4.3.1全等三角形的概念与性质（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.3.1全等三角形的概念与性质 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 全等三角形的概念 题型二 由全等三角形的性质求线段长度 题型三 由全等三角形的性质求角度 题型四 由全等三角形的性质求周长 题型五 由全等三角形的性质求面积 题型六 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 能力提升题 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 题型二 由全等三角形的性质探究动点问题 题型一 全等三角形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 2．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 3．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   4．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，其中点A与点D是对应顶点，分别写出的对应边，的对应角． 题型二 由全等三角形的性质求线段长度 6．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知，，则的长为（  ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，已知，，，则的长度为（   ） A．7 B．5 C．4 D．3 9．如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 10．如图，，，． (1)分别写出与相等的角，与相等的线段： (2)若，，求的长． 11．如图，已知，点是的中点，与交于点，若． (1)求的长度； (2)直接写出的度数． 题型三 由全等三角形的性质求角度 12．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A． B． C．或 D．，或 14．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 15．如图，，在一条直线上，且和是一对对应顶点，如果，那么将围绕点顺时针旋转（   ）与重合． A． B． C． D． 16．如图，，，，求各内角的度数． 17．如图，，点E在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 18．如图，已知，，，求的度数． 19．如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 20．如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型四 由全等三角形的性质求周长 21．如图，如果，周长是32，，，为（    ）    A．12 B．10 C．9 D．8 22.如图，△ABC≌△CDA，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABCD的周长是（　　） A．14 B．11 C．16 D．12 23．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 24．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 25.如图，，点D在边上，与交于点P，已知，． （1）的度数为 ； （2）与的周长和为 ． 题型五 由全等三角形的性质求面积 26．如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，交于点G．若四边形的面积为6，则四边形（即阴影部分）的面积为 ． 27.如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    28．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 29.如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10. （1）求△ABC的周长； （2）求△ACE的面积. 题型六 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 30．如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 31．如图，已知． (1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 32．如图，已知，是的高，点在的延长线上，点在上，，和是对应边．求证：． 33．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 34．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． ． 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 35．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由 36．如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？ 37．如图，、相交于点，．求证：． 38．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 题型二 由全等三角形的性质探究动点问题 39．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 40．如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 41．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 42．如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 43．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 44．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)若，求的值； (2)填空： ①若，则 ； ②若，则 ； (3)两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积． 45．综合与实践 问题情境：如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点D在边上，点E在边上，米，米，在范围内种植谷物，在剩余空地上需要分割出一块三角形空地种植玉米（点C为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． (1)种植谷物的面积为___________平方米； (2)可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案： ①如图2，在边上取一点G，在边上选取点H，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长； ②还有其他全等情况也符合设计要求（点G在边上，点H在边上），请直接写出其他符合设计要求的方案中的长：___________米； (3)还可以利用中线分割的方法设计方案：如图3，选取的中点P，连接，选取的中点Q，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明此方法的正确性． 46．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到，等式变形可得，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若，直接写出的值为______； (2)类比应用：若，则_______；（直接写结果） (3)知识迁移：两个全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，设，求四边形的面积的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1全等三角形的概念与性质 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 全等三角形的概念 题型二 由全等三角形的性质求线段长度 题型三 由全等三角形的性质求角度 题型四 由全等三角形的性质求周长 题型五 由全等三角形的性质求面积 题型六 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 能力提升题 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 题型二 由全等三角形的性质探究动点问题 题型一 全等三角形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 4．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∴中间小正方形的面积为， 故选：． 5．如图，已知，其中点A与点D是对应顶点，分别写出的对应边，的对应角． 【答案】的对应边是，的对应角是． 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据题目中的图形和全等三角形的性质，可以写出的对应边，的对应角． 【详解】解：∵，点A与点D，点B与点F，点C与点E是对应顶点， ∴的对应边是，的对应角是． 题型二 由全等三角形的性质求线段长度 6．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①、③符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 不一定成立，故②不符合题意． 综上可知，正确的有3个， 故选C． 7．已知，，则的长为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 8．如图，已知，，，则的长度为（   ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，，结合即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故选：D． 9．如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：A． 10．如图，，，． (1)分别写出与相等的角，与相等的线段： (2)若，，求的长． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 11．如图，已知，点是的中点，与交于点，若． (1)求的长度； (2)直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，熟练地运用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质证明，，再利用中点的含义求解 从而可得答案； （2）利用全等三角形的性质证明，，再求得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】（1）解： ， ∴， 为的中点，， ， ； （2），，， ，， ． ∴． 题型三 由全等三角形的性质求角度 12．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 13．如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A． B． C．或 D．，或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等作出判断即可． 【详解】解：∵对应角相等， ∴． 故选：B． 14．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和以及三个角的比例求出的度数，再利用全等三角形对应角相等得出的度数． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 15．如图，，在一条直线上，且和是一对对应顶点，如果，那么将围绕点顺时针旋转（   ）与重合． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质． 根据可知，由于两个三角形全等，故只需要旋转即可重合． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴绕着C点顺时针旋转即可与重合． 故选D． 16．如图，，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由全等三角形的性质得到，．又因为，，故，，最后运用三角形内角和定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：， ，． ，， ，， ． 17．如图，，点E在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．（1）根据全等三角形对应边相等解答即可．（2）根据全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴． 18．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键． 根据全等的性质得出，，并结合平行的性质可得，最后得出答案． 【详解】，， ， ， ， ， ， 19．如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定和性质． 根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而证明，可得，进而计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 20．