精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期开学摸底检测数学试题

2025年秋高三开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 考查范围：必修部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 定义在上的奇函数满足且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若存在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的化简结果是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，，则边上的高为 A. B. C. D. 7. 设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 A. 若与共面，则与共面 B. 若与是异面直线，则与是异面直线 C 若==，则 D. 若==，则= 8. 甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确是 A. z不可能为纯虚数 B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数 C. 若,则z是实数 D. 可以等于 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有3个不同实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为______小时．（精确到1小时） 13. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 14. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15 已知集合，． （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求m的取值范围． 16. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）若，使得，求实数的取值范围. 17. 已知函数（其中为常数） （1）求的单调递减区间； （2）若时，的最大值为4，求的值； （3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 18. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形矩形，求点坐标. 19. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋高三开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 考查范围：必修部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合，然后再求交集运算. 【详解】由，解得，所以集合 又，所以 故选：B 2. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】 ，选C. 3. 定义在上的奇函数满足且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得在也单调递减，分别讨论和，利用单调性可求解. 【详解】是奇函数，，， 在上单调递减，在也单调递减， 当时，不等式化为，即，解得， 当时，不等式化为，即，解得， 综上，不等式的解集是. 故选：C. 4. 若存在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离可得存在满足，令，，利用函数的单调性求出，即可得解. 【详解】因为存在满足， 即存在满足， 令，， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：A 5. 若，则的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解. 详解】 ， 由于，所以，故， 故选：D 6. 在中，若，，，则边上的高为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据求出，，由余弦定理求出，根据等面积法求解边上的高. 【详解】设中角所对边为 依题意，，而， 解得，，由余弦定理 故，设边上的高为 故，即， 解得. 故选：B 【点睛】此题考查利用余弦定理解三角形，求出三角形的基本量，通过等面积法求边上的高，根据正切值求正余弦值的时候注意角的取值范围对正余弦值的符号的限制. 7. 设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 A. 若与共面，则与共面 B. 若与是异面直线，则与是异面直线 C. 若==，则 D. 若==，则= 【答案】D 【解析】 【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直． 【详解】对于选项A，若与共面，则与共面，正确； 对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确； 如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误； 对于C,当四点共面时显然成立， 当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确； 【点睛】本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题． 8. 甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可得解. 【详解】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名， 共有这6种情况， 选出的名教师来自不同学校共有这4种情况， 所以所求概率为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是 A. z不可能为纯虚数 B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数 C. 若,则z是实数 D. 可以等于 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积是否为0验算A，由向量加法验算B，由向量减法、模的计算公式验算C，由投影向量的定义验算D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有3个不同实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，推导出，所以的周期为8，可判断A；根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围，可判断B；根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数，可判断C；画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数，可判断D. 【详解】因为，所以， 因为，故，所以， 即，所以，所以， 所以的周期为8，因为，所以 因为， 所以， 因为时，，所以，故，A错误； 当，，所以， 当，，， 所以， 综上：当时，的取值范围为，B正确； 因为，所以关于对称， 故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确； 画出与的图象，如下： 显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为______小时．（精确到1小时） 【答案】9 【解析】 【分析】先根据函数解析式得出函数的单调性，进而结合已知得出.将代入函数，求出，进而根据可推得，得出分段函数解析式.代入，即可得出答案. 【详解】根据函数的解析式可知，当时，单调递减；当时，为常数. 且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时， 所以有， 所以，. 又，所以. 所以，. 所以. 故答案为：9. 13. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把数据排序，再分删除数不同分别求出中位数即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3， 若删除数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3， 若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5， 故所求概率为. 故答案为：. 14. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式可得，即可根据勾股定理求解母线，由圆锥的侧面积公式代入计算即可. 【详解】由题意可知：圆锥的底面圆半径为，则，解得， 故圆锥的母线，故侧面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式确定集合A，根据集合的交集以及并集运算，即可求得答案； （2）由题意可得且，列出相应不等式组，即可求得答案． 【小问1详解】 解可得， 故， 当时，， 所以，； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以且，则，解得. 所以m的取值范围是. 16. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）由参变量分离法可知， ，使得，令，可得出，利用单调性求出函数上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，由可得，解得或， 故当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 解：因为，使得， 因为，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，则， 故. 17. 已知函数（其中为常数） （1）求的单调递减区间； （2）若时，的最大值为4，求的值； （3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性计算求解； （2）根据正弦函数值域计算求参； （3）根据正弦函数值域及2个交点计算求参. 【小问1详解】 由， 解得. 函数的单调减区间为. 【小问2详解】 . 的最大值为 【小问3详解】 由（2）得： . 又 18. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）利用向量的夹角公式即可求解. （3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【小问1详解】 向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； 【小问2详解】 ， 解得， 【小问3详解】 设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 19. 如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点． （1）求证：平面AEG∥平面BDH； （2）求点A到平面BDH的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可. 【小问1详解】 连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH， 所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，， 所以平面AEG∥平面BDH． 【小问2详解】 记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，， 因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以， 在△PBC中，， △BCH中，， 同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD． 在△BDH中，，， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $