重合， 所以两个图形全等． 【题型2】全等三角形的对应元素及性质 【典例】如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（　　） A.30° B.45° C.50° D.85° 【答案】C 【解析】180°﹣85°﹣45°＝50°， ∵两个三角形是全等三角形， ∴x＝50°， 故选：C． 【举一反三1】如图，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵，∴， ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【举一反三3】已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点． （1）若△ABC的周长为32，AB＝10，BC＝14，则AC＝　　，EF＝　　； （2）若∠A＝48°，∠B＝53°，则∠D＝　　，∠F＝　　． 【答案】（1）8；14 （2）48°；79° 【解析】（1）∵△ABC的周长为32，AB＝10，BC＝14， ∴AC＝32﹣14﹣10＝8． ∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝14． 故答案为：8；14； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝48°，∠E＝∠B＝53°， ∴∠F＝180°﹣48°﹣53°＝79°． 故答案为：48°，79°． 【举一反三4】如图，已知△ABF≌△CDE，AB＝CD，则BF＝　　，　　＝EC，　　＝FC，∠BFC＝　　． 【答案】DE；AF；AE；∠DEA 【解析】∵△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE，AF＝EC，∠AFB＝∠CED， ∴AF+FE＝EC+FE，180°﹣∠AFB＝180°﹣∠CED，即：AE＝FC，∠BFC＝∠DEA． 【举一反三5】如图，△ABF≌△CDE，∠A与∠C为对应角，AF与EC为对应边． （1）写出其他对应边及对应角； （2）若BD＝10，EF＝5，求BE的长． 【答案】解：（1）∵△ABF≌△CDE， ∠B＝∠D，∠AFB＝∠CED，AB＝CD，DE＝BF； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， ∴BE＝DF， ∵BD＝10，EF＝5， ∴DF+BE＝BD﹣EF＝5， ∴BE＝DF2＝2.5. 【举一反三6】如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【解析】解：（1）， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 【题型3】全等三角形的性质与平行线、垂线的综合 【典例】如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：图中两个三角形全等， ， ， ． 故选：C． 【举一反三1】如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵，∴， ∴，∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC≌△A'B'C，若∠BCB'＝40°，AC⊥A'B'，则∠A的度数是 　　． 【答案】50° 【解析】∵△ABC≌△A'B'C， ∴∠BCA＝∠B'CA'， ∴∠BCA﹣∠B'CA＝∠B'CA'﹣∠B'CA， 即∠BCB'＝∠ACA'＝40°， ∵AC⊥A'B'， ∴∠COA'＝90°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°． 【举一反三3】如图，，A、B、D三点在一条直线上； （1）线段和的位置关系是：         ； （2）若，，则的长为        ． 【答案】 6 【解析】解：（1）∵，∴， ∵A、B、D三点在一条直线上，∴， ∴，∴， 故答案为：． （2）∵，∴，， ∴， ∵，∴， ∴，∴， 故答案为：6． 【举一反三4】如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1)5，3；(2)①；② 【解析】解：（1），，， ，， ； （2）① ≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ②∵是的外角， ∴ ∵是外角， ∴. 【举一反三5】如图，已△ABE≌△ACF,，，求的度数．    【答案】 【解析】解：， ，即，， 在中，，， ， ． 【题型4】SAS定理及应用 【典例】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【答案】A 【解析】∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB＝∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ∵， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′＝AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS． 故选：A． 【举一反三1】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（     ） A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【答案】D 【解析】解：由题意可得： ∴△ACB ≌△DCB（SAS） ∴AB = DB 故选D． 【举一反三2】如图，B、A、D、E在同一直线上，，，利用“”使得，则只需添加的一个条件是      ． 【答案】 【解析】解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：． 【举一反三3】如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则           ，其依据是           ． 【答案】 【解析】解：， ， ， 在△ABC和中， ， ， 故答案为：， 【举一反三4】如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同， ∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE， ∵在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD， ∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD， ＝180°﹣∠ACB， ∵∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFC无变化． 【题型5】ASA定理及应用 【典例】如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，，然后在的同侧找到点使，，得到，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解:在中， ， ∴ 【举一反三1】如图，已知△ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是（    ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 【答案】B 【解析】解：∵图乙中的三角形与△ABC有两角及其夹边相等， ∴图乙中的三角形与△ABC全等． 图丙中：， ∴图丙中的三角形与△ABC有两角及其夹边相等， ∴图丙中的三角形与△ABC全等． 故选B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，于点，于点，与交于点，，则的长度为         ． 【答案】5 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 【举一反三3】初一（1）班的篮球拉拉队，为了在明天的比赛中给同学加油助威，每个人都提前制作了一面同一规格的三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗（如图所示）．于是小明挑选了其中的一块，准备用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形，你认为他作图的根据是　　．（只要填写两个三角形全等的一个条件：SSS、SAS、AAS、ASA、HL） 【答案】ASA 【解析】如图所示： 根据已知两角和它们的夹边相等得出全等三角形， 故答案为：ASA． 【举一反三4】小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度．   【答案】15米 【解析】解：因为，所以． 因为，所以． 因为相邻两平行线间的距离相等，所以． 在和中， ， 所以， 所以， 答：标语的长度为15米 【举一反三5】如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公共汽车”停靠点．“公共汽车甲”从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站．如果甲．乙两车分别从A，B两站同时出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站，为什么？ 【答案】解：∵AB＝AC＝BC，CD＝CE＝ED， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， , ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAG＝∠CBF， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACG和△BCF中， , ∴△ACG≌△BCF（ASA）， ∴CG＝CF， ∴AD+CF＝BE+CG， 又∵EC＝DC， ∴AD+DE+EC+CF＝BE+ED+DC+CG， 又∵两车速度相同， 由此可以得到结论：两辆公共汽车同时到达指定站． 【题型6】AAS定理及应用 【典例】如图，小虎用10块高度都是3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A.30 cm B.27 cm C.24 cm D.21 cm 【答案】A 【解析】由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9 cm，DC＝BE＝21 cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30 cm． 故选：A． 【举一反三1】如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 【举一反三2】如图所示，△ABC与全等，，，则正确的写法是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：在△ABC和中， ∵，，， 即的顶点A、B、D分别与△ABC的顶点B、A、C对应， ∴． 故选：A． 【举一反三3】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高AC与BC的夹角和右边滑梯水平方向的长DF与EF的夹角相等，则△ABC≌△DEF，理由是　　． 【答案】AAS 【解析】在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故答案为AAS． 【举一反三4】如图，在△ABC中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【答案】见解析 【解析】证明：， 即， 又， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 【举一反三5】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【答案】解：相等． 理由：∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB（对顶角）， ∴由内角和定理，得∠C＝∠D， 又∵∠CAB＝∠DBA＝90°， 在△CAB和△DBA中， ， ∴△CAB≌△DBA（AAS）， ∴CA＝DB， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 【题型7】SSS定理及应用 【典例】将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（   ） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】A 【解析】解：三根木条即为三角形的三边长， 即为利用确定三角形， 故选：A． 【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个，使，，，将剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（   ）      A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断 【答案】A 【解析】解：在△ABC和中， ， ∴（SSS）， ∴将剪下来放到△ABC上，它们完全重合， 故选：A． 【举一反三2】如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据      判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空）     【答案】 【解析】解：由作图可知： 又∵， ∴； 故答案为：． 【举一反三3】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，，．当O沿伞轴AD滑动时，雨伞开闭，此过程中，∠BEO与∠CFO有何关系？请说明理由． 【答案】解：∠BEO＝∠CFO， 理由：∵AB＝AC，，， ∴AE＝AF， 在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（SSS）， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴∠BEO＝∠CFO． 【题型8】三角形全等的判定综合 【典例】如图，在△ABC与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ）      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A．，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC与全等，故本选项符合题意； B．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三1】如图，点E、F、C.B在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（　　） A.AC＝DF B.BC＝EF C.AB∥DE D.AC∥DF 【答案】B 【解析】A.由AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意； B.由AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF，根据SSA把可以判定△ABC≌△DEF，本选项符合题意； C.由AB∥DE，推出∠B＝∠E，结合AB＝DE，∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意； D.AC∥DF，可以推出∠ACB＝∠DFE，结合AB＝DE，∠A＝∠D，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是            （请写出一个答案即可）．      【答案】（答案不唯一） 【解析】解：∵， ∴，即， 添加：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三3】如图，，只添加一个条件使，添加的条件是        ．（只需添加一个即可）．       【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加的条件是：， 理由：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三4】如图所示，在△ABC中，D是边上的点（不与B，C重合），F，E分别是线段及其延长线上的点，且．请你添加一个条件，使（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． (1)你添加的条件是        ． (2)证明：． 【答案】(1)；(2)见解析 【解析】解：（1）添加条件，证明如下； ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【举一反三5】如图，已知，点，在线段上，且．        (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【答案】(1)①或②，理由见解析；(2)见解析 【解析】解：（1）可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【题型9】三角形全等的性质及判定 【典例】如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（   ）      A. B. C. D.不能确定 【答案】C 【解析】解：， ， 由，， ， ． 故选：C． 【举一反三1】三角形全等的判定定理包括（ ） ①；②；③；④；⑤ A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②④⑤ D.②③④⑤ 【答案】C 【解析】解：全等三角形的判定定理有， 故选：C． 【举一反三2】如图，射线AB交CD于O，AC＝AD，BC＝BD，则图中全等三角形的对数是（　　）      A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：全等三角形有：△ACB≌△ADB，△ACO≌△ADO，△BCO≌△BDO，共3对， 理由是：∵在△ACB和△ADB中 ∴△ACB≌△ADB（SSS）， ∴∠CAO＝∠DAO， 在△ACO和△ADO中 ∴△ACO≌△ADO（SAS）， ∴CO＝DO， 在△BCO和△BDO中 ∴△BCO≌△BDO（SSS）， 故选：C． 【举一反三3】如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则          ．     【答案】102° 【解析】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°， ∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°， 又∵∠EDC＝∠ADB＝60°， ∴∠EDC＝∠FDC， ∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴∠E=∠DFC=102°； 故答案为：102°． 【举一反三4】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．       【答案】见解析 【解析】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线，∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC； 即MB－MC＜AB－AC． 【举一反三5】如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD． 【答案】证明 ∵△AOD≌△BOC， ∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD﹣∠COD＝∠BOC﹣∠COD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD． 【题型10】全等三角形的应用 【典例】如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（   ）       A.7.5米 B.15米 C.20米 D.30米 【答案】B 【解析】解：在和△ABC中， ， ， （米）， ，两点间的距离为米， 故选：． 【举一反三1】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ）       A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.三边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】解：由题意，得：， ∴△AOB≌△O(SAS) ∴； ∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选A． 【举一反三2】如图所示是某标志的主体部分（平面图）．它是由四个完全相同的四边形拼成的．间得，，，，则的度数是（　　）     A.116° B.117° C.118° D.119° 【答案】B 【解析】解：和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 故答案为：B 【举一反三3】物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为     ．       【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】小明、小亮为得到河流两岸，两处之间的距离（不可直接测量）进行了如下操作．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子的帽檐，使视线通过帽檐恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上）． (1)对于小明的做法，小亮思考如下，请将过程补充完整（括号内填依据）； (2)已知小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步，求点，之间的距离． 【答案】(1)；；；；(2)米 【解析】解：（1）由题意得，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以度， 所以． 故答案为：；；；； （2）∵小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步， ∴， ∵， ∴（米）， ∴点，之间的距离为米． 【举一反三5】如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.4m和1.8m，求F、E两点的高度差即的长．    【答案】 【解析】解：，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 答：的长为04m． 学科网（北京）股份有限公司 $