专题 1.7 全等三角形经典模型——倍长中线（模型梳理+题型精析+同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过表格系统梳理三角形全等倍长中线模型，明确定义及基本型、中点型、中点+平行线型的图示与证明思路，构建“模型定义-图形特征-辅助线作法”的知识脉络，突出辅助线构造全等的核心难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基本型到综合探究题，如“已知中线求取值范围”例题及变式，引导学生通过倍长中线构造全等三角形，培养推理意识与几何直观。同步检测题量适中，难度递进，助力学生巩固方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题 3.6 三角形全等经典模型——倍长中线（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型 1】倍长中线——基本型 2 【题型2】倍长中线——中点型 6 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 12 【题型4】倍长中线——综合题型探究 18 三.同步检测 28 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 37 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 44 一.模型梳理与解读 （一）定义： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. （二）常见的模型及证法 类型 基本图示 证明思路 基本型 延长AD至点E，使得AD=DE，若连接 BE，则;若连结EC, 则; 中点型 若延长EC至点F，使得CF=CE，连结 AF，则若延长 EC点G,使得CG=CD，连结BG，则 中点+平行线型 延长CE交AB点F或交BA延长线于点F，则. 二.题型精析 【题型 1】倍长中线——基本型 【例题1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（        ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 【答案】， ，1，7，0.5，3.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 延长到E，使，连接，利用中线的性质及全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形三边关系即可求解． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴ ． 故答案为：，，1，7，0.5，3.5 【变式1】（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 【变式3】（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： （1）和全等吗？请说明理由； （2）求出的取值范围. 【答案】（1）全等，理由： ∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 解：（1）略 （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 【题型2】倍长中线——中点型 【例题2】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B；（2）C；（3）见分析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，且． （1）请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论． （2）在（1）的条件下，若，请确定的值范围． 【答案】（1）是的中线，理由见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，不等式的性质等知识点． （1）根据证明即可； （2）延长至点，使得，证明，则，在中，由三角形三边关系求解即可． 解：（1）解：是的中线， 证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴是的中线． （2）解：延长至点，使得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 【例题3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 解：略 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的构成条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形中倍长中线模型的应用．由，得，由是边的中点，得，从而可得，即得，，，在中，，即得即，，即可求解． 解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求， 故选：B. 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形中，∴，,, 于，点为边中点，，，则_________ 【答案】 【分析】延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求. 解：延长、交于点，连接FC， ∵四边形中，，,, ∴，，, 又∵点为边中点，得, ∴≌（ASA），， ∴， ∴， ∴, ∴, ∵,,,, ∴, ∴, ∴, ∴, 故答案为：. 【点拨】本题考查了全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形. 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】（1）是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2） 证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 解：（1）略 （2）略 【题型4】倍长中线——综合题型探究 【例题4】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； （2）如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】（1） （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 解：（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌握倍长中线辅助线做法是解题的关键． ①由和都是等腰直角三角形得，，，进而得，可证，即可得，故结论①正确； ②题目中没有给出证的条件，故结论②错误； ③点的位置不一定使得，故结论③错误； ④延长到，使，连接，可证，可得，，，进而得，，，得，由得，可证，得，等量代换即可得，故结论④正确； ⑤由，得，而，由，得，可得，即，故结论⑤正确． 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴结论①正确； ∵题目中没有给出的条件，只有和是等腰直角三角形，即 ，， ∴和不一定相等， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴结论②错误； ∵点的位置不一定使得， ∴结论③错误； 如图，延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴结论⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【变式3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． （1）【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； （3）【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 解：（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案． 解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意； 故选A． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误； ②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可． 解：延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 只有选项A符合要求， 故选：A 7．（2024·浙江绍兴·一模）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解． 小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”． 小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”． 对以上两位同学的说法，你认为（    ） A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确 C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确 【答案】A 【分析】先分别假设这两个说法正确，先根据三角形高和中线的性质即可判断正误． 解：假设存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3，根据等积法，得到此三角形三边比为6：3：2，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在； 假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍不小于（大于等于）其他两边之和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在； 故选A． 【点拨】本题考查了三角形的高及中线、等积法、三角形三边关系．等积法：两个三角形等底等高，则面积相等，由此可以推得：两个三角形高相等，底成倍数，面积也成同样的倍数关系；同理，两个三角形底相等、高成倍数关系、面积也成同样的倍数关系；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，如图 ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·江西新余·期中）在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 【答案】 【分析】如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）已知，在中，，，为的中点，则中线的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查倍长中线法作辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——倍长中线是本题的关键． 延长到E，使，连接，根据证明，根据全等三角形的性质，结合三角形三边的关系，求解即可． 解：如图，延长到E，使，连接， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________．（提示：延长至，使，连接） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握有关三角形的中线问题，通常要倍长中线构造全等三角形是解题的关键．倍长中线构造全等三角形，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 解：如图所示，，， 延长至，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川·期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ______． 【答案】 【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD． 解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE． 在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE=13． 在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13， ∴AB2+AE2=BE2， ∴∠BAE=90°． 在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6， ∴BD=， ∴BC=． 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法． 14．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点拨】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围． 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 16．（第1章全等三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版））在中，若，则中线的最大整数值是 ___． 【答案】5 【分析】延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 解：如图，延长到E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴中线的最大整数值是5． 故答案为：5． 【点拨】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·河南新乡·阶段检测）如图所示，是的边的中线． （1）画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； （2）若，，求的长的取值范围． 【答案】（1）如图所述，以点为对称中心旋转，得， ∴与关于点成对称中心图形． （2）的长的取值范围 【分析】（1）中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处； （2）由（1）可得，可知，，在中，根据三角形三边数量关系，可求出的取值范围，根据，即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的长的取值范围． 【点拨】本题主要考查中心对称图形的作图及性质，三角形三边关系的运用，掌握以上知识的运用是解题的关键． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，若，，求边上中线的取值范围通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路延长到，使得，连接，根据可证得． 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两种思路都是构造出，得到及，从而得出答案． 解：思路如图所示，将绕着点旋转，使得和重合，得到 由题意得，， ， ， ，， ，， ， ． 思路如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 19．（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）证明：延长到点，连接，如图， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到点，连接，证明得，，再证明，，从而可证明，得，进一步可得结论． 解：（1）解：延长到，使，连接，如图1， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，, 即， ∴， ∵， ∴， 故选：C； （3） 略 20．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． （1）请写出 的推理过程； （2）探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 （3）如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 【答案】（1）证明：延长 到点， 使 连接， 是 的中点， ， 在 和  中， ， ； （2）； （3）． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据证明； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，延长 交 的延长线于点，    ，， ，      是 的中线， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.6 三角形全等经典模型——倍长中线（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型 1】倍长中线——基本型 2 【题型2】倍长中线——中点型 4 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 5 【题型4】倍长中线——综合题型探究 7 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.模型梳理与解读 （一）定义： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. （二）常见的模型及证法 类型 基本图示 证明思路 基本型 延长AD至点E，使得AD=DE，若连接 BE，则;若连结EC, 则; 中点型 若延长EC至点F，使得CF=CE，连结 AF，则若延长 EC点G,使得CG=CD，连结BG，则 中点+平行线型 延长CE交AB点F或交BA延长线于点F，则. 二.题型精析 【题型 1】倍长中线——基本型 【例题1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（        ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 【变式1】（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【变式3】（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： （1）和全等吗？请说明理由； （2）求出的取值范围. 【题型2】倍长中线——中点型 【例题2】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【变式2】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，且． （1）请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论． （2）在（1）的条件下，若，请确定的值范围． 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 【例题3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形中，∴，,, 于，点为边中点，，，则_________ 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【题型4】倍长中线——综合题型探究 【例题4】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； （2）如图，，点为的中点，连接．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号） 【变式3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． （1）【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； （3）【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 4．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 6．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江绍兴·一模）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解． 小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”． 小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”． 对以上两位同学的说法，你认为（    ） A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确 C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确 8．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·江西新余·期中）在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）已知，在中，，，为的中点，则中线的取值范围为______． 12．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________．（提示：延长至，使，连接） 13．（24-25八年级上·四川·期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ______． 14．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 16．（第1章全等三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版））在中，若，则中线的最大整数值是 ___． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·河南新乡·阶段检测）如图所示，是的边的中线． （1）画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； （2）若，，求的长的取值范围． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，若，，求边上中线的取值范围通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路延长到，使得，连接，根据可证得． 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，求的取值范围． 19．（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 20．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． （1）请写出 的推理过程； （2）探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 （3）如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $