课时分层检测(7)等比数列的概念及通项公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（七） 等比数列的概念及通项公式 9.对数列{an},若点(n,an)(n∈N*)都在函数 …0 基础达标练 0… y=cg的图象上，其中c,q为常数，且c≠0， 1.（多选)下列各组数成等比数列的是( q≠0，q≠1，试判断数列{am}是否是等比数 A.1,-2,4,-8 列，并证明你的结论 B.-2,2,-2√2,4 C.x2 D.a1,a-2,a-3,a4 2数列1.竖日，票子…的个通项公 22’ 式为 ( A() B. 10.在等比数列{an}中： c(-m( D.(-1)+ (1)已知a3=2,a5=8,求a7; 3.如果一1，a,b,c,-9成等比数列，那么( (2)已知a3十a1=5,a5-a1=15,求通项公 A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 式am C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 4.设等比数列的前三项依次为√2,2,2，则它 的第四项是 ) A.1 B.2 C.2 D.2 5.在等比数列{an}中，a1=1,公比|q≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则m等于 ( A.9 B.10 C.11 D.12 6.设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4, 0 能力提升练0 a5是方程4x2-8x十3=0的两根，则a6十a7 1,(多选)下列选项中，不是{，}成等比数列的 充要条件是 ) 7.在等比数列a,2a十2,3a十3，…中，a= A.an+1=anq(q为常数) 8.在160与5中间插入4个数，使它们同这两： B.am=a1g”-1(g为常数) 个数成等比数列，则这4个数依次为 C.a7+1=anan+2≠0 D.an十1=√aman+2 85 班级 姓名 得分 2.一个各项均为正数的等比数列，每一项都等5.设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d 于它后面两项的和，则公比q= ( ≠0)的等差数列. B.3⑤ (1)证明：2a,2,2,2a依次构成等比 2 数列. C.51 (2)是否存在a1,d,使得a1,a2,a3,a依次 2 D.6+1 2 构成等比数列？并说明理由. 3.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们： 的积等于64，则这三个数是 4.已知数列{am}满足a1=1,nan+1=2(n+1) an an.设bn= n (1)求b1,b2,b3 (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明 理由； 0 创新拓展练 0… (3)求{an}的通项公式. 1.如图给出了一个“三角形数阵”， 1 4 已知每一列数成等差数列，从第 11 三行起，每一行数成等比数列，而2'4 333 且每一行的公比都相等，记第i行，816 第j列的数为a(i,j∈N*),则a53的值为 2.在①a3=5,a2十a5=6b2;②b2=2,a3+a4= 3bg;③S3=9,a4十a5=8b2三个条件中任选 一个，补充在下面的问题中，并解答， 已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n 项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1 =b1,d=q, ;求数列{an},{bn}的通 项公式 86数列(b,}的前n项和为n(92十93m2-n(185-2 若选②：因为an+1=an十n-8,所以an+1一a,=n一8， 2 所以a2一a1= -7,a3-ag=-6,…,an-an-1=n-9, :.n179+15m+n185-m=840. 以上(n一1)个等式等号两边分别相加得 2 (-7+n-9)(n-1) 整理得14n2十364n-1680=0, an-a= 即n2+26n-120=0, 解得n=4(n=-30舍去)，即4日相逢.] =2-17n+16 2 6.8[因为数列{an}是等差数列，且a1十as十ag=3ag>0,所以as>0.! 又a?十a1o=a%十ag<0,所以a<0.所以当n=8时，其前n项和 因为a1=9,所以a,=17n十34(n≥2). 2 最大，门 又a1=9也满足上式， ,S5「·.·∫a1十a?一a5十a0.了a5。”.Sn的最大值为S5.] a50, 所以a,=”-17n+34 2 8.5或6[d<0,ag1=lagl,.a3>0,ag<0且a3十ag=0..ag=0. ∴.a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a>ag>…,.当n=5或6时， 当n≥15时，an>0,故Sn不存在最大值. S,取到最大值.] !创新拓展练 9,解从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为： 解(1)给出的通项公式为an=2n十4. a1,a2,,a25. 理由如下： 由题意可知，此数列为等差数列，且41=24，公差d=-】 因为对任意n∈N”,a+an=2(n十1)十4-2n-4=2, 3· 所以{an}是公差为2的等差数列. 25辆翻斗车完成的工作量为a1十a2十…十a25=25×24十25X12×: 对任意m,n∈N*,且m≠n, (号）=50，而高要充成的工作量为24×20=480， am十an=2m+4十2n十4=2(1十n十2)十4=am+m+2, 所以{an}是“Q数列”. ,500>480,∴.在24小时内能构筑成第二道防线， 15u=12a1+12X114>0. (2)周为a,}是等差数列，所以S,=u6+2n+①=+5m(m∈ 10.解(1)依题意 2 a=13a1+18X124<0. N*). 2 因为Sn单调递增，且51=72十5×7=84<100，S8=82十5×8= 即/2a+11d>0 ② 104>100,所以n的最小值为8. la1+6d0. ② 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容： 由a3=12,得a1十2d=12. ③ 3 将③分别代入①@，得4十70·解得 ①a,=3n十3S,=号r十号，n的最小位为7： 3+d<0, 24<d-8. ②am=6n,Sm=3n2十3n,n的最小值为6. (2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0 课时分层检测（七） 且an+1<0,则S,最大 :基础达标练 由于S12=6(a6十a7)>0,S13=13a7<0,可得a6>0,a7<0, 故在S1,S2,…,S12中S；的值最大. 1,ABD[由等比数列的定义，知A、B、D是等比数列，C中当x=0时， 能力提升练 不是等比数列.] 1.ABC[因为Sn是等差数列{an}的前n项和 :2.D[根据数列可知，该数列是一个以1为首项， 所以Sn=an2十bn(a,b为常数，n∈N”), 为公比的等比 2 则其对应西效为y=ax2十bx, -1 当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选} 数列，所以该数列的通项公式为a,=1× =(一1)2× 2 项C; 当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选： () .] 项A,B； 选项D中的曲线不过原点，不符合题意.] 13.B[:b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，∴b=-3,且a,c 2.C[由已知可得a,=10-2m,所以数列an}是以首项为8，公差为必同号.ac=}=9.] 名的等装，所以》9当”A[a用9语，=矿万 21.] 4或n=5时，Sn取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足5.C[在等北数列{an}中，：a1=1,an=a1a2aa4a5=aig°=g°. Sn≥k,所以满足条件的为n=4和n=5,因为S=S6=18,所以实数！ k的取值范围是(18,20们]. ,am=a1qm-1=qm=1,.m-1=10,.m=11.] 3视中题处爱队年起换修费北卡的年推加石有年年的身618[由题意得a=子4西受g-二-a,十4=(a十灯 修费成等差数列，设从第一年起，每年的雏修费构成的等差数列为！ (a,,则其首项为12，公差为4，所以So=10×12+2×10×9×4 (2+号)×3=18] =300(万元).月 7.-4[由题意，得(2a十2)2=a(3a十3)，解得a=-4或a=一1， 4.20[设等差数列{an}的公差为d, 当a=一1时，2a十2=0,3a十3=0，不满足条件，当a=-4时，等比 由a士a十a,=3a土9d99；解得a=39. 数列为一4，一6，一9，…，满足条件，门 1a2+a5+ag=3a1+12d=93, d=-2, :8.80,40,20,10[设这6个数所成等比数列的公比为g,则5=160g, S,=mar+Dd=39n-n(n-1)-40n 2 六g=329=2这4个数依次为80,40,2010.] =-(n-20)2+400. :9.解由题意知，an=cg,因为c≠0,9≠0,9≠1， .当n=20时，S取得最大值， antlco 对任意n∈N”都有S,n≤Ss成立，则Ss为数列{Sn}的最大值，故 a -=q为定值常数，且a1=cg k=20.] 所以数列{an}是以cg为首项，q为公比的等比数列 ,a1=9,所以{an}是首项为9，公 1 5.解若选①：因为an+1一am= 差为一号的等差数列 ,期调为号-号分-号 所以g=4,a1= a3_21 所以a,=9+(m-1)·(-寸) g4=2 1 ,82 所以a,=a1·g=号×4=32. 9n+9 (2)a4+a1=a1(g2+1)=5, 由号+号>0，得n<82, 1 a5-a1=a1(q-1)=15, 所以S,存在最大值，且最大值为Sg1或S2, 所以g一1=3， 因为51=81×9+81X0×(（号）=869.所以5，的装大值 所以g=4, 2 所以a1=1,q=士2， 为369. 所以an=a1g”-1=(士2)"-1 167 能力提升练 故an=a1十(n-1)d=2n-1,bn=bg-1=2m-1. 1,ABD[对于A,a+1=anq,当q=0,an=0时，等式成立，此时不是 选条件③： 等比教列，故错误；对于B,an=a19”-1,当q=0,a1=0时，等式成立， 因为S1=9,所以3a1十3d=9, 此时不是等比效列，故错误；对于C,根据等比数列等比中项的性质 因为a1十a;=8b2,a1=b1,d=g,所以2a1十7d=8a1d, 可以判定此教列为等比数列，故正确；对于D,a+1=√aan+2,当an 联立3a1十3d=9, =0,an+1=0,an+2=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误.] 12a1+7d=8a1d, 2.C[依题意a1=a2十a3,∴.a1=a1g十a1g2,,a1≠0，.g2十g-1=} 0.q=2 一1-5（舍去）.门 解释侣 s 3 2 d-8 3.2,4,8或8,4,2[设这三个数所成等比数列中的项依次为，a,a9 9 则a1=b1=1,d=q=2, (aq≠0). 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1g-1=2m-1 则只十a十ag=14,只·a·a9=64, 课时分层检测（八） 基础达标练 pa(+g+日)）F14a3=64, i1.C['axas-aj-axas.i.asas-2.] 解得a=4,9=2或2. 2.A[因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2,所以an=2X 4-1=22n-1,l0gan=10g222m-1=2n-1,所以数列{log2an}是公差为 故这三个所成的等比数列为8,4,2或2,4,8.] 2的等差致列.] 4.解（1)由条件可得a,+1=2n+卫。 1 . 3.A[由题意得ay=2a1,a4=4a1,a4=8a1.所以a十a些=2a十2a 2ag十a18a1+8a1 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12. ÷ 从而b1=1,b2=2,b3=4. !4.A[依题意知，金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列， (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 在这个等比数列{an}中，首项a1=4,则a5=2, 由条件可得号2，即6,1=26， n十1n 所以a=√a1·a=V4X2-2V瓦. 又b1=1,所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列 即从粗端开始的第三尺的重量是2√2斤，故选A.] (3)由(2)可得2=2-1，所以4，=n·2m-1 5B[十1+1十上=ta+a+a.:在等比数列(a,}中， a a2 a3 a aa aaz 5.解（1)证明因为221=2%+1，=24(m=1,2,3)是同一个常 a1a1=aa=-3,所以1十+1十L=a+a+a:十a 2“n 数，所以21,22,23，a“1依次构成等比数列. (2)不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列.理由如下： 令a4十d-a,则a1a2,a,a1分别为a-4a,a千d,a十2da>d,>6.1536[由题意知g=a=8,am+l5=an·g5=3X8=1536.] am -2d,d≠0). 假设存在a1,d使得a1,a,a,a依次构成等比数列， 7.4[因为a,a+1=2”,所以an-1an=2-1(n≥2)，所以2=2(n≥ an- 则a=(a-d)(a十d)3,且(a十d)i=a(a十2d). 2), 令14，则1=1t)1十)，且1+)三（十21）日 数列(a}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故1 （-号<4<1，≠0）化简得+22-2=0（(*).且f=1+1. 22=4.] -1+√5 将2=1+1代入（￥）式，得(1+1)十2(1+1)-2=2+31=1+1+8.2 [已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，即(c-a)2= 3t=4十1=0，则1=一4 (b-c)(b-a),把c=a十x(b-a)代入上式，得x2(b-a)2=[b-a-x 显然1=一十不是上面方程的解，矛盾，所以猴设不成立， (b-a)](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,因为b>a,所以b a≠0，所以2=1-，即x2十工-1=0，解得=二1十5或工 因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列. 2 创新拓展练 5 15(含去).] 1.16 [第一列构成首项为子，公差为子的等差数列，所以a1 9.解设该城市的人口年平均增长率为x(0x<1). 十（行一）X=年又周为从第三行起每一行数成等北数列， 则该城市2015年年底到2023年年底人口致量组成等比数列，记为 {an}: 且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为号，公比为子的等 则a1=100,g=1十x, 2023年年底人口数量为a=a1g=100(1十x) 比数到，所以aa=号×（合）广=最] 2023年年底，住房总面积为100×5十8×245=2460（万米2）. 2460 2.解选条件①： 由题意得1001+=24， 因为a3=5,所以a1十2d=5, 因为a2十a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d, 即(1+器 联立了a1十2d=5, (1十x)8≈1十8.x(0x1) 2a1+5d=6a1d, 41 1+8≈40x≈0.003. 解得1或 (舍去)， 该城市的人口年平均增长率约是0.3% 1d=2 d12 5 :10.解因为数列{cn+1一cn}为等比数列， 所以当n≥2时，有(cn+1一pcn)2=(cn-cm-1)(cn+2一pcn+1), 则a1=b1=1,d=q=2, 将c=2”十3”代入上式得， 故a=a1十(n-1)d=2n-1,bn=b1g-1=2”-1. [2m+1+3m+1-p(2"+3")]2=[2+3"-p(2-1+3-1)门·[2+2+ 选条件②： 3m+2-p(2+1+3+1)], 因为b2=2,a1=b1,d=g,所以a1d=2, 因为ag十a1=3b3,所以2a1十5d=3a1d2, 整理得日(2-p)(3-p)·2”·3”=0, 联立∫a1d=2, 解得p=2或p=3. 2a1+5d=3a1d, 能力提升练 解得份日一合去 1.C[T13=4T, d=2 .a1a2…aga1ea11a12a13=4a1a2…ag, 则a1=b1=1,d=q=2, .a10a11a12a13=4, 168