4.3 全等三角形&4.4 尺规作图 随堂练习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版 湖南专版）

4.3全等三角形 4.3.1认识全等三角形 1.下列各选项中的两个图形是全等形的是 A B 2.如图，△AOC≌△BOD,C,D是对应点，则下列结论错误的是 A.∠A与∠B是对应角 B.∠AOC与∠BOD是对应角 C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边 (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，△ABC≌△ADC,∠B+∠D=160°，则∠B的度数是 A.80° B.90° C.100° D.120° 4.如图，△ABC≌△DEC,点A与点D,点B与点E是对应点，点B,C,D在同一条直线 上，且CE=5,AC=7,则BD的长为 5.如图，△ABC≌△DCB,∠DBC=40°，则∠AOB的度数为 6.如图，△ABE≌△ACD,D,E分别为AB,AC上的点.求证：BD=CE. 7.如图，△ABD≌△ACE,∠DAE=30°，∠CAD=100°，求∠BAE的度数. ·28· 4.3.2全等三角形的判定定理（边角边） 1.如图，AB=AC,要使△ABE≌△ACE,还需添加的一个条件是 () A.∠BAE=∠C B.∠1=∠2 C.∠B=∠C D.∠BAE=∠CAE E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，要测量池塘两端A,B之间的距离，可先在地上取一点C,连接AC并延长到点D, 使CD=CA;连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE.根据两个三角形全等，量出 DE的长即可得到点A,B之间的距离，则判定图中两个三角形全等的依据是 3.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF的 长为 4.如图，已知∠EFD=∠BCA,BC=EF,AF=DC,求证：AB=DE.请补全下列证明过程. 证明：因为AF=DC(已知)， 所以AF十 =DC十（等式的性质）， 即 BC=EF, 在△ABC和△DEF中，∠BCA=∠EFD, 所以△ABC≌△DEF( 所以AB=DE( ) 5.如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且BD=CA,过点D作DE∥AC,且 DE=AB,连接BE.求证：△DEB≌△ABC ·29· 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1.已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC≌△A'B'C'的依据是 A.边角边 B.边边角 C.角边角 D.角角角 2.如图，要直接用“角角边”判定△ACD≌△ABE,还需要添加的条件是 ) A.∠AEB=∠ADC,BE=CD B.AC=AB,∠B=∠C C.AC=AB,AD=AE D.∠AEB=∠ADC,∠B=∠C (第2题图) (第3题图) 3.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AB∥ED,AC∥FD,则添加下列一个条件后，仍 无法判定△ABC≌△DEF的是 ( ) A.AB=DE B.AC=DF C.BF=EC D.∠B=∠E 4.如图，AC是∠BAE的平分线，D是线段AC上一点，∠C=∠E,AB=AD.求证： BC=DE. 5.如图，BC⊥AC于点C,DE⊥AC于点E,∠BAD=90°，BC=AE.求证：△BAC≌ △ADE. ·30· 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 1.如图，点D,E在线段BC上，AB=AC,AD=AE,BE=CD,要判定△ABD≌△ACE, 较为快捷的方法是 ( A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 C58°72 50 B D B (第1题图)（第2题图） (第4题图) (第5题图) 2.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB=CD,AD=CB,下列结论不正确 的是 A.∠A=∠C B.∠ABC=∠CDA C.∠ABC=∠C D.∠ABD=∠CDB 3.建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形 的 4.如图，甲、乙两个三角形中，和左侧△ABC全等的是 5.如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC边上，AD=AB,AE=AC,DE=BC.若 ∠DAB=25°，则∠CAE的度数为 6.如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,BC=EF (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数 ·31· 4.3.5全等三角形的应用 1.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画出一个与书上 完全一样的三角形.他画图的依据是 ( A.角边角 B.边角边 C.角角边 D.边边边 mwww.p (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.把两根钢条AA',BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽度的工具（卡 钳).如图，若测得AB=5cm,则槽宽A'B'为 cm. 3.把等腰直角三角形ABC按如图所示的方式立在桌面上，顶点A顶着桌面，点B,C到 桌面的距离分别为5cm和3cm,过点B,C向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的 为cm. 4.如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM=6m,梯子沿墙下滑到CD 的位置，测得∠ABM=∠DCM,DM=8m,求梯子下滑的高度. B D 5.如图，要测量池塘沿岸上A,E两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线 段AB和CD,且AB=CD,E是线段BC的中点，要想知道点A,E之间的距离，只需要 测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由. ·32· 4.4尺规作图 第1课时利用尺规作图作三角形(1)、角 1.如图，已知∠ABC=53°，然后利用尺规作图作出∠DEF,根据作图痕迹可知，∠DEF 的度数是 A.37° B.53° C.35° D.55° (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知Rt△ABC,求作一个直角三角形与Rt△ABC共直角边且全等.小聪的作法 如下：延长BC,以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交BC的延长线于点D,连接AD, 则Rt△ADC≌Rt△ABC的依据是 3.如图，已知线段a,求作△ABC,使BC=2a,AB=3a,AC=4a.(保留作图痕迹，不写作法) 第2课时利用尺规作图作三角形(2)、平行线 1.如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法不正确的是 A.∠DAE=∠B B.∠C=∠EAC C.∠DAE=∠EAC D.AE∥BC 2.如图，已知A,C分别是∠ABC的边BA,BC上的点，O是BC的中点. (1)按照以下步骤进行尺规作图： ①作∠BCD=∠ABC,且使边CD在直线BC的左上方； ②连接AO并延长，交CD于点D; (2)CD与BA的位置关系是 (3)△OCD与△OBA (填“全等”或“不全等”)， 理由是 ·33·第2课时分式的乘方及乘除混合运算 1.B2.D3.C4.1)-125yx2)16a 8x5 '(a-b)2 5解：1原式=4÷(-）=4a6·(-)=-给(2)原式=手·(-)户 这号()y=-w 6.解：原式-·02》2》.a+1a-1D=(a+1a-2)=c2-a-2因为 (a-1)2 a2-a=0,所以原式=0一2=一2. 2.4整数指数幂 2.4.1同底数幂的除法 1.B2.3xy3.24.10 5.解：(1)原式=-m-3=-m.(2)原式=(a-b)-3=(a-b)3.(3)原式= 8·m3,p、卫=4·m3-2·n-3p=4mnp 2·m2·n3 2.4.2零次幂和负整数指数幂 1.A21.293×1063.00003574.1)3(2)3y 5.x≠-2且x≠3 6.解：1)原式=-1-1+4=2.(2)原式=子×号×16-1=1-1=0， 2.4.3整数指数幂的基本性质 1.B2.B3B4日(2品3)251)-42)-话 6.解：(1)原式=-m2·(-m)=m2+6=m.(2)原式=a4b·ab3=a4+6b-3= a261=(3)原式-=2261 6=宁61-六(40原武-兰· y2·y=x y. 2.5可化为一元一次方程的分式方程 第1课时可化为一元一次方程的分式方程 1.B2.C3.D4.(1)x=2(2)x=-15.5 6.解：(1)由于最简公分母为x(x一1)，于是将方程两边同乘x(x一1)，得3x一2(x一1) =0,解得x=一2.经检验，x=一2是原分式方程的解.(2)由于最简公分母为2x一1，于 是将方程两边同乘2z-1,得2x-5=3(2x-1),解得x=一号经检验，z=一合是原 分式方程的解.(3)由于最简公分母为2(x一2)，于是将方程两边同乘2(x一2)，得3一 2x=2(x一2》，解得x-子.经检验，x-子是原分式方程的解.（④）由于最简公分母为（红 十2)(x一2)，于是将方程两边同乘(x十2)(x-2),得(x-2)2-16=x2-4,解得x= 一2.经检验，x=一2不是原方程的解，所以原分式方程无解. 第2课时分式方程的应用 1.B2.(1)800。=600800_600-=10(2)30 x+10 z yy 3.解：设这种大米的原价是x元/kg.根据题意，得100+40=55，解得x=5.经检验， x0.8x x=5是原方程的解，且符合题意.答：这种大米的原价是5元/kg. 1新，a空1总站②度累整意，得婴总一10每袋=06是险 36 验，x=0.6是原方程的解，且符合题意.答：x的值为0.6. 第3章二次根式 3.1二次根式的概念及性质 第1课时二次根式的概念与性质 1.C2.B3.D4.2(答案不唯一)5.2 6.解：(1)由6十2x≥0，解得x≥一3.因此，当x≥一3时，√6+2x在实数范围内有意 义.(2)由x一2≥0，且2一x≥0，解得x=2.因此，当x=2时，√x一2+√2一x在实数 -46 范围内有意义.(3)由x-1>0,解得x>1.因此，当x>1时，工一在实数范围内有意义. Vx-l 1棍：①原式=2.5.2)原式--号=日(8)原式=2×w2=4X3=12.（④原 式=|√T-4|=4-√1I. 第2课时二次根式的化简 1.D2.A3.C4.1(答案不唯一) 5.解：1)原式=10X2=1×=10E.(2)原式=√写=√= √（传）×5=厘(8）原式=Vx2X=xV2厘=24.(4原式=-√图 /20 =-√√x- 3 6.解：根据题意，得v=√9.8X30=√49X2×3=√7×6=7√6(m/s).答：其行进的 速度为7√6m/s. 3.2二次根式的乘法和除法 第1课时二次根式的乘法 1.B2.B3.B4.2≤x≤35.12√2 6.解：(1)原式=√12X2=√24=2√6.(2)原式=-2√2×32=-12.(3)原式= √4×写=v函=2.(4原式-√会×3x6-√厚-4 ./16_4W3 第2课时二次根式的除法 1.B2.A3.D4.C 5_=,/15X2_√30_30 5.解：1)原式，3后=，35=16.(2)原式8V8X264 (3)原式=56=5b6=5bv6 4a4a·a4a 6解：原式=√厚-原.2原式=-√骨÷高=-√骨×智-压=-3巨 5 (3)原式=(6÷3)√3×5=2w√15. 3.3二次根式的加法和减法 第1课时二次根式的加法和减法 1.C2.B3.C4.(1)3√5(2)-23 5.解：(1)原式=-2√2+2√2+2√5=2√5.(2)原式=6√3-4√6+3√6=6√3-√6. (8原式=2后-5+25-25④原式=26+9926=2 5 9 6.解：√12+√27+√48=2√3+3√3+4√3=9√3(cm).所以这个三角形的周长为 9√3cm. 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.C3.(1)-1(2)15+6√64.3 5.解：1)原式=V亚×厅-√胥×5=6-2=4(2)原式=合×4V6X122= 2√36=12.(3)原式=(2+√3)-[(W3)2+2√3+1]=2+3-3-2√5-1=-2-V3. (4)原式=√3X3√3+√2×3√3-√3×√2-√2×√2=9+3√6-√6-2=7+2√6. 6.解：因为m=√5+1，n=√5-1，所以m十n=√5+1十√5-1=2√5，mm=(W5+1)× (W5-1)=4.(1)nm2+mn2=mn(m+n)=4×2√5=8√5.(2)m2+mn+n2=(m+n)2 -mn=(2√5)2-4=16. 第4章三角形 4.1认识三角形 第1课时三角形的有关概念及三边关系 1.C2.C3.D4.A5.△ABD,△ABC AC AD∠ADC -47 6.3<x<7 7.解：(1)③或④(2)选取木棒的方案有3种，分别是①②③或②③④或②③⑤. 第2课时三角形的高、角平分线和中线 1.A2.A3.30°40°80°4.(1)12(2)105.3 6.解：如图，线段AE是BC边上的高，线段CF是AB边上的高，线段BD是AC边上的高. C D 7.解：因为CE∥AB,所以∠DCE=∠B=30°，∠BAC=∠ACE.因为CE是∠ACD的 平分线，所以∠ACE=∠DCE=30°.所以∠BAC=30°.因为AC是∠BAD的平分线， 所以∠BAD=2∠BAC=60°. 第3课时三角形的内角和及外角的性质 1.B2.B3.C4.B 5.解：因为∠A=75°，∠1=145°，所以∠ABC=∠1-∠A=70°.所以∠2=180°- ∠ABC=110°. 6.解：(1)因为∠B=66°，∠C=54°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.又因为AD平 分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=2∠BAC=30.所以∠ADC=180°-∠C-∠CAD =96°.(2)因为DE⊥AC,所以∠AED=90°.所以∠ADE=180°一∠AED-∠CAD=60°. 4.2命题与证明 4.2.1定义，命题 1.D2.B3.两条直线平行于同一条直线这两条直线平行 4.解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数.(2)该命题的逆命题为 如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等， 4.2.2证明，举反例 1.C2.D3.a=一4（答案不唯一）4.解：这个命题是真命题.证明如下：假设一个三 角形中至多只有一个锐角，则这个三角形中至少有两个角是钝角或直角，那么这个三 角形的内角和大于180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾，所以“一个三角形中至 少有两个锐角”是真命题 4.2.3定理，推论 1.B2.C3.没有4.∠ACE∠ACE三角形外角的性质∠ECD等量代换 ∠B∠E三角形外角的性质∠B∠E等量代换 5.已知：如图，PQ∥EF,AC平分∠BAQ,BD平分∠ABE.求证：AC∥BD.证明：因为 PQ∥EF,所以∠BAQ=∠ABE.因为AC平分∠BAQ,BD平分∠ABE,所以∠CAB= 2∠BAQ,∠ABD=合∠ABE.所以∠CAB=∠ABD,所以AC∥BD. E B 4.3全等三角形 4.3.1认识全等三角形 1.A2.C3.A4.125.80 6.证明：因为△ABE≌△ACD,所以AE=AD,AB=AC.所以AC-AE=AB一AD,即 BD=CE. 7.解：因为△ABD≌△ACE,所以∠CAE=∠BAD,即∠BAC+∠BAE=∠BAE+ ∠DAE.所以∠BAC=∠DAE=30°.因为∠CAD=100°，所以∠BAE=∠CAD一 ∠DAE-∠BAC=40°. 4.3.2全等三角形的判定定理（边角边） 1.D2.边角边3.6 4.FCFC AC DF AC DF边角边全等三角形的对应边相等 (DE=AB, 5.证明：因为DE∥AC,所以∠EDB=∠A.在△DEB和△ABC中，∠EDB=∠A,所 BD=CA, 48 以△DEB2△ABC(边角边)， 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1.C2.A3.D 4.证明：因为AC是∠BAE的平分线，所以∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE中， ∠BAC=∠DAE, ∠C=∠E, 所以△BAC≌△DAE(角角边).所以BC=DE. AB=AD, 5.证明：因为BC⊥AC,DE⊥AC,所以∠BCA=∠AED=90°.所以∠B+∠BAC=90, 因为∠BAD=90°，所以∠BAC+∠EAD=90°.所以∠B=∠EAD.在△BAC和△ADE (∠BCA=∠AED, 中，BC=AE, 所以△BAC≌△ADE(角边角). C∠B=∠EAD, 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 1.A2.C3.稳定性4.甲和乙5.25 6.(1)证明：因为AD=CF,所以AD+CD=CF+CD,即AC=DF.在△ABC和△DEF (AB=DE, 中，BC=EF,所以△ABC≌△DEF(边边边).(2)解：由(1)知△ABC≌△DEF,所以 LAC-DF, ∠ACB=∠F.因为∠A=55°，∠B=88°，所以∠ACB=180°-（∠A+∠B)=37°.所以 ∠F=37° 4.3.5全等三角形的应用 1.A2.53.8 ∠AMB=∠DMC, 4.解：在△ABM和△DCM中，∠ABM=∠DCM,所以△ABM≌△DCM(角角边).所 AB-DC, 以CM=BM=6m,AM=DM=8m.所以AC=AM一CM=2m.答：梯子下滑的高度是 2m. 5.解：合适.理由如下：因为E是线段BC的中点，所以BE=CE.因为AB∥CD,所以 (AB=CD, ∠B=∠C.在△AEB和△DEC中，∠B=∠C,所以△AEB≌△DEC(边角边).所以 BE=CE, AE-DE. 4.4尺规作图 第1课时利用尺规作图作三角形(1)、角 1.B2.边角边 3.解：如图，△ABC即为所求 B A十十十 第2课时利用尺规作图作三角形(2)、平行线 1.C 2.解：(1)如图所示.(2)CD∥BA(3)全等角边角 D 4.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.C3.404.85° 5.解：因为D是BC的中点，AB=AC,所以AD⊥BC,AD平分∠BAC.所以∠ADB= -49 90°，∠BAD=∠CAD.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=40°.所以∠CAD=40°. 6.解：因为AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=50°.所以∠BDC=180°-∠ADB=130°. 因为BD=DC,DE为边BC的高，所以DE平分∠BDC所以∠BDE=?∠BDC=65. 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.A3.A4.4 5.证明：因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED.因为∠ADE=∠1十∠B,∠AED=∠2 十∠C,∠1=∠2，所以∠B=∠C.所以△ABC是等腰三角形. 6.证明：因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BP,CQ是△ABC两腰上的高，所 以∠BPC=∠BQC=90°.所以∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC.所以 ∠OBC=∠OCB.所以OB=OC. 第3课时等边三角形的性质和判定 1.C2.C3.C4.85.75 6.证明：因为△ABO是等边三角形，所以∠A=∠B=∠AOB=60°.因为CD∥AB,所 以∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°，又因为∠COD=∠AOB=60°，所以∠C=∠D= ∠COD.所以△OCD是等边三角形. 7.证明：因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB,∠A=∠B=60°.因为AD=CF,所 (AD=BE, 以BD=AF.在△ADF和△BED中，∠A=∠B,所以△ADF≌△BED(边角边). AF=BD, 4.6线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 1.B2.A3.24.3 5.证明：因为∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=180°-∠C-∠A=60°.因为BE平分 ∠ABC,所以∠ABE=号∠ABC=30°，所以∠A=∠ABE.所以EA=EB.所以点E在 线段AB的垂直平分线上， 6.解：1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=(180°-∠A)=70.因为DE是AB的 垂直平分线，所以AD=BD.所以∠DBE=∠A=40°.所以∠DBC=∠ABC一∠DBE =30°，(2)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以△BDC的周长为BD十 CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC=9+5=14. 第2课时作线段的垂直平分线 1.C2.B3.74.14 5.解：如图，△ABC即为所求. E (第5题图) (第6题图) 6.(1)解：如图，AE即为所求.(2)证明：因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠DAE.在 (AB-AD, △BAE和△DAE中，∠BAE=∠DAE,所以△BAE≌△DAE(边角边).所以DE=BE. AE=AE, 第5章直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.D2.D3.C4.直角三角形5.20° 6.解：(1)因为AB=AD,F是BD的中点，所以AF⊥BD,∠DAF=∠BAF=20°.所以 50— ∠AFD=90°.所以∠ADB=90°-∠DAF=70°.(2)在Rt△ACF中，因为∠AFC=90°， E是AC的中点，所以EF=言AC=3 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.D2.C3.94.3 5.解：因为AD⊥AB,所以∠BAD=90°.因为DE垂直平分AC,所以AD=CD=2.因 为BD=BC-CD=4,所以BD=2AD.所以∠B=30°. 6.解：因为∠C=90°，∠B=30°，所以∠CAB=90°-∠B=60°.因为AD是∠CAB的平 分线，所以∠CAD=∠BAD-=号∠CAB=30=∠B.所以AD=BD,AD=2CD.所以 BC=CD+BD=3CD=6cm.所以CD=2cm. 5.2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.B2.A3.C4.√65.7.2 6.解：因为∠C=90°，所以a2+6=c2.(1)因为a=16,b=12,所以c=√a2+6=20. (2)因为c=41,b=9,所以a=√c2-b6=40. 7.解：因为△ABC是等边三角形，所以BC=AB=2cm.因为AD是△ABC的高，所以 ∠ADB=90,BD-合BC=1cm在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=√AB-BD =√Bcm所以SaAc=2BC·AD=V3cm. 第2课时勾股定理的应用 1.C2.B3.A4.105 5.解：(1)根据题意，得AB⊥BC,AB=5m,AC=13m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AC-AB=12m.(2)12÷1=12m/s=43.2km/h<60km/h,所以这辆小汽 车未超速. 第3课时勾股定理的逆定理 1.B2.B3.96 4.解：由题意，得AB2=22+12=5,AC=42+22=20,BC2=52=25,所以AB2+AC= BC.所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 5.(1)证明：由题意，得AC=3km,CD=4km,AD=5km,所以AC+CD=AD2.所以 △ACD是直角三角形，且∠C=90°.(2)解：因为CD=4km,BD=2km,所以BC=CD +BD=6km.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC=3√5km.所以石子 路AB的长为3√5km. 5.3直角三角形全等的判定 1.D2.A3.2 4.解：如图，Rt△ABC即为所求 A b -N B 三.①D证明在R△ABD和R△CBD中BA_C,所以R△ABD≌R△CBDC斜边、 直角边).(2)解：因为Rt△ABD≌Rt△CBD,∠ABC=70°，所以∠ABD=∠CBD= 号∠ABC=35.所以∠BDC=90-∠CBD=5 5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.33.65 4.证明：过点D作DELAB于点E,因为AB=6,SAD=合AB,DE=6,所以DE= 2.因为CD=2,所以CD=DE.因为∠C=90°，所以CD⊥AC.所以AD平分∠BAC. —51