奥数培优专题10 数字与尾数周期（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题十 数字与尾数周期 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：乘积尾数周期 3 考点二：数字排列周期 4 考点三：周期求和 6 考点四：星期与日期周期 8 考点五：复杂周期推理 9 第三部分 易错避坑指南 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、基础夯实篇（8题） 13 二、能力进阶篇（7题） 13 三、思维跃迁篇（5题） 14 第五部分 精准解析 16 一、基础夯实篇解析 16 二、能力进阶篇解析 18 三、思维跃迁篇解析 20 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第六单元的奥数培优内容，核心是"周期问题"，依托乘积尾数周期、数字排列周期、简单周期求和、星期日期周期、复杂周期推理五大考点，系统梳理寻找周期、利用周期解决问题的方法，培养发现规律的数学眼光。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 尾数周期 一个数自乘，尾数循环出现 列举找周期→算余数→找对应 只看个位相乘，不用算全部 数字排列周期 按规律重复的数字串 找周期长度→总数÷周期→看余数 余数是几就是第几个，余0是最后一个 周期求和 周期内先求和，再乘周期数 一个周期的和×完整周期数+余下的和 余下的要从第一个开始加 星期周期 7天一循环 总天数÷7看余数→从起点往后数 算天数要注意是否包含首尾 多重周期 两个周期叠加 找两个周期的最小公共周期 分别分析再找公共循环 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 列举找周期法 尾数、数字排列周期 从小到大列举→发现重复→确定周期 多写几个，重复出现就是周期 余数定位法 求第几个是什么 总数÷周期=组数……余数→余几第几个 余0就是周期最后一个 分组求和法 周期求和问题 先算一组的和×组数→再加余下的 整组先算，剩下的单独加 枚举验证法 周期不明显的题 多写几项找规律→验证周期是否正确 至少写两组重复才确认周期 最小公倍数法 多重周期问题 分别找周期→求最小公倍数→新周期 两个周期相遇用最小公倍周期 三、奥数思维提升 1. 周期思想：周而复始的规律 核心要点：生活中很多现象是重复出现的，比如星期、四季、昼夜。数学中也有很多重复的规律，找到周期就能用除法快速定位，不用一个个数。 示例：2的乘方尾数：2、4、8、6、2、4、8、6……每4个一循环。求2的20次方的尾数，不用全算，20÷4=5余0，就是周期最后一个：6。 2. 余数思想：余数决定位置 核心要点：周期问题的核心是余数。总数除以周期长度，商是有几个完整周期，余数是下一个周期的第几个。余数是几就对应第几个，余0就是最后一个。 示例：一串珠子按红黄蓝红黄蓝排列，第20颗什么颜色？周期=3，20÷3=6组……2颗，余2对应第2个颜色：黄色。 3. 整体思想：整组计算更高效 核心要点：周期求和不用一个个加，先算一个周期的和，乘以完整周期的个数，再加上余下的几个。把一个周期当整体，计算又快又准。 示例：数列1、2、3、1、2、3……前20项的和。周期和=6，20÷3=6组余2，和=6×6+1+2=36+3=39。 4. 归纳思想：从特殊到一般找规律 核心要点：遇到周期问题，先从小的开始列举，多写几个，观察什么时候开始重复。归纳出周期后，再用周期解决大数的问题。 示例：找3的乘方尾数规律：3¹=3，3²=9，3³=27→7，3⁴=81→1，3⁵=243→3，发现周期=4。归纳出周期后就能求任意次方的尾数。 5. 对应思想：位置与元素一一对应 核心要点：周期中每个位置对应固定的元素。第1个、第1+周期个、第1+2×周期个……都是同一个元素。位置差是周期的倍数，元素就相同。 示例：星期周期是7。今天星期一，7天后还是星期一，14天后也是星期一。只要天数差是7的倍数，星期几就相同。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：乘积尾数周期 典型例题 1（基础型）—— 2的乘方尾数 题目：2×2×2×……×2（共10个2相乘），积的个位数字是几？ 解题步骤： ① 列举找周期： 1个2：2 → 个位2 2个2：4 → 个位4 3个2：8 → 个位8 4个2：16 → 个位6 5个2：32 → 个位2（重复了） ② 周期=4，周期内：2、4、8、6； ③ 10 ÷ 4 = 2组……2个； ④ 余2，对应周期中第2个：4； ⑤ 答：积的个位数字是4。 【答案】个位数字是4 【知识点睛】尾数周期：只看个位相乘，列举发现周期，用余数定位。2的乘方尾数周期是4。 典型例题 2（提高型）—— 3的乘方尾数 题目：3连续相乘23次，积的个位数字是几？ 解题步骤： ① 列举：3¹=3，3²=9，3³=27→7，3⁴=81→1，3⁵=243→3； ② 周期=4，顺序：3、9、7、1； ③ 23 ÷ 4 = 5组……3个； ④ 余3，对应周期第3个：7； ⑤ 答：个位数字是7。 【答案】个位数字是7 【知识点睛】3的乘方尾数周期也是4：3、9、7、1。余几就数到第几个。 典型例题 3（奥数型）—— 多个数乘积尾数 题目：126 × 126 × …… × 126（共50个126相乘），积的个位数字是几？ 解题步骤： ① 只看个位：都是6相乘； ② 6×6=36→个位6，6×6×6=216→个位还是6； ③ 发现：不管多少个6相乘，个位都是6； ④ 周期=1，永远是6； ⑤ 答：积的个位数字是6。 【答案】个位数字是6 【知识点睛】0、1、5、6自乘，个位永远不变，周期=1。特殊数字要记住。 考点二：数字排列周期 典型例题 1（基础型）—— 简单数字串 题目：有一串数字：1、3、5、7、1、3、5、7……按这样的规律，第28个数字是几？ 解题步骤： ① 观察：1、3、5、7重复出现，周期=4； ② 28 ÷ 4 = 7组，没有余数； ③ 余0就是周期的最后一个：7； ④ 答：第28个数字是7。 【答案】第28个数字是7 【知识点睛】没有余数（余0）对应周期最后一个元素。完整周期结束，就是最后一个。 典型例题 2（提高型）—— 混合规律排列 题目：按规律排列：1、2、3、2、1、2、3、2、1……第35个数字是几？ 解题步骤： ① 观察：1、2、3、2 然后重复，周期=4； ② 验证：第5个=1=第1个，对的，周期=4； ③ 35 ÷ 4 = 8组……3个； ④ 余3，对应周期第3个：3； ⑤ 答：第35个数字是3。 【答案】第35个数字是3 【知识点睛】周期不一定是递增的，可能先增后减。多写几个确认周期再算。 典型例题 3（奥数型）—— 文字周期 题目：把"我爱数学我爱数学……"依次重复排列，第40个字是什么？前40个字中有几个"爱"？ 解题步骤： ① "我爱数学"4个字一循环，周期=4； ② 40 ÷ 4 = 10组，余0，第40个是周期最后一个：学； ③ 每个周期有1个"爱"； ④ 10个周期共有：10 × 1 = 10个； ⑤ 答：第40个字是"学"，有10个"爱"。 【答案】第40个字是"学"，有10个"爱" 【知识点睛】文字周期和数字周期一样。求某个字出现几次，用每组个数×完整组数，再看余下的有没有。 考点三：周期求和 典型例题 1（基础型）—— 简单周期求和 题目：数列：2、4、6、2、4、6、2、4、6……前14个数的和是多少？ 解题步骤： ① 周期=3，一个周期的和：2+4+6=12； ② 14 ÷ 3 = 4组……2个； ③ 4组的和：12 × 4 = 48； ④ 余下2个：2+4=6； ⑤ 总和：48 + 6 = 54； ⑥ 答：前14个数的和是54。 【答案】和是54 【知识点睛】周期求和：一组和×完整组数 + 余下几个的和。余下的从周期第一个开始加。 典型例题 2（提高型）—— 自然数周期 题目：有一列数：1、2、3、4、1、2、3、4……第25个数是几？前25个数的和是多少？ 解题步骤： ① 周期=4，周期和=1+2+3+4=10； ② 25 ÷ 4 = 6组……1个； ③ 第25个数：余1，对应第1个=1； ④ 前25个和：10×6 + 1 = 61； ⑤ 答：第25个数是1，和是61。 【答案】第25个数是1，和是61 【知识点睛】余数既可以定位第几个，也可以用来求和。余下几个就加前几个。 典型例题 3（奥数型）—— 递增周期求和 题目：按规律排列的数：1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、1……第20个数是几？ 解题步骤： ① 观察规律：1层(1个数)、2层(3个数)、3层(5个数)、4层(7个数)……每层个数是奇数递增； ② 第1层：1个数（1），累计1； ③ 第2层：3个数（1,2,1），累计4； ④ 第3层：5个数（1,2,3,2,1），累计9； ⑤ 第4层：7个数（1,2,3,4,3,2,1），累计16； ⑥ 第5层：9个数，累计25； ⑦ 第20个在第5层，第5层从第17个开始； ⑧ 20-16=4，第5层第4个是4； ⑨ 答：第20个数是4。 【答案】第20个数是4 【知识点睛】不是所有周期都是等长的，有些是分层递增的。要分层分析，找到所在层再定位。 考点四：星期与日期周期 典型例题 1（基础型）—— 几天后星期几 题目：今天是星期三，再过20天是星期几？ 解题步骤： ① 星期周期=7天； ② 20 ÷ 7 = 2周……6天； ③ 星期三往后数6天：四、五、六、日、一、二； ④ 第6天是星期二； ⑤ 答：再过20天是星期二。 【答案】星期二 【知识点睛】星期周期=7。余几就从当天往后数几天。注意当天不算在"再过"里面。 典型例题 2（提高型）—— 日期推算星期 题目：2025年10月1日是星期三，2025年10月28日是星期几？ 解题步骤： ① 从1日到28日，经过了28-1=27天； ② 27 ÷ 7 = 3周……6天； ③ 星期三往后数6天：星期二； ④ 或者：28-1=27，27÷7=3……6，三+6=九，九-七=二； ⑤ 答：10月28日是星期二。 【答案】星期二 【知识点睛】同月内：天数差=日期差。跨月要算各月天数。算头不算尾或算尾不算头，保持一致。 典型例题 3（奥数型）—— 周期与日期综合 题目：某年的10月有5个星期六和4个星期日。这年的10月1日是星期几？ 解题步骤： ① 10月有31天，31÷7=4周……3天，说明有4个完整星期加3天； ② 有5个星期六但只有4个星期日，说明最后一天（31日）是星期六； ③ 因为如果31日是周六，就有第5个周六，但周日是下个月1号了，所以只有4个周日； ④ 31日是星期六，往前推：31-7=24也是周六，……； ⑤ 31日周六，30日周五，29日周四，28日周三……； ⑥ 31÷7=4余3，前3天里有周六，且周六是最后那个多出来的； ⑦ 31日周六，1日=31-30天，30÷7=4周余2，周六往前2天=周四； ⑧ 验证：1日周四，第一个周六是3号，然后10、17、24、31号，共5个周六，正确； ⑨ 答：10月1日是星期四。 【答案】星期四 【知识点睛】一个月有5个某星期几，说明前几天或后几天包含这个星期几。结合数量推理。 考点五：复杂周期推理 典型例题 1（基础型）—— 两列周期对应 题目：有两列数，第一列按1、2、3、1、2、3……排列，第二列按A、B、A、B……排列。第15组是（ ， ）？ 解题步骤： ① 第一列周期=3，15÷3=5组余0，第15个是3； ② 第二列周期=2，15÷2=7组余1，第15个是A； ③ 第15组是（3，A）； ④ 答：第15组是（3，A）。 【答案】（3，A） 【知识点睛】两列周期独立，分别用周期求第几个，再组合。 典型例题 2（提高型）—— 彩灯周期 题目：节日彩灯按"3红2黄1蓝"的顺序排列，第50盏灯是什么颜色？前50盏中有几盏红灯？ 解题步骤： ① 一个周期：3+2+1=6盏灯； ② 50 ÷ 6 = 8组……2盏； ③ 余2，对应周期第2盏：红色； ④ 每组3盏红灯，8组有：8×3=24盏； ⑤ 余下2盏都是红灯，再加2盏； ⑥ 红灯共：24 + 2 = 26盏； ⑦ 答：第50盏是红色，共有26盏红灯。 【答案】第50盏红色，红灯26盏 【知识点睛】多种颜色周期：先算一组有几个，再算总数里几组余几个。求某颜色数量要算完整组加余下的。 典型例题 3（奥数型）—— 双重周期相遇 题目：甲每4天去一次公园，乙每6天去一次公园。今天他们同时去了，至少再过几天他们又同时去公园？ 解题步骤： ① 甲去的日子：第4、8、12、16、20、24……天； ② 乙去的日子：第6、12、18、24……天； ③ 找两个都有的：12、24……，最早的是12； ④ 也就是求4和6的最小公倍数：12； ⑤ 答：至少再过12天。 【答案】再过12天 【知识点睛】两个周期相遇问题，求最小公倍数。最小公倍数就是共同周期。 第三部分 易错避坑指南 易错点：周期找错，只写一组就下结论 错误示例：看到2、4、8就以为周期是3（其实后面还有6才循环） 正确分析：周期要至少重复出现一次才能确定。只写几个可能还没开始循环，要多写几个确认。 修正方法：至少写出两组完整重复的，才能确定周期。宁多写几个，不要急着下结论。 易错点：余数为0时，当成第1个 错误示例：周期3，第9个：9÷3=3余0，认为是第1个（错误，应该是最后1个） 正确分析：余0说明正好分完，没有剩余，最后一个就是周期的最后一个元素。不是第1个。 修正方法：余数是几就是第几个，余数为0就是最后一个。记住：余0→最后一个。 易错点：算星期几，当天算进去重复算 错误示例：今天周三，再过3天周几？从周三开始数3天：三、四、五→周五（错，应该周六） 正确分析："再过几天"是从第二天开始算的。今天不算，过1天是明天。数的时候要从后一天开始。 修正方法："再过n天"从第二天数n天，或者直接加n再模7。今天+天数=目标星期。 易错点：周期求和，余下的从中间开始加 错误示例：周期1、2、3，余2个，加成2+3（错，应该加1+2） 正确分析：余下的是新的一个周期的前几个，要从第1个开始加，不是从中间开始。 修正方法：余下几个就加周期的前几个。余数是几就加前几个，从头开始。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 2连续相乘15次，积的个位数字是几？ 2. 有一串数：3、6、9、3、6、9……第20个数字是几？ 3. 把"ABCABC……"依次排列，第32个字母是什么？ 4. 今天是星期一，再过15天是星期几？ 5. 数列：1、3、5、1、3、5……前10个数的和是多少？ 6. 7连续相乘8次，积的个位数字是几？ 7. 彩灯按"红、黄、蓝、绿"排列，第27盏是什么颜色？ 8. 5个5相乘，积的个位是几？100个5相乘呢？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 有一列数：2、1、3、5、2、1、3、5……第41个数是几？前41个数的和是多少？ 10. 某年9月1日是星期一，9月30日是星期几？ 11. 同学们排队按"3男2女"的顺序排列，第38个同学是男生还是女生？这38人中男生有多少人？ 12. 3连续相乘30次，积的个位数字是几？ 13. 有一串数字：1、2、3、2、1、2、3、2、1……第33个数字是几？前33个数字的和是多少？ 14. 甲每3天去一次图书馆，乙每5天去一次。今天两人同时去了，至少再过几天又同时去？ 15. 8连续相乘25次，积的个位数字是几？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 2的30次方加上3的30次方，和的个位数字是几？ 17. 某年的二月份有5个星期日，这年的6月1日是星期几？ 18. 有一列数：第一个是1，第二个是3，从第三个开始每个数都是前两个数和的个位数字：1、3、4、7、1、8、9、7……第50个数是几？ 19. 在一根绳子上依次穿2颗红珠、3颗白珠、5颗黑珠，并按此方式重复。从头开始数，第77颗珠子是什么颜色？这77颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？ 20. 1到100的自然数中，所有除以4余1的数的和是多少？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】个位是8 解题步骤： ① 2的乘方尾数周期=4：2、4、8、6； ② 15÷4=3……3； ③ 余3对应第3个：8。 【知识点睛】2的尾数周期4：2、4、8、6。 2. 【答案】第20个是6 解题步骤： ① 周期=3：3、6、9； ② 20÷3=6……2； ③ 余2对应第2个：6。 【知识点睛】余数定位：余几第几个。 3. 【答案】第32个是B 解题步骤： ① 周期=3：A、B、C； ② 32÷3=10……2； ③ 余2对应第2个：B。 【知识点睛】字母周期同理。 4. 【答案】星期二 解题步骤： ① 15÷7=2……1； ② 星期一往后1天：星期二。 【知识点睛】星期周期7，余几往后数几天。 5. 【答案】和是30 解题步骤： ① 周期=3，周期和=1+3+5=9； ② 10÷3=3……1； ③ 和=9×3+1=28。 【知识点睛】周期求和：整组和+余下的和。 6. 【答案】个位是1 解题步骤： ① 7的乘方尾数周期=4：7、9、3、1； ② 8÷4=2余0； ③ 余0对应最后一个：1。 【知识点睛】7的尾数周期4：7、9、3、1。余0=最后一个。 7. 【答案】黄色 解题步骤： ① 周期=4：红、黄、蓝、绿； ② 27÷4=6……3； ③ 余3对应第3个：蓝色？不对，1红2黄3蓝4绿，余3是蓝色。 【知识点睛】数清楚周期顺序，别数错位置。 8. 【答案】都是5 解题步骤： ① 5×5=25个位5，再乘5还是5； ② 5自乘个位永远是5，周期1； ③ 所以5个、100个都是5。 【知识点睛】0、1、5、6自乘个位不变。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】第41个是2，和是113 解题步骤： ① 周期=4：2、1、3、5，周期和=11； ② 41÷4=10……1； ③ 第41个：余1→2； ④ 和=11×10+2=112。 【知识点睛】余1对应第一个。 10. 【答案】星期二 解题步骤： ① 30-1=29天； ② 29÷7=4……1； ③ 星期一+1=星期二。 【知识点睛】同月日期差：日期相减得天数差。 11. 【答案】第38个是男生，男生24人 解题步骤： ① 周期=5：3男2女； ② 38÷5=7组……3人； ③ 余3，第3个还是男生； ④ 男生=7×3+3=24人。 【知识点睛】余下的从头数，是男是女看位置。 12. 【答案】个位是9 解题步骤： ① 3的尾数周期=4：3、9、7、1； ② 30÷4=7……2； ③ 余2对应第2个：9。 【知识点睛】3的乘方尾数周期4。 13. 【答案】第33个是3，和是74 解题步骤： ① 周期=4：1、2、3、2，周期和=8； ② 33÷4=8……1； ③ 第33个：余1→1； ④ 和=8×8+1=65。 【知识点睛】先确认周期，再计算。 14. 【答案】再过15天 解题步骤： ① 求3和5的最小公倍数； ② 3和5互质，最小公倍数=3×5=15。 【知识点睛】相遇问题用最小公倍数。 15. 【答案】个位是8 解题步骤： ① 8的乘方尾数周期=4：8、4、2、6； ② 25÷4=6……1； ③ 余1对应第1个：8。 【知识点睛】8的尾数周期4：8、4、2、6。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】个位是1 解题步骤： ① 2的30次方：30÷4=7……2，个位4； ② 3的30次方：30÷4=7……2，个位9； ③ 4+9=13，个位3； ④ 和的个位是3。 【知识点睛】分别求尾数再相加，只看个位。 17. 【答案】星期六（假设2月29天，闰年） 解题步骤： ① 2月有5个周日，说明2月至少29天（闰年），且1日和29日都是周日； ② 2月29日周日，3月1日周一； ③ 3月31天，4月30天，5月31天，到6月1日共31+30+31+1=93天？从3月1日算； ④ 3月1日周一，到6月1日：31+30+31=92天后； ⑤ 92÷7=13……1，周一+1=周二； ⑥ 方法：2月29日周日，6月1日=2月29日+3月31天+4月30天+5月31天+1天=93天后； ⑦ 93÷7=13周余2天，周日+2=星期二。 【知识点睛】2月有5个某星期几，说明是闰年29天，且第一天和最后一天都是那个星期几。 18. 【答案】第50个数是1 解题步骤： ① 继续写数列：1、3、4、7、1、8、9、7、6、3、9、2、1、3……； ② 发现1、3重复出现了，检查：第12个是2，第13个是1=第1个，第14个是3=第2个； ③ 所以周期=12； ④ 50÷12=4……2； ⑤ 余2对应第2个：3。 【知识点睛】递推数列找周期，要多写几项直到发现重复开头。 19. 【答案】第77颗黑色，白珠比黑珠少17颗 解题步骤： ① 周期=2+3+5=10颗：2红、3白、5黑； ② 77÷10=7组……7颗； ③ 余7颗：前2红+3白+2黑，第7颗是黑色； ④ 白珠：7×3+3=24颗； ⑤ 黑珠：7×5+2=37颗； ⑥ 少：37-24=13颗。 【知识点睛】多种颜色分别计数，注意余下的各颜色数量。 20. 【答案】和是1225 解题步骤： ① 除以4余1的数：1、5、9、13……97； ② 这是等差数列，首项1，末项97，公差4； ③ 项数：(97-1)÷4+1=25项； ④ 和=(1+97)×25÷2=98×25÷2=49×25=1225。 【知识点睛】周期数列求和，也可以用等差数列公式：(首项+末项)×项数÷2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $