4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册（北京专用）

**基本信息** 聚焦等比数列前n项和公式，通过基础选择、中档填空、综合解答分层设计，实现从公式直接应用到实际问题解决的知识巩固，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|单选题1-5直接求Sₙ、公比，巩固公式记忆与基本运算| |中档|公式综合运算与性质|填空题11-14结合等比数列性质及函数特征，提升推理能力| |提升|实际问题与多知识综合|解答题15综合等差数列与等比数列，解决实际情境问题，发展应用意识|

4.3.2等比数列的前项和公式同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等比数列的前项和 【答案】，   ， 2．等比数列前项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的________ (2)当公比时，因为，所以是的________. 温馨提醒：当，所以的结构形式. 【答案】 指数型函数 正比例函数 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】当，由等比数列的求和公式，可得， 所以是的指数型函数； 当，由等比数列的求和公式，可得，所以是的正比例函数. 故答案为：指数型函数；正比例函数. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（2026·北京门头沟·一模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．31 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列性质可得，即，解得； 又，可得； 所以. 2．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 3．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）设 则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的各项构成一个首项为，公比为的等比数列， 指数为，共计项， ． 4．（25-26高二上·北京东城·期末）已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差，即可结合等比数列的性质求解. 【详解】由，可得， 故，即，故公比. 故选：B 5．（25-26高二下·北京·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．24 B．48 C．36 D．60 【答案】B 【分析】根据等比数列部分和的性质求解. 【详解】由等比数列的性质可知， ，，成等比数列， 所以，解得. 6．（24-25高二下·北京·期中）各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（    ） A．10 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和的性质列式求解. 【详解】正数的等比数列的前n项和为，则成等比数列， 则，于是， 所以. 故选：D 7．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列定义求解并验证即可. 【详解】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·北京·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又， 所以， 所以，， 所以. 故选：A 9．（2026·北京门·阶段测试）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和得第二天织布数. 【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列， 由题知，得，所以第二天织布尺数为. 故选：B. 10．（25-26高二下·北京怀柔·阶段测试）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 二、填空题 11．（2026·北京东城·二模）已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 【答案】 8 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，结合前两项的大小关系确定通项公式，然后可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，因为，，所以，解得或. 若，则，此时，所以. 若，则，此时前4项分别为：，，，； 其和为. 12．（25-26高一下·北京·期中）若等比数列的前项和，则公比______. 【答案】2 【分析】根据前项和求得，，进而求解公比即可. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以，， 所以，， 所以等比数列的公比. 13．（25-26高二上·北京·期末）已知是等比数列，若，，则的前项和________． 【答案】 【分析】根据所给条件列方程求解首项与公比，再由等比数列求和公式得解. 【详解】由可得， 由可得， 又，所以，即， 所以，. 故答案为： 14．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【分析】根据等比数列的求和公式求出公比，再由通项公式求解. 【详解】因为， 所以或（舍去）， 所以， 故答案为： 三、解答题 15．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等比数列通项公式和等差中项的含义得到关于的方程，解出即可； （2）利用分组求和法结合等差、等比数列前项和公式即可得到答案． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 由已知，，成等差数列，所以，即， 又，所以，解得或， 又是各项均为正数的等比数列，则，所以； （2）由（1）可得，， 所以 . 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $4.3.2等比数列的前n项和公式同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.等比数列a,的前n项和 =----q≠1. 2.等比数列前n项和公式的函数特征 四当公比g1时，设A=,品等比数列的前n项和公式是S,=Ag-1.即S,是n的 (2)当公 比q=l时，因为a1≠0，所以Sn=na1,Sn是n的一， 温馨提醒：当 1,S,=041-q=0a1·g:所以S。=A-Ag的结构形式 1-91-91-9 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(2026北京门头沟一模)已知等比数列a的前n项和为S,且a4+a,=3:a,+a,=6:则S,= () 31 A.31 B.15 8 D.15 8 2.（25-26高二下-北京海淀期末)已知a,是等比数列，其前n项和为S,若a4=8a,'S,=a。-1则 a=() B.1 C.2 D.4 3.(25-26高二下北京顺义：阶段检测)设fn=2+2°+2+20++2n-7n∈N,则fn等于 () A.8-1 B.281-1 引8-1 C. D.2引8*4-1 > 试卷第1页（共3页） 4。(25-26高二上：北京东城：期未)已知等比数列a的前项和为S,'2S,=a4-12S4=0,-1则公 比q的值为() A.3 c D.-3 5.(25-26高二下·北京期中)在等比数列{an}中，a1+a2=3,a3+a4=12,则a5+a6=() A.24 B.48 C.36 D.60 6、(24-25高二下：北京·期中)各项均为正数的等比数列a,的前n项和为S,若S1o=2,S20=6:则 S0=() A.10 B.8 C.12 D.14 7.(24-25高二下北京海淀期中)若等比数列a的前n项和为s,=2+pp为常数)，且la,n的公比 为q,则p+q=() A.4 B.2 C.1 D.0 8。（25-26高二上北京期未)已知数列a,的前n项和为S,且s,1=3S,n∈NS,=9则a0 () A.2·319 B.319 C.320 D.2.318 9.(2026北京门·阶段测试)中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里 记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织 布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布() A B.9尺 311 D.16 10.(25-26高二下北京怀柔阶段测试)若a,是公比为g的等比数列，其前n项和为s,’a,>0则“ 0<q<1”是“sn单调递增”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 试卷第2页（共3页） 1.（2026北京东城二模）已知[a,为等比数列，a1=1'a,=4若a,>a1:则a,=一：若a,<a则 {a,的前4项和为 12.（25-26商-下：北京期中)若等比数列a.的前n项和s,=2”-1则公比g= 13.（25-26高二上北京：期末)已知a,是等比数列，若a,a,a0=2a4a,'a,=54则a,的前n项和 Sn= 14.(25-26高三上北京海淀期未)已知等比数列a,的前n项和为S,:且a,=S,=2:则a。 三、解答题 1 15.(25-26高二下北京顺义阶段检测)已知an是各项均为正数的等比数列，a1-3,且a1,a1, -3a3成等差数列. ()求a,的通项公式： (②求数列a,+n的前n项和sn 试卷第3页（共3页）