如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四 由全等三角形的性质求周长 21．如图，如果，周长是32，，，为（    ）    A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，得出对应边相等，再结合周长是32，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵周长是32， ∴， 即， ∴， 故选：B． 22.如图，△ABC≌△CDA，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABCD的周长是（　　） A．14 B．11 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，进而求出四边形ABCD的周长． 【详解】∵△ABC≌△CDA， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝3，BC＝4， ∴四边形ABCD的周长AB+BC+CD+DA＝3+3+4+4＝14， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，此题难度不大． 23．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【答案】的周长为． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：，，，， ，， ， 的周长为． 故的周长为． 24．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 25.如图，，点D在边上，与交于点P，已知，． （1）的度数为 ； （2）与的周长和为 ． 【答案】 /66度 【分析】（1）根据求得，再结合全等三角形的性质求解即可； （2）根据可得，进而即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴与的周长和 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型五 由全等三角形的性质求面积 26．如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，交于点G．若四边形的面积为6，则四边形（即阴影部分）的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 27.如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 28．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：：， ． 又， ． 又， ． ； （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 29.如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10. （1）求△ABC的周长； （2）求△ACE的面积. 【答案】（1）24；（2）50 【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案； （2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案. 【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24 （2）∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE 又∠B=90° ∴∠ACB+∠BAC=90° ∴∠ACB+∠DCE=90° ∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90° ∴△ACE的面积= 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式. 题型六 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 30．如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． （1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 31．如图，已知． (1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，再利用内错角相等，两直线平行得到，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．如图，已知，是的高，点在的延长线上，点在上，，和是对应边．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，垂直的判定等知识；根据全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即． ∴． 33．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【答案】(1)见解析 (2)为直角 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，再结合，即可得证； （2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得，再结合平角的定义求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当满足为直角时，． 34．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，平行线的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出，证明，求出，即可得出结论； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 35．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）结合，则，根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， 即； （2）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ， ，， 则， ∴， ∴， 则， ∴． 36．如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？ 【答案】相等，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形对应角相等可得，再根据等式的性质两边同时减去可得结论． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， 即． 37．如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 38．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)结论不成立，有，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）①如图①，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②∴， ∴； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型二 由全等三角形的性质探究动点问题 39．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或， 故答案为：1或． 40．如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度为，则，，，由于，则分两种情况：当时，则，；当时，则，，然后分别求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ∵， ∴当时， ∴，时， ∴，， 解得：，； 当时， ∴，， ∴，， 解得：，， 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 41．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，与全等 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 42．如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 【答案】(1)； (2)2或3 【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据“路程速度时间”求解即可； （2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； （2）解：当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 43．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或6 (3)或或或 【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解； （3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论： 若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为， 当时，点P在边上，此时； 当时，点P在边上，此时； 综上所述，当时，；当时， ； （2）解：∵，，， ∴， 如图，当点P在边上时，， 此时， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 如图，当点P在边上时，过点C作于点K，， 此时， ∵， ∴，即， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 综上所述，当或6时，的面积等于面积的； （3）解：∵， ∴点A和点D为对应点， 设点Q的运动速度为， 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 44．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)若，求的值； (2)填空： ①若，则 ； ②若，则 ； (3)两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)①11②2 (3)30 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形式进行求解即可； （3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； 故答案为：11； ②，， ∴ 即， ∴； 故答案为：2； （3）解：三点共线，且 三点共线， ，， ， ； ． 45．综合与实践 问题情境：如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点D在边上，点E在边上，米，米，在范围内种植谷物，在剩余空地上需要分割出一块三角形空地种植玉米（点C为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． (1)种植谷物的面积为___________平方米； (2)可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案： ①如图2，在边上取一点G，在边上选取点H，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长； ②还有其他全等情况也符合设计要求（点G在边上，点H在边上），请直接写出其他符合设计要求的方案中的长：___________米； (3)还可以利用中线分割的方法设计方案：如图3，选取的中点P，连接，选取的中点Q，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明此方法的正确性． 【答案】(1)6； (2)①米；②6； (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可； （2）①当时，米，进而可求出的长； ②当时，米，进而可求出的长； （3）根据中线的性质求出的面积，即可判断畅畅的想法是否正确． 【详解】（1）解：∵，米，米， ∴种植谷物的面积（平方米）． 故答案为：6； （2）①∵， ∴米， ∴（米）； ②∵, 则当时， 米， ∴（米）； 故答案为：6 （3）解：∵米，米， ∴（平方米）． ∵P是的中点， ∴平方米． ∵Q是的中点， ∴平方米． ∴， ∴此想法正确． 46．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到，等式变形可得，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若，直接写出的值为______； (2)类比应用：若，则_______；（直接写结果） (3)知识迁移：两个全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，设，求四边形的面积的大小． 【答案】(1)3 (2) (3)28 【分析】本题考查了全等三角形的性质、完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据代入计算即可得； （2）根据和代入计算即可得； （3）先根据全等三角形的性质可得，，设，，从而可得，，再根据四边形的面积，利用完全平方公式变形运算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ ， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，， 设，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴四边形的面积 ， 所以四边形的面积的大小为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $