中国科学技术大学2026年新生入学考试数学试题
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2026-08-26
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摘要：
**基本信息**
开学摸底试卷通过分层问题设计考查抽象能力、运算能力及模型意识，实现高中数学基础巩固与思维诊断的开学适配价值。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|选择题|12/60|函数概念、立体几何|以科技数据为背景考查抽象能力|
|填空题|4/20|数列、概率|结合生活情境考查模型意识|
|解答题|6/70|三角函数、导数应用|通过综合问题考查推理能力与运算能力|
内容正文：
2026年中国科学技术大学新生入学考数学试题
一、填空题 每空5分
1．设正整数，并且的3进制形式不含数码0，这样的共有_________个．
2．设多项式，，则方程共有_________个实数解．
3．实数的整数部分=_________．
4．化简和式_________．
5．设函数与的定义域都是．若它们的图像有唯一公共点，则实数的取值范围是_________．
6．设实数，，满足，则的取值范围是_________．
7．设某圆锥的展开图是半径为1、圆心角为的扇形，当_________时，此圆锥的体积最大．
8．在平面中，设是定点，动点，满足，，则的轨迹所成平面区域的面积=_________．
9．设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________．
10．经竖直向下光线的完全照射，长4、宽3、高2的长方体砖块在水平地面上留下阴影，此阴影面积的取值范围是_________．
11．设随机变量，，…，独立同分布，，，则可被3整除的概率=_________．
二、解答题 每题仅可给0分（全错）、5分（小部分对）、10分（大部分对）、15分（全对）．
12．证明公式：设，，是的三边长，，则的面积．．
13．设，求函数的取值范围．
14．某蓄水池恰有一个进水口和一个出水口，进水口在每天的时刻以立方米/小时的瞬时流量向池中进水，（单位：小时）．出水口以立方米/小时的恒定瞬时流量向池外出水，假设池中的水永远不会溢出，也不会干涸（至少有1立方米水），并且没有其他补水或失水方式．求常数和水池容量的最小值．
答案第10页，共10页
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