专题1.7 三角形40道压轴题型专训 讲义（10大题型）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过10大题型分类框架系统梳理三角形知识体系，涵盖中线、边与角关系、全等、辅助线等核心内容，以经典例题为载体呈现性质、判定及计算证明的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于40道压轴题的分层设计，如全等三角形辅助线问题培养推理能力，等腰三角形性质判定题提升几何直观，每个题型包含选择、填空、解答题，基础学生可巩固方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

专题1.7 三角形40道压轴题型专训（10大题型） 目录 【经典例题一 根据三角形中线求长度和面积】 1 【经典例题二 大（小）边对大（小）角】 1 【经典例题三 与三角形高有关的计算问题】 6 【经典例题四 证明三角形全等】 6 【经典例题五 全等三角形的辅助线问题】 15 【经典例题六 垂直平分线的性质和判定】 15 【经典例题七 角平分线的性质和判定定理】 21 【经典例题八 等腰三角形的性质和判定】 26 【经典例题九 等边三角形的性质和判定】 33 【经典例题十 直角三角形的性质和判定】 38 【经典例题一 根据三角形中线求长度和面积】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·单元测试）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 3．（24-25八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·单元测试）用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 【经典例题二 大（小）边对大（小）角】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【经典例题三 与三角形高有关的计算问题】 1．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2023八年级上·安徽合肥）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 3．（25-26八年级上·山西晋中·单元测试）如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接．若的面积为，，则的面积为________． 4．（25-26八年级上·四川乐山·单元测试）如图，在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转后得到长方形，连接、、，交于点． (1)求的面积； (2)求的长． 【经典例题四 证明三角形全等】 1．（25-26八年级上·江西南昌·单元测试）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·单元测试）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为________． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，，，点O为上任意一点，过点O作直线分别交的延长线于点F，E，试说明： 【经典例题五 全等三角形的辅助线问题】 1．（25-26八年级上·辽宁抚顺）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【经典例题六 垂直平分线的性质和判定】 1．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．（24-25八年级上·江苏淮安·单元测试）如图，在四边形中，，，是的中点，，则长的最大值是__________． 4．（25-26八年级上·福建福州·单元测试）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 【经典例题七 角平分线的性质和判定定理】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 3．（23-24八年级上·江苏苏州）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【经典例题八 等腰三角形的性质和判定】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在四边形中，，于点E．若，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______ 4．（25-26八年级上·江苏泰州·单元测试）如图，四边形中，，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当，时，求的长． 【经典例题九 等边三角形的性质和判定】 1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等边中，，为上一点，连接，，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②，③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．①②③ 2．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段检测）若一个三角形的最小内角为，则下列判断中正确的是（    ） A．这个三角形是钝角三角形 B．这个三角形是直角三角形 C．这个三角形是等边三角形 D．不存在这样的三角形 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则_______． 4．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，点A、B是线段上方两点．与相交于点C，且，． (1)求的度数； (2)求证：． 【经典例题十 直角三角形的性质和判定】 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的面积为_____________． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． (1)求证：； (2)若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 三角形40道压轴题型专训（10大题型） 目录 【经典例题一 根据三角形中线求长度和面积】 1 【经典例题二 大（小）边对大（小）角】 1 【经典例题三 与三角形高有关的计算问题】 6 【经典例题四 证明三角形全等】 6 【经典例题五 全等三角形的辅助线问题】 15 【经典例题六 垂直平分线的性质和判定】 15 【经典例题七 角平分线的性质和判定定理】 21 【经典例题八 等腰三角形的性质和判定】 26 【经典例题九 等边三角形的性质和判定】 33 【经典例题十 直角三角形的性质和判定】 38 【经典例题一 根据三角形中线求长度和面积】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·单元测试）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【答案】D 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 3．（24-25八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·单元测试）用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 【答案】 【分析】①作的角平分线； ②作的垂直平分线交于点，则和面积相等 【详解】略 【经典例题二 大（小）边对大（小）角】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】略 【经典例题三 与三角形高有关的计算问题】 1．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】通过作、到直线的垂线，利用相似三角形得到与的比值等于与的比值，结合面积关系逐一分析三个说法． 【详解】解：如图，分别作直线于，直线于，则，， ∵直线于，直线于 又 即 即， ① 当，即为中点时， ，，为绝对值的最小值， 仅存在1个这样的点，故①错误； ② 由面积关系，， 得， 点运动时长度变化，故的值随的位置变化而变化，故②错误； ③ 由，得，该式对所有符合条件的点恒成立，即有无数个点满足，故③错误， 综上，正确的个数为0． 2．（2023八年级上·安徽合肥）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 3．（25-26八年级上·山西晋中·单元测试）如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接．若的面积为，，则的面积为________． 【答案】 【分析】按照设，，继而得到，按底边比例分配面积，利用折叠的性质，解得和的面积，进而求得面积． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿过点的直线折叠该纸片，点的对应点落在边上， ∴，， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等， ∴和面积比等于底边比，即， ∵的面积为， ∴， 同理可得和面积比等于底边比，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·四川乐山·单元测试）如图，在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转后得到长方形，连接、、，交于点． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再根据梯形的面积减去2个三角形的面积，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转后得到长方形， ∴ ∴ （2）解：设， ∵ ∴ 解得：， 即的长为． 【经典例题四 证明三角形全等】 1．（25-26八年级上·江西南昌·单元测试）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·单元测试）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接、，在的延长线上取，连接，先证明，再证明，问题即可解答． 【详解】连接、，在的延长线上取，连接，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，，，点O为上任意一点，过点O作直线分别交的延长线于点F，E，试说明： 【答案】 证明：在和中， ， ， ， ∴， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 由“”可证，可得，可证，可得结论． 【详解】略 【经典例题五 全等三角形的辅助线问题】 1．（25-26八年级上·辽宁抚顺）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点(点不与点重合)，连接，如图 ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点(点与点不重合)，若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使，连接，证明，得出，然后利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1) 证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）略 （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【经典例题六 垂直平分线的性质和判定】 1．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及两点之间线段最短的原理；连接，由垂直平分线的性质可得，将的周长进行转化，即可求解． 【详解】如图，连接， 由垂直平分线的性质可知：， ， ， 的最小值为， 周长的最小值为． 故选：． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·单元测试）如图，在四边形中，，，是的中点，，则长的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系．解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段和集中到一个三角形中，利用线段垂直平分线的性质将转化为，最后根据三角形两边之和大于第三边确定最大值． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 是的中点 在和 中 ， 又 是线段的垂直平分线 当点，，三点共线时，取得最大值，最大值为 ， 的最大值为 的最大值为． 4．（25-26八年级上·福建福州·单元测试）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 【答案】(1) 证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， BC＝CD，AC=AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠ACB=∠ACD； (2) ∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BAC=∠CAD， ∵CA=CE， ∴∠CAE=∠CED， ∵∠EBA=90°， ∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°， ∵PD⊥AE，MP⊥PD， ∴AE∥MP， ∴∠PMC=∠MAE=30°， ∵ME∥AB， ∴∠MEB=90°， ∴∠MEA=120°， ∵∠MAE=30°， ∴∠EMA=30°， ∵CР⊥MP，CE⊥ME， ∴∠MCP=∠MCE=60°， ∴△NEC≌△NPC (SAS)， ∴EN=PN， ∴ N是EP的中点，NC⊥PE， ∴AM垂直平分PE； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O， ∵AM垂直平分PE， ∴ME=MP， ∵∠EMP=60°， ∴∠MPE=60°， ∴∠EPD=30°， ∴∠=30°， ∴∠ MP=30°， ∵∠MЕP=60°， ∴O点与E点重合． 【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论； （2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键． 【经典例题七 角平分线的性质和判定定理】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用转化的思想求解． 过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点，则由对称可得，因为，那么当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置，再证明，即可求解． 【详解】解：过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点， 由对称可得， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴当取最小值时， 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，连接，作于点，于点，先证明，根据条件算出的面积，再求出与的比值即可解决问题． 【详解】设与相交于点，连接，作于点，于点，如图所示：       ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即和重叠部分的面积为， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系． 3．（23-24八年级上·江苏苏州）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，求得，即；过作于点，根据全等三角形的判定和性质继续进行判断即可． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ， ，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，故③正确； ④过作于点， ∵为的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． 综上可得，正确的是①②③④． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点D， 在中，①， 在中，②， 得：， ∴， 即； (2) 解：小民的发现正确，理由如下： 过点P作于点D,于点E,于点F, ∵是的平分线，，， ∴， 同理∵是的平分线，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； (3)同意小兴， 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的性质定理和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点D，在和中，根据三角形三边关系列不等式，即可求解； （2）过点P作于点D,于点E,于点F，根据角平分线的性质定理及判定定理即可求解； （3）根据角平分线的性质定理，可得点P到，的距离也是，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同意小兴的看法， ∵点P到的距离为，分别是，，的平分线， ∴点P到，的距离也是， ∴ ． 【经典例题八 等腰三角形的性质和判定】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质等，设交于，连接，作于，于，可证，可得，，即得，进而得到，，即得，得到，再求出的面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设交于，连接，作于，于，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即平分， ∵于，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角中，， ∴， ∴， 即两个三角形重叠部分的面积为， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在四边形中，，于点E．若，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，熟知判定方法及等腰三角形的性质是解题的关键．过C作于H，过D作交的延长线于F，得到，由等腰三角形的性质推出，由余角的性质推出，判定，推出，根据三角形的面积公式即可获解． 【详解】解：过C作于H，过D作交的延长线于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______ 【答案】6 【分析】根据BE、CE是角平分线和MN//BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案． 【详解】解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB， ∵MN//BC， ∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC， ∴MB=ME，NC=NE， ∵AB=AC=3， ∴△AMN的周长 =AM+ME+NE+AN =AM+MB+AN+NC =AB+AC =3+3 =6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·单元测试）如图，四边形中，，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当，时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴． (2)8 【分析】（1）根据平行线的性质，结合中点的意义，选择适当判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题九 等边三角形的性质和判定】 1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等边中，，为上一点，连接，，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②，③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键在于利用等边三角形的性质和折叠的性质，结合全等三角形的判定定理，对每个结论逐一进行分析判断． 【详解】解：判断结论①： ∵是等边三角形，， 是的垂直平分线，， 由折叠可知，， ∴， 是的垂直平分线，即： ∴结论①正确 判断结论②： 由折叠可知，， ∴， ∵是等边三角形，， 是的垂直平分线，，， 又∵， ∴，则， ，， ∴，即， 在和中，， ， ∴结论②正确 判断结论③： 由翻折可知：， ∴， ， ， ， ∴结论③正确； 判断结论④： ， ， 又， ， 两个底相同，高相同， ， ， 结论④错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段检测）若一个三角形的最小内角为，则下列判断中正确的是（    ） A．这个三角形是钝角三角形 B．这个三角形是直角三角形 C．这个三角形是等边三角形 D．不存在这样的三角形 【答案】C 【分析】因为最小内角为，则该三角形的最大角不能大于，否则最小的角将不是，则可以得到这个三角形三个角均是，即是一个等边三角形 【详解】∵最小内角为， ∴该三角形的最大角不能大于，否则最小的角将不是， ∴最大角为， ∴三角形三个角均是， ∴这个三角形是等边三角形 故选：C 【点睛】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解决问题的关键 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 作于M，延长至N使，设，先证明为等腰三角形，然后证明，推出，从而得出，即可得到是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：作于M，延长至N使，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，点A、B是线段上方两点．与相交于点C，且，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）在上取点使，连接，由得为等边三角形，结合证得．利用推出，再通过角的和差关系，最终得到； （2）延长、交于，由得为等边三角形，故．结合（1）中证得，得，进而即可证明． 【详解】（1）解：如图1，在上取一点D，使，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长、交于， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题以角为突破口，通过构造等边三角形，结合平行线性质与全等三角形判定，将陌生的角度计算与线段和问题转化为熟悉的几何模型，体现了构造法在几何解题中的关键作用． 【经典例题十 直角三角形的性质和判定】 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，由直角三角形的性质得到，则可证明：，据此可判断①； ②设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②； ③可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③； ④连接并延长交于，则点为的中点，由等边三角形的性质得到，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】解：①如图，连接， 是的中点， 点在的垂直平分线上， 的垂直平分线一定与相交于点，故①正确，符合题意； ②设 ，故②正确，符合题意； ③为的中点， ，是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形，故③正确，符合题意； ④如图 2，连接并延长交于点， 为的中点，为的中点， 点为的中点， 由③知：当为中点时，是等边三角形， ， 在中， ， 为的中点， ，故④不正确，不符合题意． 综上，正确的选项是①②③，共3个， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的面积为_____________． 【答案】8 【分析】本题考查了互余的性质，平角定义，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 过点D作交的延长线于点M，证明，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点M，如图， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． (1)求证：； (2)若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①9； ②小亮说法正确， 【分析】（1）根据，结合，得到即可得证； （2）①证明，结合，，得到解答即可； ②根据三角形全等的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的互余性质，三角形全等的判定和性质，轴对称，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握性质和轴对称性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）①证明：设的交点为点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ②解：作的垂直平分线，将沿着第一次轴对称，得到； 连接，过作的垂线，由，则为的垂直平分线，将沿着第二次轴对称，得到，如图，则直线，即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $