4.1数列的概念同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册（北京专用）

**基本信息** 本同步练以北京同步考题为载体，分层覆盖数列概念、分类及与前n项和关系，通过基础梳理-应用辨析-综合探究的路径巩固知识，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数列定义、分类等单一概念|教材知识梳理填空，夯实概念理解| |能力应用|前n项和与通项关系、递推应用|单选题（1-8题），训练运算与推理能力| |综合探究|数列性质判断与综合计算|解答题（15题）及多选题（9-10题），发展模型意识与创新思维|

4.1数列的概念同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照______排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的______. （2）数列与函数的关系：数列可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值. （3）数列有三种表示法，它们分别是______、______和______. 【答案】 一定顺序 项 列表法 图像法 通项公式法 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【答案】 有限 无限 3．与的关系 若数列的前n项和为，则.特别地，若对也成立，则不需要分段. 【答案】   同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·开学考试）数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，可知D错误， 当时，，可得A、C错误， 经检验B满足数列的通项公式. 2．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据题意得，由求出，代入即可求出答案. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 当时，， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 4．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，，则（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】应用递推公式计算求解. 【详解】因为数列满足，， ， 则. 故选：B. 5．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】，，，， 可见，数列的周期为， ， ． 6．（25-26高二下·北京·期中）记数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】利用分组求和计算得到答案. 【详解】因为， 所以. 7．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为偶数，则，故B不符合题意，D符合题意； 若为奇数，则，故AC均不符合题意. 8．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知数列满足：对于，均有，且，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】因为，所以依次将，，代入，即可求出. 【详解】因为对于，均有， 所以令，有， 令，有， 令，有. 故选：C. 9．（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 【答案】C 【分析】对于A，由求解即可判断；对于B，结合A即可判断；对于C，由，当时，易得，进而得到，可得，即可判断；对于D，分析可得当时，结合可得，进而判断即可. 【详解】对于A，由为常数列，则， 整理得，解得或，即或，故A错误； 对于B，由A知，当或时，为常数列，故B错误； 对于C，由， 当时，，则，同理可得， 满足对于任意正整数，成立， 而，即， 则为递增数列，故C正确； 对于D，由，当时，， 而，则，即，，则， 所以不存在正整数，使得，故D错误. 10．（2026·北京房山·二模）设 ，数列满足， ，，则下列命题中恒成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】A选项可以利用放缩法依次计算，BCD三个选项可以举反例进行判断. 【详解】A选项，若，则，则 ， 则数列是递增数列，，， ，， ， ，，所以，所以A选项正确； B选项，若，则，， 取，则，故数列是常数列，各项均为，所以B选项错误； C选项，若，则 ，取，则 ， ， ，周期为2，所以，所以C选项错误； D选项，若，则 ，取，则 ， ，，所以D选项错误. 二、填空题 11．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知数列的前项和为，则_____，_____. 【答案】 7 10 【详解】令，则， . 12．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）在数列中，，，且，则___________． 【答案】 【分析】通过列举数列的项，可得数列是周期为的周期数列，由此可得. 【详解】因为，，且，所以 ，，，，， 所以数列是周期为的周期数列. 所以. 13．（25-26高二下·北京·开学考试）已知数列的各项均为正整数，对于，若 ，且，则______，______． 【答案】 19 62 【分析】根据给定的递推公式依次计算，确定数列的周期，进而求出目标项. 【详解】依题意，由，得，，， ，，，，， 因此数列从第3项开始是周期为6的周期数列，， 所以. 14．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则______ 【答案】1 【分析】利用已知的递推公式，从开始，依次求出、最后得到. 【详解】已知，所以; 当时：，； 当时：，； 当时：. 故答案为：1 三、解答题 15．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1数列的概念同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照______排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的______. （2）数列与函数的关系：数列可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值. （3）数列有三种表示法，它们分别是______、______和______. 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．与的关系 若数列的前n项和为，则.特别地，若对也成立，则不需要分段. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·开学考试）数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，，则（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 5．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 6．（25-26高二下·北京·期中）记数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B． C．10 D． 7．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知数列满足：对于，均有，且，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 9．（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 10．（2026·北京房山·二模）设 ，数列满足， ，，则下列命题中恒成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 11．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知数列的前项和为，则_____，_____. 12．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）在数列中，，，且，则___________． 13．（25-26高二下·北京·开学考试）已知数列的各项均为正整数，对于，若 ，且，则______，______． 14．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则______ 三、解答题 15．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $